Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1YmnvOMWS29W1

Ćwiczenie 1

R1K75fx7OC1S11

Ćwiczenie 2

RSX70rI6OkFs52

Ćwiczenie 3

R15r8TXoM7WFL2

Ćwiczenie 4

Dostępne opcje do wyboru: sześćdziesiąt cztery, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, jeden, plus, pierwiastek kwadratowy z dwa, sześćdziesiąt dwa, razy, nawias dwa, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa zamknięcie nawiasu, dziesięć, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, cztery. Polecenie: Uzupełnij obliczenia prowadzące do wyznaczenia sumy minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, cztery, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa, plus, osiem, minus, wielokropek, plus, sześćdziesiąt cztery kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Przeciągnij odpowiednie liczby. Pierwszy wyraz ciągu nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu to a indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się luka do uzupełnienia .
Iloraz ciągu to q, równa się, minus, cztery pierwiastek kwadratowy z dwa, podzielić na luka do uzupełnienia równa się luka do uzupełnienia
Obliczamy, ile wyrazów ciągu mamy dodać.
a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, razy

nawias luka do uzupełnienia zamknięcie nawiasu indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego
luka do uzupełnienia równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias luka do uzupełnienia zamknięcie nawiasu indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego
n, równa się luka do uzupełnienia
Obliczamy sumę na podstawie wzoru na sumę n kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, minus, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa, razy, nawias kwadratowy, jeden, minus, nawias, minus, pierwiastek kwadratowy z dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziesięć, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu kwadratowego, podzielić na nawias luka do uzupełnienia nawias, zamknięcie nawiasu
S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się luka do uzupełnienia

RijqOiISzeGJj2

Ćwiczenie 5

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego nawias, a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu jest równa S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, gdy n, większy równy, jeden i n, należy do, liczby naturalne. Połącz w pary sumę i odpowiadający jej wzór ciągu. S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, minus, zero przecinek dwa pięć Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, plus, dwa, koniec indeksu górnego, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, razy, cztery indeks górny, n, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, razy, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, koniec indeksu górnego, minus, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, plus, dwa, koniec indeksu górnego, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, razy, cztery indeks górny, n, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, razy, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, razy, dwa indeks górny, n, minus, trzy, koniec indeksu górnego, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, plus, dwa, koniec indeksu górnego, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, razy, cztery indeks górny, n, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, razy, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego S indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, plus, trzy, koniec indeksu górnego, minus, osiem Możliwe odpowiedzi: 1. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, 2. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa indeks górny, n, plus, dwa, koniec indeksu górnego, 3. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, razy, cztery indeks górny, n, minus, dwa, koniec indeksu górnego, 4. a indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, osiem, koniec ułamka, razy, dwa indeks górny, n, minus, jeden, koniec indeksu górnego

R1EIbH7Z8H4MS2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

W ciągu geometrycznym $(a_{n})$ sześciowyrazowym suma wyrazów stojących na miejscach nieparzystych jest trzy razy mniejsza od sumy wyrazów stojących na miejscach parzystych. Suma wyrazów stojących na miejscach parzystych jest równa $546$ . Znajdź wzór na $n$ –ty wyraz ciągu.

Oznaczmy:
$q$ – iloraz ciągu,
$S_{p}$ – suma wyrazów stojących na miejscach parzystych,
$S_{n p}$ – suma wyrazów stojących na miejscach nieparzystych.

Wyrazy stojące na miejscach parzystych: $a_{2}$ , $a_{4}$ , $a_{6}$ tworzą trzywyrazowy ciąg geometryczny o ilorazie $q^{2}$ i pierwszym wyrazie $a_{2} = a_{1} q$ .

Zatem:

$S_{p} = a_{1} q \cdot \frac{q^{6} - 1}{q^{2} - 1} = 546$

Wyrazy stojące na miejscach nieparzystych: $a_{1}$ , $a_{3}$ , $a_{5}$ tworzą trzywyrazowy ciąg geometryczny o ilorazie $q^{2}$ i pierwszym wyrazie $a_{1}$ .

Zatem:

$S_{n p} = a_{1} \cdot \frac{q^{6} - 1}{q^{2} - 1} = \frac{546}{3}$

Dzielimy stronami pierwsze z zapisanych równań przez drugie.

$(a_{1} q \cdot \frac{q^{6} - 1}{q^{2} - 1}) : (a_{1} \cdot \frac{q^{6} - 1}{q^{2} - 1}) = 546 : 182$

$q = 3$

Wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu.

$\frac{3^{6} - 1}{3^{2} - 1} \cdot a_{1} = 182$

$a_{1} = 2$

Wzór na $n$ –ty wyraz ciągu: $a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ .

Ćwiczenie 8

W rosnącym ciągu geometrycznym suma pierwszych czterech wyrazów jest równa $85$ , a suma następnych czterech jest równa $21760$ . Wyznacz iloraz ciągu.

Oznaczmy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu,
$q$ – iloraz ciągu.

Zapiszemy pierwszą z sum określonych w treści zadania.

$a \cdot \frac{1 - q^{4}}{1 - q} = 85$

Zauważmy teraz, że wyraz piąty, szósty, siódmy i ósmy tworzą ciąg geometryczny, którego pierwszym wyrazem jest $a q^{4}$ . Wyznaczymy sumę tego ciągu.

$a q^{4} \cdot \frac{1 - q^{4}}{1 - q} = 21760$

Dzielimy drugą z wyznaczonych sum przez pierwszą.

$(a q^{4} \cdot \frac{1 - q^{4}}{1 - q}) : (a \cdot \frac{1 - q^{4}}{1 - q}) = 21760 : 85$

$q^{4} = 256$

$q = \sqrt[4]{256}$ lub $q = - \sqrt[4]{256}$

$q = 4$ lub $q = - 4$

Ciąg ma być rosnący, zatem tylko liczba $4$ jest szukaną liczbą.

Iloraz ciągu jest równy $4$ .

Film samouczek

Dla nauczyciela