Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1YmnvOMWS29W1

Ćwiczenie 1

R1K75fx7OC1S11

Ćwiczenie 2

RSX70rI6OkFs52

Ćwiczenie 3

R15r8TXoM7WFL2

Ćwiczenie 4

Dostępne opcje do wyboru:

64

- \sqrt{2}

- 2 \sqrt{2}

- \sqrt{2}

1 + \sqrt{2}

62 \cdot (2 - \sqrt{2})

10

- \sqrt{2}

4

. Polecenie: Uzupełnij obliczenia prowadzące do wyznaczenia sumy

- 2 \sqrt{2} + 4 - 4 \sqrt{2} + 8 - \dots + 64

kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego

(a_{n})

. Przeciągnij odpowiednie liczby. Pierwszy wyraz ciągu

(a_{n})

a_{1} =

luka do uzupełnienia .
Iloraz ciągu to

q = - 4 \sqrt{2} :

luka do uzupełnienia

=

luka do uzupełnienia
Obliczamy, ile wyrazów ciągu mamy dodać.

a_{n} = - 2 \sqrt{2} \cdot

(

luka do uzupełnienia

)^{n - 1}

luka do uzupełnienia

= - 2 \sqrt{2} \cdot (

luka do uzupełnienia

)^{n - 1}

n =

luka do uzupełnienia
Obliczamy sumę na podstawie wzoru na sumę

n

kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.

S_{n} = - 2 \sqrt{2} \cdot [1 - {(- \sqrt{2})}^{10}] :

(

luka do uzupełnienia

)

S_{n} =

luka do uzupełnienia

RijqOiISzeGJj2

Ćwiczenie 5

Suma

n

początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

(a_{n})

jest równa

S_{n}

, gdy

n \geq 1

n \in ℕ

. Połącz w pary sumę i odpowiadający jej wzór ciągu.

S_{n} = 4^{n - 1} - 0, 25

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = 2^{n - 1}

, 2.

a_{n} = 2^{n + 2}

, 3.

a_{n} = 3 \cdot 4^{n - 2}

, 4.

a_{n} = \frac{5}{8} \cdot 2^{n - 1}

S_{n} = 2^{n} - 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = 2^{n - 1}

, 2.

a_{n} = 2^{n + 2}

, 3.

a_{n} = 3 \cdot 4^{n - 2}

, 4.

a_{n} = \frac{5}{8} \cdot 2^{n - 1}

S_{n} = 5 \cdot 2^{n - 3} - \frac{5}{8}

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = 2^{n - 1}

, 2.

a_{n} = 2^{n + 2}

, 3.

a_{n} = 3 \cdot 4^{n - 2}

, 4.

a_{n} = \frac{5}{8} \cdot 2^{n - 1}

S_{n} = 2^{n + 3} - 8

Możliwe odpowiedzi: 1.

a_{n} = 2^{n - 1}

, 2.

a_{n} = 2^{n + 2}

, 3.

a_{n} = 3 \cdot 4^{n - 2}

, 4.

a_{n} = \frac{5}{8} \cdot 2^{n - 1}

R1EIbH7Z8H4MS2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

W ciągu geometrycznym $(a_{n})$ sześciowyrazowym suma wyrazów stojących na miejscach nieparzystych jest trzy razy mniejsza od sumy wyrazów stojących na miejscach parzystych. Suma wyrazów stojących na miejscach parzystych jest równa $546$ . Znajdź wzór na $n$ –ty wyraz ciągu.

Oznaczmy:
$q$ – iloraz ciągu,
$S_{p}$ – suma wyrazów stojących na miejscach parzystych,
$S_{n p}$ – suma wyrazów stojących na miejscach nieparzystych.

Wyrazy stojące na miejscach parzystych: $a_{2}$ , $a_{4}$ , $a_{6}$ tworzą trzywyrazowy ciąg geometryczny o ilorazie $q^{2}$ i pierwszym wyrazie $a_{2} = a_{1} q$ .

Zatem:

$S_{p} = a_{1} q \cdot \frac{q^{6} - 1}{q^{2} - 1} = 546$

Wyrazy stojące na miejscach nieparzystych: $a_{1}$ , $a_{3}$ , $a_{5}$ tworzą trzywyrazowy ciąg geometryczny o ilorazie $q^{2}$ i pierwszym wyrazie $a_{1}$ .

Zatem:

$S_{n p} = a_{1} \cdot \frac{q^{6} - 1}{q^{2} - 1} = \frac{546}{3}$

Dzielimy stronami pierwsze z zapisanych równań przez drugie.

$(a_{1} q \cdot \frac{q^{6} - 1}{q^{2} - 1}) : (a_{1} \cdot \frac{q^{6} - 1}{q^{2} - 1}) = 546 : 182$

$q = 3$

Wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu.

$\frac{3^{6} - 1}{3^{2} - 1} \cdot a_{1} = 182$

$a_{1} = 2$

Wzór na $n$ –ty wyraz ciągu: $a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ .

Ćwiczenie 8

W rosnącym ciągu geometrycznym suma pierwszych czterech wyrazów jest równa $85$ , a suma następnych czterech jest równa $21760$ . Wyznacz iloraz ciągu.

Oznaczmy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu,
$q$ – iloraz ciągu.

Zapiszemy pierwszą z sum określonych w treści zadania.

$a \cdot \frac{1 - q^{4}}{1 - q} = 85$

Zauważmy teraz, że wyraz piąty, szósty, siódmy i ósmy tworzą ciąg geometryczny, którego pierwszym wyrazem jest $a q^{4}$ . Wyznaczymy sumę tego ciągu.

$a q^{4} \cdot \frac{1 - q^{4}}{1 - q} = 21760$

Dzielimy drugą z wyznaczonych sum przez pierwszą.

$(a q^{4} \cdot \frac{1 - q^{4}}{1 - q}) : (a \cdot \frac{1 - q^{4}}{1 - q}) = 21760 : 85$

$q^{4} = 256$

$q = \sqrt[4]{256}$ lub $q = - \sqrt[4]{256}$

$q = 4$ lub $q = - 4$

Ciąg ma być rosnący, zatem tylko liczba $4$ jest szukaną liczbą.

Iloraz ciągu jest równy $4$ .

Film samouczek

Dla nauczyciela