Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RSkenF6NhLPUw1

Ćwiczenie 1

Przekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną zawierającą krótszą przekątną podstawy oraz co najmniej jeden wierzchołek drugiej podstawy nie może być:

sześciokątem
trójkątem
pięciokątem
czworokątem

RBnyORQMhsa5h1

Ćwiczenie 2

RIXP8WGXAsUQj

Ćwiczenie 2

R10xn5I4n9usO1

Ćwiczenie 3

Przekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy długości $4$ zawiera krawędzie podstaw dwóch równoległych ścian bocznych. Najdłuższa przekątna tego przekroju, której końce są wierzchołkami graniastosłupa, ma długość $10$ . Obwód tego przekroju wynosi:

$28$
$20$
$8$
$24$

Ćwiczenie 4

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym $A B C D E F G H I J K L$ dany jest przekrój $P Q J G$ , gdzie $P$ i $Q$ są odpowiednio środkami krawędzi $H B$ i $I C$ (patrz rysunek).

Rcd5xOkuUVg2r

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny A B C D E F G H I J K L tak, ze wierzchołek A znajduje się pod wierzchołkiem G, wierzchołek B znajduje się pod wierzchołkiem G itd. Zaznaczono środki krawędzi B H oraz C I i oznaczono je odpowiednio P i Q. Poprowadzono dłuższą przekątną górnej podstawy G J i połączono wierzchołek G z P oraz wierzchołek J z Q. Powstał wówczas trapez równoramienny G J P Q.

RfA2lsWfLyRU4

Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Przekrój ten jest trapezem.
Ramiona $Q J$ i $P G$ są o połowę krótsze od przekątnych ścian bocznych.
Bok $G J$ przekroju jest dwukrotnie dłuższy od boku $P Q$ .
Przekątne $P J$ i $Q G$ są tej samej długości.

R1XlTrnRTIoiC2

Ćwiczenie 5

Przekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego przechodzący przez dłuższe przekątne obu podstaw ma wszystkie boki tej samej długości. Oceń prawdziwość każdego ze zdań.

Zdanie	Prawda	Fałsz
Przekrój tego graniastosłupa jest trójkątem równobocznym.	□	□
Przekrój tego graniastosłupa jest kwadratem.	□	□
Dłuższa przekątna graniastosłupa jest przekątną tego przekroju.	□	□
Krótsza przekątna tego graniastosłupa jest przekątną przekroju.	□	□
Wysokość graniastosłupa jest dwukrotnie dłuższa od krawędzi podstawy.	□	□

R14eRuUrxoi1p2

Ćwiczenie 6

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość $a$ a ściany boczne są kwadratami. Obwód przekroju, którego bokami są dłuższa przekątna podstawy i równoległa do niej krawędź drugiej podstawy, wynosi:

$3 a + 2 a \sqrt{2}$
$5 a$
$2 a (1 + \sqrt{2})$
$3 a + 2 a \sqrt{3}$

Ćwiczenie 7

Przekrój graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy $a$ , który zawiera dwie równoległe krótsze przekątne podstaw i nie jest prostopadły do podstawy, jest kwadratem. Wyraź długość przekątnych tego graniastosłupa w zależności od $a$ .

Krótsza przekątna podstawy będzie miała długość $a \sqrt{3}$ . Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1V5BcrROfA49

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny oraz płaszczyznę przekroju w kształcie kwadratu. Płaszczyzna przekroju przechodzi przez krótszą przekątną dolnej podstawy, równoległą do niej krótszą przekątna górnej podstawy oraz przekątne ścian bocznych łączące obie przekątne podstaw bryły. Płaszczyzną przekroju jest kwadrat o boku a3. Długość krawędzi bocznej oznaczono litera H a krawędź podstawy oznaczono literą a.

Wyraźmy wysokość graniastosłupa za pomocą $a$ . Z twierdzenia Pitagorasa mamy: $H^{2} + a^{2} = {(a \sqrt{3})}^{2}$ . Stąd $H = a \sqrt{2}$ .

Obliczymy długość krótszej przekątnej graniastosłupa z twierdzenia Pitagorasa.

RmwfYMNLsEpz8

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny oraz jego płaszczyznę przekroju przechodzącą przez krótszą przekątną dolnej podstawy, krawędź boczną oraz krótszą przekątną bryły. Powstał w ten sposób trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a3 oraz a2 natomiast przeciwprostokątna ma długość x.

Mamy więc ${(a \sqrt{2})}^{2} + {(a \sqrt{3})}^{2} = x^{2}$ . A stąd $x = a \sqrt{5}$ .

Dłuższa przekątna graniastosłupa jest przekątną przekroju w kształcie kwadratu o boku $a \sqrt{3}$ . Czyli ma długość $a \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = a \sqrt{6}$ .

Ćwiczenie 8

Dłuższy bok przekroju graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego zawierającego dwie równoległe krawędzie podstaw ma długość $4$ a dłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30 °$ . Oblicz objętość graniastosłupa i obwód tego przekroju.

Dłuższy bok przekroju, o którym mowa w zadaniu, ma długość dwukrotnie krótszą niż dłuższa przekątna graniastosłupa. Stąd dłuższa przekątna graniastosłupa ma długość $8$ .

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1NIJnRuqxNB9

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy sześciokątny o podstawie dolnej A B C D E F, oraz górnej G H I J K L. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się pod wierzchołek G, nad wierzchołkiem B znajduje się pod wierzchołkiem G i tak dalej. Zaznaczono środki krawędzi A G oraz D J i połączono je z wierzchołkami B, C, L, K tworząc płaszczyznę przekroju w kształcie sześciokąta. Dłuższy bok tego przekroju ma długość cztery. Zaznaczono dłuższą przekątną przekroju L C, której długość wynosi 8 oraz dłuższą przekątną C F. Krawędź L C jest nachylona do przekątnej C F pod kątem trzydzieści stopni.

Trójkąt $L F C$ jest prostokątny. Mamy więc $\sin 30 ° = \frac{|L F|}{8}$ i stąd $|L F| = 4$ . Podobnie $\cos 30 ° = \frac{|F C|}{8}$ , co daje $|F C| = 4 \sqrt{3}$ .

Oznaczmy przez $a$ krawędź podstawy i przez $H$ wysokość graniastosłupa.

Wtedy $2 a = 4 \sqrt{3}$ i $H = 4$ . Czyli $a = 2 \sqrt{3}$ .

Objętość graniastosłupa obliczymy ze wzoru $V = 6 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot H$ . A zatem $V = 6 \cdot \frac{{(2 \sqrt{3})}^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot 4 = 72 \sqrt{3}$ .

Obwód przekroju wynosi więc $O b = 4 \cdot 4 + 2 \cdot 2 \sqrt{3} = 4 (4 + \sqrt{3})$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela