Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1SO9qShsl5751

Ćwiczenie 1

R16cAeOw4NBV61

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Na boku $A B$ kwadratu $A B C D$ budujemy trójkąt równoboczny $A B E$ . Wyznacz miarę kąta $D E C$ . Rozważ dwa przypadki. Odpowiedź podaj w mierze łukowej.

Przypadek I - trójkąt $A B E$ leży wewnątrz kwadratu $A B C D$ .

R1FqBDftswo4h

Rysunek przedstawia kwadrat A B C D, w którego środku zaznaczono punkt E. Wewnątrz figury poprowadzono cztery odcinki: A E i B E są równe oraz odcinki D E i C E.

Zauważmy, że trójkąt $B E C$ jest równoramienny z kątem $E B C$ między ramionami o mierze $\frac{π}{2} - \frac{π}{3} = \frac{π}{6}$ . Zatem kąt $B E C$ przy podstawie ma miarę $\frac{π - \frac{π}{6}}{2} = \frac{5 π}{12}$ . Analogicznie kąt $A E D$ w trójkącie $A E D$ ma miarę $\frac{5 π}{12}$ . Stąd miara kąta $D E C$ jest równa $2 π - 2 \cdot \frac{5 π}{12} - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{6}$ .

Przypadek II - trójkąt $A B E$ leży na zewnątrz kwadratu $A B C D$ .

Re4rT31Bg0Skd

Rysunek przedstawia kwadrat A B C D, nad którym zaznaczono punkt E. Na ilustracji narysowano cztery odcinki do punktu E: A E i B E są równe oraz odcinki D E i C E.

Zauważmy, że trójkąt $B E C$ jest równoramienny z kątem $E B C$ między ramionami o mierze $\frac{π}{2} + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{6}$ . Zatem kąt $B E C$ przy podstawie ma miarę $\frac{π - \frac{5 π}{6}}{2} = \frac{π}{12}$ . Analogicznie kąt $A E D$ w trójkącie $A E D$ ma miarę $\frac{π}{12}$ . Stąd miara kąta $D E C$ jest równa $\frac{π}{3} - 2 \cdot \frac{π}{12} = \frac{π}{6}$ .

Ćwiczenie 4

Wyznacz miary wszystkich możliwych kątów między przekątnymi pięciokąta foremnego. Odpowiedź podaj w mierze łukowej.

Wszystkie możliwe kąty o różnych miarach między przekątnymi pięciokąta foremnego zaznaczone są na rysunku poniżej:

R1T7hJAik8DRc

Rysunek przedstawia pięciokąt foremny A B C D E, na którym opisano okrąg. W pięciokącie zaznaczono trzy kąty. Pierwszy to kąt B E C, który opisano jako alfa. Następnie narysowano odcinek A D, który przeciął odcinek E C w punkcie F. Kąt A F E oznaczono jako gama i kąt D F E oznaczono jako beta. Kąty beta i gama mają razem miarę pi, czyli 180 stopni.

Miara kąta środkowego opartego na cięciwie będącej bokiem pięciokąta jest równa $\frac{2 π}{5}$ . Kąt $α$ jest wpisany i oparty na tej samej cięciwie, więc jego miara wynosi $\frac{π}{5}$ . Z sumy miar kątów wewnętrznych trójkąta możemy wyznaczyć miarę kąta $γ$ : $γ = \frac{π - \frac{π}{5}}{2} = \frac{2 π}{5}$ . Kąt $β$ jest kątem przyległym do kąta $γ$ więc ma miarę $β = π - \frac{2 π}{5} = \frac{3 π}{5}$ . Zatem wszystkie różne miary kątów między przekątnymi pięciokąta foremnego to: $\frac{π}{5}$ , $\frac{2 π}{5}$ , $\frac{3 π}{5}$ .

RO83yg7B39xuc2

Ćwiczenie 5

Łączenie par. .

\frac{π}{5}

. Możliwe odpowiedzi: .

\frac{2 π}{5}

. Możliwe odpowiedzi: .

\frac{3 π}{5}

. Możliwe odpowiedzi: . Kąt między przekątnymi sześciokąta foremnego może mieć miarę. Możliwe odpowiedzi: .

\frac{π}{3}

. Możliwe odpowiedzi: .

\frac{π}{6}

. Możliwe odpowiedzi: .

\frac{π}{2}

. Możliwe odpowiedzi: . Kąt między przekątnymi siedmiokąta foremnego może mieć miarę. Możliwe odpowiedzi: .

\frac{4 π}{7}

. Możliwe odpowiedzi: .

\frac{5 π}{7}

. Możliwe odpowiedzi: .

\frac{6 π}{7}

. Możliwe odpowiedzi: . Kąt między przekątnymi wychodzącymi z tego samego wierzchołka ośmiokąta foremnego może mieć miarę. Możliwe odpowiedzi: .

\frac{π}{16}

. Możliwe odpowiedzi: .

\frac{π}{8}

. Możliwe odpowiedzi: .

\frac{π}{4}

. Możliwe odpowiedzi:

Ćwiczenie 6

a) Oblicz pole ośmiokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu $2$ .
b) Oblicz pole ośmiokąta foremnego o boku $2$ .

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

RBvJhs46KfPJE

Rysunek przedstawia ośmiokąt foremny A B C D E F G H, na którym opisano okrąg o środku w punkcie I. Na ilustracji zaznaczono dwa kąty i kilka odcinków i prostą. Odcinki to: C G, D H, które przecinają się w środku okręgu. Przez wierzchołki H oraz F poprowadzono prostą, która przecięła odcinek C G w punkcie J. Kąty to: kąt G I H o mierze pi czwartych i kąt G J H o mierze pi drugich.

a) Zauważmy, że kąt środkowy $H I G$ ma miarę $\frac{π}{4}$ , zaś kąt $H J G$ ma miarę $\frac{π}{2}$ . Zatem trójkąt $H J I$ jest połową kwadratu o przekątnej $2$ , więc jego bok ma długość $\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ . Stąd pole trójkąta $H I G$ jest równe $P_{Δ H I G} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$ . Pole ośmiokąta jest równe $P = 8 \sqrt{2}$ .

b) Jeśli bok ośmiokąta ma długość $2$ , to promień $R$ okręgu opisanego możemy obliczyć stosując twierdzenie cosinusów do trójkąta $H I G$ : $2^{2} = R^{2} + R^{2} - 2 R^{2} \cos \frac{π}{4}$ . Zatem $4 = 2 R^{2} - 2 R^{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ . I dalej
$4 = R^{2} (2 - \sqrt{2})$
$R^{2} = \frac{4}{2 - \sqrt{2}}$
$R^{2} = \frac{4}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{4 (2 + \sqrt{2})}{2} = 2 (2 + \sqrt{2})$

Pole trójkąta $H I G$ jest równe
$P_{Δ H I G} = \frac{1}{2} \cdot R^{2} \cdot \sin \frac{π}{4} = \frac{1}{2} \cdot 2 (2 + \sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} + 1$ .
Pole ośmiokąta jest równe
$P = 8 \cdot (\sqrt{2} + 1)$ .

R19ds61gjEuHv21

Ćwiczenie 7

Łączenie par. . Trójkąt równoboczny. Możliwe odpowiedzi: Czy jest środkowosymetryczny?, , Czy jest obrotowosymetryczny?, , Czy jest osiowosymetryczny?, . Kwadrat. Możliwe odpowiedzi: Czy jest środkowosymetryczny?, , Czy jest obrotowosymetryczny?, , Czy jest osiowosymetryczny?, . Pięciokąt foremny. Możliwe odpowiedzi: Czy jest środkowosymetryczny?, , Czy jest obrotowosymetryczny?, , Czy jest osiowosymetryczny?, . Sześciokąt foremny. Możliwe odpowiedzi: Czy jest środkowosymetryczny?, , Czy jest obrotowosymetryczny?, , Czy jest osiowosymetryczny?, . Siedmiokąt foremny. Możliwe odpowiedzi: Czy jest środkowosymetryczny?, , Czy jest obrotowosymetryczny?, , Czy jest osiowosymetryczny?, . Ośmiokąt foremny. Możliwe odpowiedzi: Czy jest środkowosymetryczny?, , Czy jest obrotowosymetryczny?, , Czy jest osiowosymetryczny?, .

99

-kąt foremny. Możliwe odpowiedzi: Czy jest środkowosymetryczny?, , Czy jest obrotowosymetryczny?, , Czy jest osiowosymetryczny?, .

100

-kąt foremny. Możliwe odpowiedzi: Czy jest środkowosymetryczny?, , Czy jest obrotowosymetryczny?, , Czy jest osiowosymetryczny?,

R2FZc30bvigLQ2

Ćwiczenie 8

Uporządkuj poniższe wypowiedzi tak, aby otrzymać wyprowadzenie wzoru na pole

n

-kąta foremnego o boku

a

. Elementy do uszeregowania: 1. Po zastosowaniu wzorów na sinus i kosinus kątów podwójnych mamy:, 2. Z powyższej równości wyznaczamy

R^{2}

:, 3.

