Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

ReE3Nu5DfK3A11

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź. Jeżeli ojciec jest starszy od syna o $32$ lata, a stosunek wieku ojca do wieku syna wynosi $3 : 1$ , to:

syn ma $16$ lat, a ojciec $48$ lat
suma wieku ojca i syna wynosi $45$ lat
$8$ lat temu stosunek wieku ojca do wieku syna wynosił $4 : 1$

RwZgyYTPVVtqj1

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawne dokończenie zdania. Mama Kasi jest o $6$ lat młodsza od jej taty. Zatem:

jeżeli stosunek wieku taty Kasi do wieku mamy Kasi wynosi $7 : 6$ , to suma ich lat wynosi $78$ .
jeżeli stosunek wieku taty Kasi do wieku mamy Kasi wynosi $5 : 4$ , to suma ich lat wynosi $44$ .
jeżeli stosunek wieku taty Kasi do wieku mamy Kasi wynosi $10 : 9$ , to suma ich lat wynosi $104$ .
jeżeli stosunek wieku mamy Kasi do wieku taty Kasi wynosi $17 : 20$ , to suma ich lat wynosi $74$ .

R1RWUXAJF4eUd2

Ćwiczenie 3

Wstaw w tekst odpowiednie liczby. Gdyby dwie firmy pracowały razem, to wykonałyby pewną pracę w ciągu

15

dni. Wiadomo, że pierwsza firma wykonała czwartą część pracy, a druga firma pozostałą część. Wówczas:
- liczba dni potrzebnych na wykonanie całej pracy przez pierwszą firmę wynosi 1.

60

, 2.

20

- liczba dni potrzebnych na wykonanie całej pracy przez drugą firmę wynosi 1.

60

, 2.

20

Przeciągnij prawidłowe liczby w odpowiednie miejsca.

$17, 5$ , $2$ , $21, 5$ , $20, 5$ , $4$ , $16, 5$

Basia kupiła ciastka czekoladowe w cenie $x z ł$ za kilogram i zapłaciła $35 zł$ oraz taką samą ilość ciastek orzechowych droższych o $4 zł$ za kilogram i zapłaciła $43 zł$ . Wówczas:
- Basia kupiła łącznie ............ kilogramy ciastek,
- $1 kg$ ciastek czekoladowych kosztował ............ $zł$
- $1 kg$ ciastek orzechowych kosztował ............ $zł$

R1ClkYfX33HZR21

Ćwiczenie 4

Połącz w pary treść zadania z rozwiązaniem. Pomalowanie pokoju zajmuje pierwszej osobie o

4

godziny mniej niż drugiej, a gdyby pracowały razem, to czas pracy wyniósłby

3 h 45 m i n

. Możliwe odpowiedzi: 1. Pierwsza osoba wykonywałaby pracę

3

godziny, a druga

7

godzin., 2. Pierwsza osoba wykonywałaby pracę

8

godzin, a druga

12

godzin., 3. Pierwsza osoba wykonywałaby pracę

6

godzin, a druga

10

godzin. Pomalowanie pokoju zajmuje pierwszej osobie o

4

godziny mniej niż drugiej, a gdyby pracowały razem, to czas pracy wyniósłby

2 h 6 m i n

. Możliwe odpowiedzi: 1. Pierwsza osoba wykonywałaby pracę

3

godziny, a druga

7

godzin., 2. Pierwsza osoba wykonywałaby pracę

8

godzin, a druga

12

godzin., 3. Pierwsza osoba wykonywałaby pracę

6

godzin, a druga

10

godzin. Pomalowanie pokoju zajmuje pierwszej osobie o

4

godziny mniej niż drugiej, a gdyby pracowały razem, to czas pracy wyniósłby

4 h 48 m i n

. Możliwe odpowiedzi: 1. Pierwsza osoba wykonywałaby pracę

3

godziny, a druga

7

godzin., 2. Pierwsza osoba wykonywałaby pracę

8

godzin, a druga

12

godzin., 3. Pierwsza osoba wykonywałaby pracę

6

godzin, a druga

10

godzin.

Wiadomo, że pewną pracę wykonują dwie osoby. Połącz w pary treść zadania z odpowiednim rozwiązaniem.

Pierwsza osoba wykonywałaby pracę w <math><mn>3</mn></math> godziny, a druga w <math><mn>7</mn></math> godzin., Pierwsza osoba wykonywałaby pracę w <math><mn>6</mn></math> godzin, a druga w <math><mn>10</mn></math> godzin., Pierwsza osoba wykonywałaby pracę w <math><mn>8</mn></math> godzin, a druga w <math><mn>12</mn></math> godzin.

Pomalowanie pokoju zajmuje pierwszej osobie o $4$ godziny mniej niż drugiej, a gdyby pracowały razem, to czas pracy wyniósłby $3 h 45 \min$ .
Pomalowanie pokoju zajmuje pierwszej osobie o $4$ godziny mniej niż drugiej, a gdyby pracowały razem, to czas pracy wyniósłby $2 h 6 \min$ .
Pomalowanie pokoju zajmuje pierwszej osobie o $4$ godziny mniej niż drugiej, a gdyby pracowały razem, to czas pracy wyniósłby $4 h 48 \min$ .

R1LHBlR3PvTe32

Ćwiczenie 5

Uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami. Wiadomo, że jeden robotnik wykonuje pewną pracę w czasie dwa razy dłuższym niż drugi robotnik, a gdyby pracowali razem, to wykonaliby tę samą pracę w czasie

6

godzin. Wtedy: - pierwszy robotnik wykona tę pracę w czasie Tu uzupełnij godzin - drugi robotnik wykona tę pracę w czasie Tu uzupełnij godzin. Wiadomo, że jeden robotnik wykonuje pewną pracę w czasie o

4

godziny dłuższym niż drugi robotnik, a gdyby pracowali razem, to wykonaliby tę samą pracę w czasie

2 h 40 m i n

. Wtedy: - pierwszy robotnik wykona tę pracę w czasie Tu uzupełnij godzin - drugi robotnik wykona tę pracę w czasie Tu uzupełnij godzin.

Uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami.

Wiadomo, że jeden robotnik wykonuje pewną pracę w czasie dwa razy dłuższym niż drugi robotnik, a gdyby pracowali razem, to wykonaliby tę samą pracę w czasie $6$ godzin. Wtedy:
- pierwszy robotnik wykona tę pracę w czasie ............ godzin,
- drugi robotnik wykona tę pracę w czasie ............ godzin.

Wiadomo, że jeden robotnik wykonuje pewną pracę w czasie o $4$ godziny dłuższym niż drugi robotnik, a gdyby pracowali razem, to wykonaliby tę samą pracę w czasie $2 h 40 \min$ . Wtedy:
- pierwszy robotnik wykona tę pracę w czasie ............ godzin,
- drugi robotnik wykona tę pracę w czasie ............ godzin.

Ćwiczenie 6

Do napełnienia zbiornika można użyć trzech kranów. Drugi kran może napełnić cały zbiornik w czasie o $3$ godziny dłuższym niż pierwszym, a trzeci kran – o $5$ godzin dłużej niż drugi. Gdyby krany napełniały zbiornik równocześnie, to zajęłoby im to $1 h 15 \min$ . Oblicz, w jakim czasie każdy z kranów napełnia zbiornik, gdy każdy kran pracuje osobno oraz czas pracy każdego z kranów jest wyrażony liczbą naturalną.

Niech $w$ będzie objętością zbiornika oraz $t$ – czasem napełnienia zbiornika, gdy woda leci tylko z pierwszego kranu.

Zauważmy, że $1 h 15 \min = 1 \frac{15}{60} h = 1 \frac{1}{4} h = \frac{5}{4} h$ .

Wówczas w ciągu $1$ godziny zostanie napełnione:

$\frac{w}{t}$ objętości zbiornika, gdy pracuje tylko pierwszy kran,

$\frac{w}{t + 3}$ objętości zbiornika, gdy pracuje tylko drugi kran,

$\frac{w}{t + 8}$ objętości zbiornika, gdy pracuje tylko trzeci kran,

$\frac{w}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} w$ objętości zbiornika, gdy krany pracują równocześnie.

Zatem do wyznaczenia wartości $t$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{w}{t} + \frac{w}{t + 3} + \frac{w}{t + 8} = \frac{4}{5} w$

Zatem:

$\frac{1}{t} + \frac{1}{t + 3} + \frac{1}{t + 8} = \frac{4}{5}$

$5 (t + 3) (t + 8) + 5 t \cdot (t + 8) + 5 t \cdot (t + 3) = 4 t \cdot (t + 3) (t + 8)$

$5 t^{2} + 55 t + 120 + 5 t^{2} + 40 t + 5 t^{2} + 15 t = 4 t^{3} + 44 t^{2} + 96 t$

$4 t^{3} + 29 t^{2} - 14 t - 120 = 0$

Zatem:

$(4 t^{2} + 37 t + 60) (t - 2) = 0$

Zauważmy, że równanie $4 t^{2} + 37 t + 60 = 0$ ma pierwiastki niewymierne, bo $∆ = 37^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 60 = 409$ oraz $\sqrt{409} \notin W$ , zatem $t = 2$ .

Wobec tego czas napełniania zbiornika przez pierwszy, drugi i trzeci kran wynosi odpowiednio:

$2 h$ , $5 h$ i $10 h$ .

Ćwiczenie 7

Dwie różne maszyny wykonują pewną pracę. Gdyby pierwsza maszyna pracowała sama przez $2, 5$ godziny, to do zakończenia pracy obie maszyny musiałyby pracować razem jeszcze przez $2$ godziny. Druga maszyna pracująca samodzielnie wykonuje tę pracę w czasie o $15$ godzin dłuższym niż pierwsza. Oblicz, w ciągu ilu godzin każda z maszyn może samodzielnie wykonać tę pracę.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$x$ – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracowała tylko pierwsza maszyna,

$x + 15$ – czas, w którym praca zostanie wykonana, gdy będzie pracowała tylko druga maszyna.

Zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{2, 5}{x} + 2 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 15}) = 1$

$\frac{2, 5}{x} + \frac{2}{x} + \frac{2}{x + 15} = 1$

$2, 5 \cdot (x + 15) + 2 \cdot (x + 15) + 2 x = x \cdot (x + 15)$

$x^{2} + 15 x - 2, 5 x - 37, 5 - 2 x - 30 - 2 x = 0$

$x^{2} + 8, 5 x - 67, 5 = 0$

$2 x^{2} + 17 x - 135 = 0$

$∆ = 17^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 135 = 1369$

$\sqrt{∆} = \sqrt{1369} = 37$

$x_{1} = \frac{- 17 - 37}{4} = - 13, 5 < 0$

$x_{2} = \frac{- 17 + 37}{4} = 5 > 0$

Zatem pierwsza maszyna wykonuje pracę w ciągu $5$ , a druga w ciągu $20$ godzin.

Ćwiczenie 8

Koszt wyjazdu uczniów do kina wyniósł $840 zł$ . Gdyby nie pojechały $4$ osoby, to każda z pozostałych musiałaby zapłacić o $7 zł$ więcej. Jaki był koszt przejazdu jednego ucznia?

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$x$ – liczba uczniów

$y$ – koszt przejazdu jednego ucznia

Wobec tego do wyznaczenia wartości $x$ i $y$ ( $x > 4$ oraz $y > 0$ ) rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} x = \frac{840}{y} \\ x - 4 = \frac{840}{y + 7} \end{cases}$

Rozwiązanie tego układu równań sprowadzamy do równania wymiernego postaci:

$\frac{840}{y} - 4 = \frac{840}{y + 7}$

$840 \cdot (y + 7) - 4 y \cdot (y + 7) = 840 y$

$840 y + 5880 - 4 y^{2} - 28 y = 840 y$

$- 4 y^{2} - 28 y + 5880 = 0$

$y^{2} + 7 y - 1470 = 0$

$∆ = 49 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1470) = 5929$

$\sqrt{∆} = 77$

$y_{1} = \frac{- 7 - 77}{2} = - 42$

$y_{2} = \frac{- 7 + 77}{2} = 35$

Zatem koszt wyjazdu na jednego ucznia wynosił $35 zł$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela