Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R11J9F6JKAdQj1

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź.
Jeżeli pole trójkąta równobocznego wynosi $P$ , to promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy:

$R = \frac{\sqrt{4 P \sqrt{3}}}{3}$
$R = \frac{4 P}{3 \sqrt{3}}$
$R = \frac{4 P \sqrt{3}}{9}$

RqFagX9xb9eXR1

Ćwiczenie 2

Wstaw w tekst odpowiednie liczby. Jeżeli promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ma długość

4

, to pole powierzchni tego trójkąta wynosi 1.

24 \sqrt{3}

, 2.

32

, 3.

16 \sqrt{5}

, 4.

12 \sqrt{3}

, 5.

32 \sqrt{5}

, 6.

16

.
Jeżeli promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym ma długość

6

, a jedna z przyprostokątnych jest równa

8

, to pole powierzchni tego trójkąta jest równe 1.

24 \sqrt{3}

, 2.

32

, 3.

16 \sqrt{5}

, 4.

12 \sqrt{3}

, 5.

32 \sqrt{5}

, 6.

16

.
Jeżeli promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym równoramiennym ma długość

4

, to pole powierzchni tego trójkąta wynosi 1.

24 \sqrt{3}

, 2.

32

, 3.

16 \sqrt{5}

, 4.

12 \sqrt{3}

, 5.

32 \sqrt{5}

, 6.

16

Wstaw w tekst odpowiednie liczby.

$24 \sqrt{3}$ , $32$ , $16 \sqrt{5}$ , $16$ , $12 \sqrt{3}$ , $32 \sqrt{5}$

Jeżeli promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym ma długość $4$ , to pole tego trójkąta wynosi .............
Jeżeli promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym ma długość $6$ , a jedna z przyprostokątnych jest równa $8$ , to pole tego trójkąta jest równe .............
Jeżeli promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym równoramiennym ma długość $4$ , to pole tego trójkąta wynosi .............

Ćwiczenie 3

Na podstawie rysunku zaznacz zdania, które są prawdziwe.

RMFI5lhr6gPSf

Zaznaczono trójkąt o podstawie 12 wpisany w okrąg. Promienie okręgu mają długość dziewięć.

R1JkABqAsppni

Wysokość trójkąta równoramiennego na którym opisano okrąg, opuszczona na bok długości $12$ ma długość $3 \sqrt{5} + 9$ .
Wysokość trójkąta równoramiennego na którym opisano okrąg, opuszczona na bok długości $12$ ma długość $3 \sqrt{5}$ .
Pole trójkąta równoramiennego z rysunku jest równe $72$ .
Pole trójkąta równoramiennego z rysunku jest równe $54 + 18 \sqrt{5}$ .

Ćwiczenie 4

RQWykRygEgPkD

RZ2E6NMm1lwng

R = 2 \sqrt{3}

P = 9 \sqrt{3}

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia trójkąt o podstawie 8 wpisany w okrąg. Promienie okręgu mają długość pięć., 2. Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 12 i 5 oraz przeciwprostokątnej c opisany na okręgu o promieniu R. Przeciwprostokątna to dwa promienie okręgu., 3. Ilustracja przedstawia trójkąt równoboczny o boku 6 wpisany w okrąg. Promień okręgu ma długość R.

R = \frac{13}{2}

P = 30

R = 5

P = 32

Ćwiczenie 5

Oblicz pole trójkąta równobocznego, jeżeli pole koła na nim opisanego wynosi $24 π$ .

Narysujmy rysunek pomocniczy do zadania i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1U3xpx26xwpd

Ilustracja przedstawia trójkąt wpisany w okrąg o promieniu R.

Korzystając ze wzoru na pole koła, do wyznaczenia wartości $R$ rozwiązujemy równanie:

$24 π = π \cdot R^{2}$

$R^{2} = 24$ , czyli $R = 2 \sqrt{6}$

Wobec tego pole rozpatrywanego trójkąta jest równe:

$P = \frac{3 \sqrt{3}}{4} R^{2}$

$P = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \cdot {(2 \sqrt{6})}^{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \cdot 24 = 18 \sqrt{3}$

Ćwiczenie 6

Oblicz pole trójkąta prostokątnego równoramiennego, jeżeli promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość $16$ .

Narysujmy okrąg opisany na trójkącie prostokątnym równoramiennym i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R1CgzwXSP22hw

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny o ramieniu a oraz podstawie c wpisany w okrąg o promieniu R. Podstawa c jest równa dwóm promieniom.

Jeżeli $16$ , to $c = 32$ .

Ponieważ $c = a \sqrt{2}$ , zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$32 = a \sqrt{2}$ , czyli $a = 16 \sqrt{2}$ .

Wobec tego pole rozpatrywanego trójkąta jest równe:

$P = \frac{1}{2} \cdot 16 \sqrt{2} \cdot 16 \sqrt{2} = 256$

Ćwiczenie 7

Oblicz obwód koła opisanego na trójkącie o bokach długości $3$ , $4$ i $6$ .

Niech

$a = 3$

$b = 4$

$c = 6$

Ponieważ pole trójkątach o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ obliczamy ze wzoru

$P = \frac{a b c}{4 R}$ , zatem $R = \frac{a b c}{4 P}$

Do wyznaczenia wartości pola użyjemy wzoru Herona:

$P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , gdzie $p = \frac{a + b + c}{2}$

Zatem $p = \frac{3 + 4 + 6}{2} = \frac{13}{2}$ .

Wobec tego

$P = \sqrt{\frac{13}{2} \cdot (\frac{13}{2} - 3) \cdot (\frac{13}{2} - 4) \cdot (\frac{13}{2} - 6)} = \sqrt{\frac{13}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{455}}{4}$

Zatem

$R = \frac{3 \cdot 4 \cdot 6}{4 \cdot \frac{\sqrt{455}}{4}} = \frac{72}{\sqrt{455}} = \frac{72 \sqrt{455}}{455}$

Obwód koła opisanego na tym trójkącie wynosi:

$L = 2 π \cdot \frac{72 \sqrt{455}}{455} = \frac{144 \sqrt{455}}{455} π$

Ćwiczenie 8

W trójkącie dane są:

pole $P = 2$ ,

promień okręgu opisanego na tym trójkącie $R = \frac{1}{2}$ ,

długość jednego boku $c = 2$ ,

obwód trójkąta $L = 6$ .

Wyznacz długości pozostałych boków tego trójkąta.

W zadaniu wykorzystamy wzór na pole trójkąta, gdy dane są boki oraz promień okręgu na nim opisanego $P = \frac{a b c}{4 R}$ oraz wzór na obwód trójkąta $L = a + b + c$ .

Wobec tego rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 2 = \frac{a \cdot b \cdot 2}{4 \cdot \frac{1}{2}} \\ a + b + 2 = 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 = a \cdot b \\ a + b = 4 \end{cases}$

$a \cdot (4 - a) - 2 = 0$

$- a^{2} + 4 a - 2 = 0$

$a^{2} - 4 a + 2 = 0$

$a_{1} = \frac{4 - 2 \sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}$

$a_{2} = \frac{4 + 2 \sqrt{2}}{2} = 2 + \sqrt{2}$

Zatem

$b_{1} = 4 - (2 - \sqrt{2}) = 2 + \sqrt{2}$

$b_{2} = 4 - (2 + \sqrt{2}) = 2 - \sqrt{2}$

Długości dwóch pozostałych boków trójkąta wynoszą $2 + \sqrt{2}$ oraz $2 - \sqrt{2}$ .

Animacja

Dla nauczyciela