Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1HHOA8uG6NUf

R1QCRqO8FwKGW

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y, układ naniesiony jest na kratkę składającą się z kwadratów o boku jeden. W układzie zaznaczono wykres funkcji f , wykres ma kształt krzywej o dwóch załamaniach, pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce i biegnie po łuku do punktu o współrzędnych nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie dalej po łuku do punktu nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i następnie wybiega poza płaszczyznę w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych., 2. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y, układ naniesiony jest na kratkę składającą się z kwadratów o boku jeden. W układzie zaznaczono wykres funkcji f , wykres składa się z następujących poziomych odcinków: odcinek pierwszy zaczyna się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus sześć średnik dwa zamknięcie nawiasu i kończy w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu, następny odcinek zaczyna się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy w zamalowanym punkcie nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, trzeci odcinek zaczyna się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu i kończy w zamalowanym punkcie nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu, czwarty odcinek zaczyna się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy w zamalowanym punkcie nawias dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, kolejny odcinek zaczyna się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu i kończy w zamalowanym punkcie nawias cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu, ostatni odcinek zaczyna się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy w zamalowanym punkcie nawias sześć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y, układ naniesiony jest na kratkę składającą się z kwadratów o boku jeden. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o następującym kształcie: wykres pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce na wysokości wartości y równej dwa i biegnie poziomo do punktu nawias minus trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu, stąd biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, później dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i dalej znów biegnie ukośnie do punktu nawias jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu, stąd biegnie poziomo do punktu nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias cztery średnik minus dwa, kolejno znów biegnie ukośnie do punktu nawias pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu, stąd biegnie poziomo poza płaszczyznę układu. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x i pionową osią y, układ naniesiony jest na kratkę składającą się z kwadratów o boku jeden. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o następującym kształcie: wykres pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce na wysokości wartości y równej dwa i biegnie poziomo do punktu nawias minus trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu, stąd biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, później dalej biegnie ukośnie do punktu nawias minus jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i dalej znów biegnie ukośnie do punktu nawias jeden średnik dwa zamknięcie nawiasu, stąd biegnie poziomo do punktu nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie ukośnie do punktu nawias cztery średnik minus dwa, kolejno znów biegnie ukośnie do punktu nawias pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu, stąd biegnie poziomo poza płaszczyznę układu.

R1YXTnRFM7ugH1

Ćwiczenie 2

Wśród podanych funkcji wskaż funkcję, która nie jest okresowa.

$f (x) = \frac{x}{4}$
$f (x) = \cos x$
$f (x) = \sin x$
$f (x) = 4$

Ćwiczenie 3

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ .

Re7RZrAPzoCX6

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus jeden do osiem i pionową osią y od minus jeden do cztery. W płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji f składający się z punktów o następujących współrzędnych, nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, nawias cztery nawias zero zamknięcie nawiasu, nawias pięć średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias siedem średnik trzy zamknięcie nawiasu, nawias osiem średnik zero zamknięcie nawiasu.

R1EMVMdpHmWBs

Zaznacz, którą z poniżej opisanych funkcji przedstawiono na wykresie:

Funkcja $f$ przyporządkowuje każdemu argumentowi jego resztę z dzielenia przez $3$ .
Funkcja $f$ przyporządkowuje każdemu argumentowi jego resztę z dzielenia przez $4$ .
Funkcja $f$ przyporządkowuje każdemu argumentowi jego resztę z dzielenia przez $2$ .
Funkcja $f$ przyporządkowuje każdemu argumentowi jego resztę z dzielenia przez $5$ .

R4zJkPwYFXfkU2

Ćwiczenie 4

Łączenie par. Dla poniższych zdań, zaznacz właściwą ocenę logiczną zdania, wybierając prawdę lub fałsz.. Każda funkcja stała jest okresowa.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja

f (x) = 5 \sin (5 x)

jest okresowa.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja określona, jako reszta z dzielenia każdej liczby naturalnej przez

7

jest okresowa.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja

f (x) = - 2 \sin (2 x)

jest okresowa.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Dla poniższych zdań, zaznacz właściwą ocenę logiczną zdania, wybierając prawdę lub fałsz.

Zdanie	Prawda	Fałsz
Każda funkcja stała jest okresowa.	□	□
Funkcja $f (x) = 5 \sin (5 x)$ jest okresowa.	□	□
Funkcja przyporządkowująca każdej liczbie rzeczywistej liczbę $7$ jest okresowa.	□	□
Funkcja $f (x) = - 2 \sin (2 x)$ jest okresowa.	□	□

R1YsoN6HLZy8O2

Ćwiczenie 5

Przeciągnij odpowiednie słowa, aby stworzyć poprawne uzasadnienie okresowości funkcji. Funkcję

f : D \to ℝ

określoną w zbiorze

D

nazywamy okresową, jeżeli 1. jest okresem, 2.

x + T \in D

, 3.

T > 0

, 4. istnieje, 5. całkowita wielokrotność, 6.

f (x + T)

taka liczba 1. jest okresem, 2.

x + T \in D

, 3.

T > 0

, 4. istnieje, 5. całkowita wielokrotność, 6.

f (x + T)

(zwana okresem funkcji), że dla każdego

x \in D

, liczba 1. jest okresem, 2.

x + T \in D

, 3.

T > 0

, 4. istnieje, 5. całkowita wielokrotność, 6.

f (x + T)

oraz zachodzi równość

f (x) =

1. jest okresem, 2.

x + T \in D

, 3.

T > 0

, 4. istnieje, 5. całkowita wielokrotność, 6.

f (x + T)

.
Jeśli 1. jest okresem, 2.

x + T \in D

, 3.

T > 0

, 4. istnieje, 5. całkowita wielokrotność, 6.

f (x + T)

funkcji, to również każda 1. jest okresem, 2.

x + T \in D

, 3.

T > 0

, 4. istnieje, 5. całkowita wielokrotność, 6.

f (x + T)

liczby

T

też jest okresem funkcji.

Przeciągnij odpowiednie wyrażenia, aby stworzyć poprawne uzasadnienie okresowości funkcji.

istnieje, $f (x + T)$ , $x + T \in ℕ_{+}$ , naturalna dodatnia wielokrotność, jest okresem, $T > 0$

Przyjmijmy, że funkcję $f : ℕ_{+} \to ℝ$ określoną w zbiorze $ℕ_{+}$ nazwiemy okresową, jeżeli ...................................................................... taka liczba ...................................................................... (zwana okresem funkcji), że dla każdego $x \in ℕ_{+}$ , liczba ...................................................................... oraz zachodzi równość $f (x) =$ .......................................................................
Jeśli $T$ ...................................................................... funkcji, to również każda ...................................................................... liczby $T$ też jest okresem funkcji.

Ćwiczenie 6

Dany jest wykres funkcji $g (x) = 3 \sin (1, 5 x)$ , jednostka na osi $X$ to $\frac{π}{6}$ .

R83TFVSKXbumu

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od -π do 6π i pionową osią y od minus trzy do trzy. W układzie zaznaczono dwa wykresy pierwszy z nich ma równanie y=3sin1,5x, wykres ten ma kształt sinusoidy i przechodzi przez następujące punkty, nawias minus 4π6 średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias minus 2π6 średnik minus trzy, nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias 2π6 średnik trzy zamknięcie nawiasu, nawias 4π6 średnik zero zamknięcie nawiasu. Drugi wykres ma równanie y=sinx i przechodzi przez punkty nawias -π średnik zero, nawias -π2 średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias π2 średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias π średnik zamknięcie nawiasu.

RzLTM1xLSA6kv

Wybierz poprawną odpowiedź. Na podstawie wykresu można wywnioskować, że funkcja:

nie jest okresowa
jest okresowa i okres tej funkcji wynosi $T = 2 π$
jest okresowa i okres tej funkcji wynosi $T = \frac{4 π}{3}$
jest okresowa i okres tej funkcji wynosi $T = \frac{7 π}{3}$

Ćwiczenie 7

R1VjJmE6U6a89

R17Sp3uFjYyjq

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od zera to trzynastu i pionową osią y od zera do sześciu. W układzie zaznaczono wykres funkcji f składający się z punktów i następujących współrzędnych: nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawis dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu, nawias pięć średnik pięć zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik sześć zamknięcie nawiasu, nawias siedem średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias osiem średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias dziewięć średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias dziesięć średnik trzy zamknięcie nawiasu, nawias jedenaście średnik cztery zamknięcie nawiasu, nawias dwanaście średnik pięć zamknięcie nawiasu, nawias trzynaście średnik sześć zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez dwa., 2. Funkcja, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez siedem., 3. Funkcja, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez sześć., 4. Funkcja, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez trzy. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od zera to trzynastu i pionową osią y od zera do sześciu. W układzie zaznaczono wykres funkcji f składający się z punktów i następujących współrzędnych: nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias siedem średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias osiem średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias dziewięć średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias dziesięć średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias jedenaście średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias dwanaście średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias trzynaście średnik jeden zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez dwa., 2. Funkcja, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez siedem., 3. Funkcja, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez sześć., 4. Funkcja, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez trzy. lustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od zera to trzynastu i pionową osią y od zera do sześciu. W układzie zaznaczono wykres funkcji f składający się z punktów i następujących współrzędnych: nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu, nawias pięć średnik pięć zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias siedem średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias osiem średnik dwa zamknięcie nawiasu, nawias dziewięć średnik trzy zamknięcie nawiasu, nawias dziesięć średnik cztery zamknięcie nawiasu, nawias jedenaście średnik pięć zamknięcie nawiasu, nawias dwanaście średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias trzynaście średnik jeden zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez dwa., 2. Funkcja, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez siedem., 3. Funkcja, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez sześć., 4. Funkcja, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez trzy. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od zera to trzynastu i pionową osią y od zera do sześciu. W układzie zaznaczono wykres funkcji f składający się z punktów i następujących współrzędnych: nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias pięć średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias sześć średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias siedem średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias osiem średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias dziewięć średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias dziesięć średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias jedenaście średnik jeden zamknięcie nawiasu, nawias dwanaście średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias trzynaście średnik jeden zamknięcie nawiasu. Możliwe odpowiedzi: 1. Funkcja, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez dwa., 2. Funkcja, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez siedem., 3. Funkcja, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez sześć., 4. Funkcja, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez trzy.

Ćwiczenie 8

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji okresowej $f$ . Uzupełnij wykres funkcji $f$ w przedziale $⟨2, 9⟩$ , jeśli jej okres podstawowy $T = 3$ .

RWOod17OHFkw9

lustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus czterech do dziewięciu i pionową osią y od minus trzech do czterech. W układzie zaznaczono fragment wykresu funkcji f, który składa się z dwóch części. Pierwsza z nich rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu, następnie biegnie poziomo do punktu nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, stąd biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i dalej biegnie znów ukośnie do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu. Druga część rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo do punktu nawias zero średnik trzy zamknięcie nawiasu stąd biegnie ukośnie do punktu nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie również ukośnie do niezamalowanego punktu nawias dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu.

R1SkdEqExfpW4

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela