Krótsza przekątna podstawy będzie miała długość $a\sqrt{3}$. Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1V5BcrROfA49

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny oraz płaszczyznę przekroju w kształcie kwadratu. Płaszczyzna przekroju przechodzi przez krótszą przekątną dolnej podstawy, równoległą do niej krótszą przekątna górnej podstawy oraz przekątne ścian bocznych łączące obie przekątne podstaw bryły. Płaszczyzną przekroju jest kwadrat o boku $a\sqrt{3}$. Długość krawędzi bocznej oznaczono litera H a krawędź podstawy oznaczono literą a.

Wyraźmy wysokość graniastosłupa za pomocą $a$. Z twierdzenia Pitagorasa mamy: $H^2+a^2={\left(a\sqrt{3}\right)}^2$. Stąd $H=a\sqrt{2}$.

Obliczymy długość krótszej przekątnej graniastosłupa z twierdzenia Pitagorasa.

RmwfYMNLsEpz8

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny oraz jego płaszczyznę przekroju przechodzącą przez krótszą przekątną dolnej podstawy, krawędź boczną oraz krótszą przekątną bryły. Powstał w ten sposób trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $a\sqrt{3}$ oraz $a\sqrt{2}$ natomiast przeciwprostokątna ma długość x.

Mamy więc ${\left(a\sqrt{2}\right)}^2+{\left(a\sqrt{3}\right)}^2=x^2$. A stąd $x=a\sqrt{5}$.

Dłuższa przekątna graniastosłupa jest przekątną przekroju w kształcie kwadratu o boku $a\sqrt{3}$. Czyli ma długość $a\sqrt{3}·\sqrt{2}=a\sqrt{6}$.

Dłuższy bok przekroju, o którym mowa w zadaniu, ma długość dwukrotnie krótszą niż dłuższa przekątna graniastosłupa. Stąd dłuższa przekątna graniastosłupa ma długość $8$.

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1NIJnRuqxNB9

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny o podstawie dolnej A B C D E F, oraz górnej G H I J K L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się pod wierzchołek G, nad wierzchołkiem B znajduje się pod wierzchołkiem G i tak dalej. Zaznaczono środki krawędzi A G oraz D J i połączono je z wierzchołkami B, C, L, K tworząc płaszczyznę przekroju w kształcie sześciokąta. Dłuższy bok tego przekroju ma długość cztery. Zaznaczono dłuższą przekątną przekroju L C, której długość wynosi 8 oraz dłuższą przekątną C F. Krawędź L C jest nachylona do przekątnej C F pod kątem trzydzieści stopni.

Trójkąt $LFC$ jest prostokątny. Mamy więc $\sin 30°=\frac{\left|LF\right|}{8}$ i stąd $\left|LF\right|=4$. Podobnie $\cos 30°=\frac{\left|FC\right|}{8}$, co daje $\left|FC\right|=4\sqrt{3}$.

Oznaczmy przez $a$ krawędź podstawy i przez $H$ wysokość graniastosłupa.

Wtedy $2a=4\sqrt{3}$ i $H=4$. Czyli $a=2\sqrt{3}$.

Objętość graniastosłupa obliczymy ze wzoru $V=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}·H$. A zatem $V=6\cdot \frac{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}\cdot 4=72\sqrt{3}$.

Obwód przekroju wynosi więc $Ob=4\cdot 4+2\cdot 2\sqrt{3}=4\left(4+\sqrt{3}\right)$.