Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Rf8VfZKkq174t1

Ćwiczenie 1

Wyznacz wysokości trójkąta o wierzchołkach w danych punktach. Przeciągnij i upuść.

$A = (- 4, 7), B = (7, 2), C = (- 1, - 4)$ , $A = (- 4, 7), B = (7, 2), C = (- 1, - 4)$ , $A = (- 4, 7), B = (7, 2), C = (- 1, - 4)$ , $X = (- 2, 7), Y = (8, 3), Z = (- 4, - 2)$ , $X = (- 2, 7), Y = (8, 3), Z = (- 4, - 2)$ , $X = (- 2, 7), Y = (8, 3), Z = (- 4, - 2)$ , Długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka $A$ , Długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka $B$ , Długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka $C$ , Długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka $X$ , Długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka $Y$ , Długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka $Z$

Współrzędne wierzchołków trójkąta	Wierzchołek	Wysokości trójkąta
$A = (- 4, 7), B = (7, 2), C = (- 1, - 4)$	Długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka $A$
$A = (- 4, 7), B = (7, 2), C = (- 1, - 4)$	Długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka $B$
$A = (- 4, 7), B = (7, 2), C = (- 1, - 4)$	Długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka $C$
$X = (- 2, 7), Y = (8, 3), Z = (- 4, - 2)$	Długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka $X$
$X = (- 2, 7), Y = (8, 3), Z = (- 4, - 2)$	Długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka $Y$
$X = (- 2, 7), Y = (8, 3), Z = (- 4, - 2)$	Długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka $Z$

Ćwiczenie 2

RPEeJRH7CC4dX

R1W8K7mk0IN9O

RAfxttvvSGTJ0

R1036cZeZkCrC

Rozwiąż test.

RPMVIOrfA5GuH

Rtb5jLlliitVB

R119N2f52wvnm

R1MVjLmEtEpLe

R1buOouH1bIxM21

Ćwiczenie 3

Oblicz i dopasuj pola trójkątów do trójkątów o danych wierzchołkach $A$ , $B$ , $C$ .

$A = (- 2, 7), B = (8, 3), C = (- 4, - 2)$
$A = (1, 8), B = (7, 2), C = (- 6, - 1)$
$A = (3, 6), B = (4, - 3), C = (- 7, 2)$
$A = (2, 8), B = (2, - 2), C = (- 8, 1)$
$A = (5, 7), B = (2, - 4), C = (- 5, 5)$

RnBooAc20y2sI2

Ćwiczenie 4

Wyznacz równania prostych zawierających dwusieczne kątów utworzonych przez proste

k : x + 3 y - 1 = 0

oraz

l : 6 x - 2 y + 1 = 0

.
Uporządkuj poniższe wypowiedzi, aby otrzymać rozwiązanie powyższego zadania. Elementy do uszeregowania: 1. Zauważmy teraz, że wartości bezwzględne są równe dokładnie wtedy, gdy ich wnętrza są równe lub przyjmują wartości przeciwne. Wobec tego powyższe równanie jest równoważne alternatywie równań:
, 2. Po pomnożeniu obu stron powyższego równania przez

\sqrt{40}

otrzymujemy równanie

2 \cdot |x_{0} + 3 y_{0} - 1| = |6 x_{0} - 2 y_{0} + 1|

., 3. Korzystając z własności wartości bezwzględnej możemy przekształcić równanie do postaci

|2 x_{0} + 6 y_{0} - 2| = |6 x_{0} - 2 y_{0} + 1|

., 4. Ponieważ odległość punktu

X

od prostej

k

jest równa odległości punktu

X

od prostej

l

, więc wyznaczone odległości możemy przyrównać otrzymując równanie

\frac{|x_{0} - 3 y_{0} - 1|}{\sqrt{10}} = \frac{|6 x_{0} - 2 y_{0} + 1|}{\sqrt{40}}

, 5.

4 x_{0} - 8 y_{0} + 3 = 0

lub

8 x_{0} + 4 y_{0} - 1 = 0

, 6. Niech współrzędne dowolnego punktu

X

leżącego na którejś z dwusiecznych rozważanych kątów będą równe

(x_{0}, y_{0})

., 7. Zacznijmy od przypomnienia, że dwusieczna kąta to zbiór wszystkich takich punktów

X

, które są równoodległe od ramion tego kąta., 8. Zatem równania prostych zawierających dwusieczne kątów wyznaczonych przez proste

k

l

4 x - 8 y + 3 = 0

oraz

8 x + 4 y - 1 = 0

., 9.

2 x_{0} + 6 y_{0} - 2 = 6 x_{0} - 2 y_{0} + 1

lub

2 x_{0} + 6 y_{0} - 2 = - (6 x_{0} - 2 y_{0} + 1)

, 10. Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy równania:
, 11. Obliczmy odległości punktu

X

od prostych

k

l

d (X, k) = \frac{|x_{0} - 3 y_{0} - 1|}{\sqrt{1^{2} + 3^{2}}} = \frac{|x_{0} + 3 y_{0} - 1|}{\sqrt{10}}

d (X, l) = \frac{|6 x_{0} - 2 y_{0} + 1|}{\sqrt{6^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{|6 x_{0} - 2 y_{0} + 1|}{\sqrt{40}}

Wyznacz równania prostych zawierających dwusieczne kątów utworzonych przez proste $k : x + 3 y - 1 = 0$ oraz $l : 6 x - 2 y + 1 = 0$ .
Uporządkuj poniższe wypowiedzi, aby otrzymać rozwiązanie powyższego zadania.

Po pomnożeniu obu stron powyższego równania przez $\sqrt{40}$ otrzymujemy równanie
$2 \cdot "|"x_{0} + 3 y_{0} - 1"|" = "|"6 x_{0} - 2 y_{0} + 1"|"$ .
Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy równania:
$4 x_{0} - 8 y_{0} + 3 = 0$ lub $8 x_{0} + 4 y_{0} - 1 = 0$
Obliczmy odległości punktu $X$ od prostych $k$ i $l$ :
$d (X, k) = \frac{"|"x_{0} + 3 y_{0} - 1"|"}{\sqrt{1^{2} + 3^{2}}} = \frac{"|"x_{0} + 3 y_{0} - 1"|"}{\sqrt{10}}$
$d (X, l) = \frac{"|"6 x_{0} - 2 y_{0} + 1"|"}{\sqrt{6^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{"|"6 x_{0} - 2 y_{0} + 1"|"}{\sqrt{40}}$
Ponieważ odległość punktu $X$ od prostej $k$ jest równa odległości punktu $X$ od prostej $l$ , więc wyznaczone odległości możemy przyrównać otrzymując równanie
$\frac{"|"x_{0} + 3 y_{0} - 1"|"}{\sqrt{10}} = \frac{"|"6 x_{0} - 2 y_{0} + 1"|"}{\sqrt{40}}$
Zatem równania prostych zawierających dwusieczne kątów wyznaczonych przez proste $k$ i $l$ to $4 x - 8 y + 3 = 0$ oraz $8 x + 4 y - 1 = 0$ .
Niech współrzędne dowolnego punktu $X$ leżącego na którejś z dwusiecznych rozważanych kątów będą równe $(x_{0}, y_{0})$ .
Zacznijmy od przypomnienia, że dwusieczna kąta to zbiór wszystkich takich punktów $X$ , które są równoodległe od ramion tego kąta.
Korzystając z własności wartości bezwzględnej możemy przekształcić równanie do postaci
$"|"2 x_{0} + 6 y_{0} - 2"|" = "|"6 x_{0} - 2 y_{0} + 1"|"$ .
Zauważmy teraz, że wartości bezwzględne są równe dokładnie wtedy, gdy ich wnętrza są równe lub przyjmują wartości przeciwne. Wobec tego powyższe równanie jest równoważne alternatywie równań:
$2 x_{0} + 6 y_{0} - 2 = 6 x_{0} - 2 y_{0} + 1$ lub $2 x_{0} + 6 y_{0} - 2 = - (6 x_{0} - 2 y_{0} + 1)$

RivcJvD2ZCfS72

Ćwiczenie 5

Wyznacz równania prostych zawierających dwusieczne kątów wyznaczonych przez proste o równaniach $k$ i $l$ .
Przeciągnij i upuść.

