Podczas rozwiązywania poniższych zadań Twoje pomoce naukowe stanowić będą globus, kuliste owoce, kulki styropianowe itp. przedmioty, na których można rysować, wpinać pinezki lub wykałaczki, łączyć je gumkami lub nitkami. Gorąco zachęcamy do wykonania doświadczeń i empirycznego zbadania problemu przed rozwiązaniem każdego ćwiczenia.
1
Ćwiczenie 1
Wybierz na sferze takie dwa punkty, aby można było przeprowadzić przez nie tylko jedną prostą sferyczną, a następnie takie dwa, aby można było przeprowadzić przez nie nieskończenie wiele prostych sferycznych. Jakie to punkty?
W pierwszym przypadku mogą to być dowolne punkty z wyjątkiem biegunowych, w drugim tylko punkty biegunowe.
1
Ćwiczenie 2
Wskaż na globusie równik i bieguny. Jak myślisz, czy jeśli zamiast globusa weźmiesz zwykłą kulę i narysujesz na niej okrąg wielki, to też będziesz mógł znaleźć odpowiadające mu punkty biegunowe?
Spróbuj wykonać takie badanie posługując się swoją pomarańczą/kulką styropianową czy też innym narzędziem badawczym.
Spróbuj przypomnieć sobie czym jest równik oraz bieguny na kuli. Wyobraź sobie cytrynę, do której wbito wykałaczki. Wykałaczki znajdujące się na górze i na dole cytryny są biegunami, natomiast gumka rozciągnięta pomiędzy wykałaczkami wbitymi po przeciwległych bokach cytryny jest równikiem. Zastanów się czy dla każdego równika można znaleźć odpowiadające mu punkty biegunowe?
Do każdego okręgu wielkiego (potocznie „równika”) istnieją odpowiadające mu punkty biegunowe. Przykład ilustracji na okrągłym owocu:
R3hLqnhJGLh9V
Po prawej stronie grafiki znajduje się kula, na której kropką na górze kuli zaznaczony jest biegun, oraz równoleżniki, czyli poziome proste sferyczne. Środkowy równoleżnik podpisano: równik. Obok znajduje się zdjęcie cytryny do której wbito 4 wykałaczki: na górze, na dole, po lewej i po prawej stronie. Między górną i dolna wykałaczką rozciągnięto gumkę recepturkę.
Źródło: Gromar, licencja: CC BY-SA 3.0.
RYuaFMhgXjH9h2
Ćwiczenie 3
Łączenie par. Czy do każdych dwóch punktów biegunowych można określić odpowiadający im okrąg wielki? Jaki warunek muszą spełniać dwa punkty na sferze, aby można było określić odpowiadający im okrąg wielki? Zaznacz czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.. Dwa punkty na sferze muszą to być punkty biegunowe.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
Łączenie par. Czy do każdych dwóch punktów biegunowych można określić odpowiadający im okrąg wielki? Jaki warunek muszą spełniać dwa punkty na sferze, aby można było określić odpowiadający im okrąg wielki? Zaznacz czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.. Dwa punkty na sferze muszą to być punkty biegunowe.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
Czy do każdych dwóch punktów biegunowych można określić odpowiadający im okrąg wielki? Jaki warunek muszą spełniać dwa punkty na sferze, aby można było określić odpowiadający im okrąg wielki? Zaznacz czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.
Zdanie
Prawda
Fałsz
Muszą to być punkty biegunowe.
□
□
R9VXtSm3H2hui2
Ćwiczenie 4
Zaznacz poprawną odpowiedź. Czy na globusie (i ogólnie na sferze) istnieją sferyczne półproste? Możliwe odpowiedzi: 1. Tak, na globusie są to południki., 2. Tak, na globusie są to równoleżniki., 3. Nie, nie istnieją sferyczne półproste.
Zaznacz poprawną odpowiedź. Czy na globusie (i ogólnie na sferze) istnieją sferyczne półproste?
Tak, na globusie są to południki.
Tak, na globusie są to równoleżniki.
Nie, na globusie nie istnieją sferyczne półproste.
2
Ćwiczenie 5
Prosta na płaszczyźnie nie ma długości, ponieważ jest nieskończona. Prosta sferyczna jest skończona. Jak myślisz, czy można więc określić jakoś jej długość? Jak to zrobić, aby ta długość była niezależna od promienia sfery, na której ta prosta istnieje?
Najwygodniej jest wyrazić ją w stopniach: .
2
Ćwiczenie 6
Posłuż się dowolnym kulistym przedmiotem, wykonaj odpowiednie rysunki lub utwórz sferyczne proste z gumek recepturek i odpowiedz na pytanie: Jak mogą być położone wobec siebie dwie różne sferyczne proste? Uzasadnij swoje spostrzeżenia.
Zastanów się jak mogą być położeone wobec siebie dwie różne sferyczne proste. Na podstawie zdobytej wiedzy spróbuj uzasadnić swoje spostrzeżenia.
Nie ulegaj pokusie, aby stwierdzić – patrząc na globus – że równik i równoleżniki nie przecinają się. Równoleżniki, które nie są równikiem, nie są sferycznymi prostymi. Pomyśl, dlaczego.
Pamiętaj, że nie każdy równoleżnik jest równikiem. Równoleżniki, które nie są równikiem, nie są sferycznymi prostymi. Pomyśl dlaczego.
Każde dwie sferyczne proste przecinają się, ponieważ każde dwa okręgi wielkie na powierzchni kuli przecinają się.
RoVarNkXpIial3
Ćwiczenie 7
Na ile rozłącznych obszarów można podzielić sferę trzema prostymi sferycznymi? Wpisz poprawne liczby. To zależy od wyboru prostych: jeżeli wszystkie proste będą przechodziły przez bieguny, to podzielą sferę na Tu uzupełnij części, jeśli jednak wszystkie trzy proste nie przecinają się w tych samych punktach, to dzielą sferę na Tu uzupełnij części.
Na ile rozłącznych obszarów można podzielić sferę trzema prostymi sferycznymi? Wpisz poprawne liczby. To zależy od wyboru prostych: jeżeli wszystkie proste będą przechodziły przez bieguny, to podzielą sferę na Tu uzupełnij części, jeśli jednak wszystkie trzy proste nie przecinają się w tych samych punktach, to dzielą sferę na Tu uzupełnij części.
Na ile rozłącznych obszarów można podzielić sferę trzema prostymi sferycznymi? Wpisz poprawne liczby.
To zależy od wyboru prostych: jeżeli wszystkie proste będą przechodziły przez bieguny, to podzielą sferę na ............ części, jeśli jednak wszystkie trzy proste nie przecinają się w tych samych punktach, to dzielą sferę na ............ części.
3
Ćwiczenie 8
Znajdź takie wzajemne położenie trzech prostych sferycznych, aby podzieliły one sferę na osiem przystających obszarów.
Są to np. trzy wzajemnie do siebie prostopadłe proste sferyczne, jak na poniższym obrazku:
R1XFr62bLj4kw
Grafika przedstawia kulę, na której narysowano trzy prostopadłe do siebie sferyczne proste. Dwie z nich to narysowane prostopadle do siebie południki, a trzecia to równik, który jest pod kątek prostym do dwóch poprzednich prostych.