$k : - x + y = 0, l : 7 x + y + 12 = 0$ , $k : 3 x + 4 y - 2 = 0, l : 4 x - 3 y + 5 = 0$ , $k : 2 x + 2 y + 7 = 0, l : 7 x + y - 4 = 0$ , $k : 4 x + 2 y + 1 = 0, l : 11 x - 2 y + 7 = 0$

Równania prostych $k$ i $l$	Równania prostych zawierających dwusieczne kątów wyznaczonych przez $k$ i $l$
$k : - x + y = 0, l : 7 x + y + 12 = 0$
$k : 3 x + 4 y - 2 = 0, l : 4 x - 3 y + 5 = 0$
$k : 2 x + 2 y + 7 = 0, l : 7 x + y - 4 = 0$
$k : 4 x + 2 y + 1 = 0, l : 11 x - 2 y + 7 = 0$

Rr7zR4TS0XYOR2

Ćwiczenie 6

Wyznacz równanie krzywej będącej zbiorem wszystkich punktów równoodległych od prostej o równaniu $k : x = - 3$ i punktu $A = (1, 3)$ .
Uporządkuj poniższe wypowiedzi tak, aby otrzymać rozwiązanie zadania.

Z otrzymanego równania możemy wyznaczyć $x_{0}$ :
$x_{0} = \frac{1}{8} {y_{0}}^{2} - \frac{3}{4} y_{0} + \frac{1}{8}$
Po redukcji wyrazów podobnych powyższe równanie przyjmuje postać
$8 x_{0} = {y_{0}}^{2} - 6 y_{0} + 1$
Zaczniemy od wprowadzenia oznaczeń na współrzędne punktu leżącego w równych odległościach od punktu $A$ i prostej $k$ . Niech punkt ten nazywa się $X$ i ma współrzędne $(x_{0}, y_{0})$ . Wyznaczymy teraz długość odcinka $A X$ i odległość punktu $X$ od prostej $k$ (w tej kolejności).
Ponieważ obie strony powyższego równania są nieujemne, możemy podnieść je do kwadratu otrzymując równanie równoważne:
${(x_{0} - 1)}^{2} + {(y_{0} - 3)}^{2} = {"|"x_{0} + 3"|"}^{2}$
Ponieważ odległość punktu $X$ od punktu $A$ jest równa odległości punktu $X$ od prostej $k$ , otrzymujemy równanie
$\sqrt{{(x_{0} - 1)}^{2} + {(y_{0} - 3)}^{2}} = "|"x_{0} + 3"|"$
Zatem równanie krzywej zawierającej wszystkie punkty równoodległe od punktu $A = (1, 3)$ i prostej $k : x = - 3$ to $x = \frac{1}{3} y^{2} - \frac{1}{4} y + \frac{1}{8}$
Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy równanie
${x_{0}}^{2} - 2 x_{0} + 1 + {y_{0}}^{2} - 6 y_{0} + 9 = {x_{0}}^{2} + 6 x_{0} + 9$
Obliczymy długość odcinka $A X$ :
$"|"A X"|" = \sqrt{{(x_{0} - 1)}^{2} + {(y_{0} - 3)}^{2}}$
Odległość punktu $X$ od prostej $k$ to:
$d (X, k) = "|"x_{0} + 3"|"$

Ćwiczenie 7

Wyznacz równanie krzywej będącej zbiorem wszystkich punktów równoodległych od prostej o równaniu $k : x = 1$ i punktu $A = (3, 2)$ .

Zaczniemy od wprowadzenia oznaczeń na współrzędne punktu leżącego w równych odległościach od punktu $A$ i prostej $k$ . Niech punkt ten nazywa się $X$ i ma współrzędne $(x_{0}, y_{0})$ . Wyznaczymy teraz długość odcinka $A X$ i odległość punktu $X$ od prostej $k$ :

|A X| = \sqrt{{(x_{0} - 3)}^{2} + {(y_{0} - 2)}^{2}}

d (X, k) = |x_{0} - 1|

Ponieważ odległość punktu $X$ od punktu $A$ jest równa odległości punktu $X$ od prostej $k$ , otrzymujemy równanie

\sqrt{{(x_{0} - 3)}^{2} + {(y_{0} - 2)}^{2}} = |x_{0} - 1|

Obie strony powyższego równania są nieujemne, możemy podnieść je do kwadratu otrzymując równanie równoważne:

{(x_{0} - 3)}^{2} + {(y_{0} - 2)}^{2} = {|x_{0} - 1|}^{2}

Po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy równanie ${x_{0}}^{2} - 6 x_{0} + 9 + {y_{0}}^{2} - 4 y_{0} + 4 = {x_{0}}^{2} - 2 x_{0} + 1$ , które można zredukować do postaci $4 x_{0} = {y_{0}}^{2} - 4 y_{0} + 12$ , a następnie wyznaczyć $x_{0} = \frac{1}{4} {y_{0}}^{2} - y_{0} + 3$ .

Zatem równanie krzywej zawierającej wszystkie punkty równoodległe od punktu $A = (3, 2)$ i prostej $k : x = 1$ to $x = \frac{1}{4} y^{2} - y + 3$ .

Ćwiczenie 8

a) Na osi $X$ znajdź punkt $P$ równoodległy od prostych $k : x - y + 3 = 0$ oraz $m : 7 x + y - 1 = 0$ .

b) Na osi $Y$ znajdź punkt $P$ równoodległy od prostych $k : 2 x + y - 1 = 0$ oraz $m : 11 x - 2 y + 1 = 0$ .

Ponieważ punkt $P$ leży na osi $X$ , więc jego współrzędne możemy oznaczyć przez $(x_{0}, 0)$ . Stosując wzór na odległość punktu od prostej możemy wyznaczyć odległości punktu $P$ od prostych $k$ i $m$ :

d (P, k) = \frac{|x_{0} - 0 + 3|}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{|x_{0} + 3|}{\sqrt{2}}

d (P, m) = \frac{|7 x_{0} - 0 - 1|}{\sqrt{7^{2} + 1^{2}}} = \frac{|7 x_{0} - 1|}{\sqrt{50}}

Ponieważ wskazane odległości są z treści zadania równe, otrzymujemy równanie

\frac{|x_{0} + 3|}{\sqrt{2}} = \frac{|7 x_{0} - 1|}{\sqrt{50}}

Po pomnożeniu obu stron równania przez $\sqrt{50}$ otrzymujemy równanie $5 \cdot |x_{0} + 3| = |7 x_{0} - 1|$ , które jest równoważne z równaniem $|5 x_{0} + 15| = |7 x_{0} - 1|$ .

Wartości bezwzględne są równe dokładnie wtedy, gdy ich wnętrza są równe lub przyjmują wartości przeciwne, zatem ostatnie równanie jest równoważne alternatywie równań:

5 x_{0} + 15 = 7 x_{0} - 1

lub

5 x_{0} + 15 = - 7 x_{0} + 1

Pierwiastkami powyższych równań są liczby $x_{0} = 8$ lub $x_{0} = - \frac{7}{6}$ . istnieją dwa takie punkty. Ich współrzędne to $(8, 0)$ i $(- \frac{7}{6}, 0)$ .

Ponieważ punkt $P$ leży na osi $Y$ , więc jego współrzędne możemy oznaczyć przez $(0, y_{0})$ . Stosując wzór na odległość punktu od prostej możemy wyznaczyć odległości punktu $P$ od prostych $k$ i $m$ :

d (P, k) = \frac{|2 \cdot 0 + y_{0} - 1|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}} = \frac{|y_{0} - 1|}{\sqrt{5}}

d (P, m) = \frac{|11 \cdot 0 - 2 x_{0} + 1|}{\sqrt{11^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{|- 2 x_{0} + 1|}{\sqrt{125}}

Ponieważ wskazane odległości są z treści zadania równe, otrzymujemy równanie

\frac{|y_{0} - 1|}{\sqrt{5}} = \frac{|- 2 x_{0} + 1|}{\sqrt{125}}

Po pomnożeniu obu stron równania przez $\sqrt{125}$ otrzymujemy równanie $5 \cdot |y_{0} - 1| = |- 2 x_{0} + 1|$ , które jest równoważne z równaniem $|5 y_{0} - 5| = |- 2 x_{0} + 1|$ .

Wartości bezwzględne są równe dokładnie wtedy, gdy ich wnętrza są równe lub przyjmują wartości przeciwne, zatem ostatnie równanie jest równoważne alternatywie równań:

5 y_{0} - 5 = - 2 y_{0} + 1

lub

5 y_{0} - 5 = 2 y_{0} - 1

Pierwiastkami powyższych równań są liczby $y_{0} = \frac{6}{7}$ lub $y_{0} = \frac{4}{3}$ . Zatem istnieją dwa takie punkty. Ich współrzędne to $(0, \frac{6}{7})$ i $(0, \frac{4}{3})$ .

Aplet

Dla nauczyciela