P = \frac{a^{2}}{4} \cdot n \cdot ctg \frac{π}{n}

, 4. Po podstawieniu wyrażenia na

R^{2}

do wzoru na pole trójkąta otrzymujemy:, 5.

P_{Δ} = \frac{a^{2}}{4} \cdot \frac{2 \sin \frac{π}{n} \cos \frac{π}{n}}{2 \sin^{2} \frac{π}{n}} = \frac{a^{2}}{4} \cdot \frac{\cos \frac{π}{n}}{\sin \frac{π}{n}} = \frac{a^{2}}{4} ctg \frac{π}{n}

, 6.

a^{2} = 2 R^{2} (1 - \cos \frac{2 π}{n})

, 7. Po przekształceniach ostatniego wyrażenia otrzymujemy wzór na pole trójkąta w najprostszej postaci:, 8.

P_{Δ} = \frac{a^{2}}{4} \cdot \frac{2 \sin \frac{π}{n} \cos \frac{π}{n}}{1 - (1 - 2 \sin^{2} \frac{π}{n})}

, 9.

a^{2} = R^{2} + R^{2} - 2 R \cdot R \cos \frac{2 π}{n}

, 10.

R^{2} = \frac{a^{2}}{2 (1 - \cos \frac{2 π}{n})}

, 11. Teraz skorzystamy ze wzoru, który orzeka, że pole trójkąta jest równe połowie iloczynu jego dwóch boków i sinusa kąta zawartego między nimi:, 12. Najpierw wyznaczymy promień

R

okręgu opisanego na rozważanym

n

-kącie foremnym., 13.

P_{Δ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^{2}}{2 (1 - \cos \frac{2 π}{n})} \cdot \sin \frac{2 π}{n}

, 14. Ponieważ

n

-kąt foremny składa się z n takich trójkątów, jego pole możemy policzyć ze wzoru:, 15. W tym celu zastosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta równoramiennego o bokach

R

R

a

i kącie między ramionami o mierze równej

\frac{2 π}{n}

:, 16.

P_{Δ} = \frac{1}{2} R^{2} \cdot \sin \frac{2 π}{n}

, 17. Zapiszmy powyższe wyrażenie nieco inaczej:

P_{Δ} = \frac{a^{2}}{4} \cdot \frac{\sin \frac{2 π}{n}}{1 - \cos \frac{2 π}{n}}

RG73kI1LfbAak2

Ćwiczenie 9

Połącz w pary wielokąty foremne z ich polami. Pięciokąt foremny o boku

2

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 7 ctg \frac{π}{7}

, 2.

P = 2 (1 + \sqrt{2})

, 3.

P = 6 \sqrt{3}

, 4.

P = 3 (2 + \sqrt{3})

, 5.

P = 5 ctg \frac{π}{5}

Sześciokąt foremny o boku

2

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 7 ctg \frac{π}{7}

, 2.

P = 2 (1 + \sqrt{2})

, 3.

P = 6 \sqrt{3}

, 4.

P = 3 (2 + \sqrt{3})

, 5.

P = 5 ctg \frac{π}{5}

Siedmiokąt foremny o boku

2

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 7 ctg \frac{π}{7}

, 2.

P = 2 (1 + \sqrt{2})

, 3.

P = 6 \sqrt{3}

, 4.

P = 3 (2 + \sqrt{3})

, 5.

P = 5 ctg \frac{π}{5}

Ośmiokąt foremny o boku

1

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 7 ctg \frac{π}{7}

, 2.

P = 2 (1 + \sqrt{2})

, 3.

P = 6 \sqrt{3}

, 4.

P = 3 (2 + \sqrt{3})

, 5.

P = 5 ctg \frac{π}{5}

Dwunastokąt foremny o boku

1

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = 7 ctg \frac{π}{7}

, 2.

P = 2 (1 + \sqrt{2})

, 3.

P = 6 \sqrt{3}

, 4.

P = 3 (2 + \sqrt{3})

, 5.

P = 5 ctg \frac{π}{5}

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela

Przypadek I - trójkąt $A B E$ leży wewnątrz kwadratu $A B C D$ .

Przypadek II - trójkąt $A B E$ leży na zewnątrz kwadratu $A B C D$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela

Sprawdź się

Przypadek I - trójkąt ABE leży wewnątrz kwadratu ABCD.

Przypadek II - trójkąt ABE leży na zewnątrz kwadratu ABCD.

Przypadek I - trójkąt $A B E$ leży wewnątrz kwadratu $A B C D$ .

Przypadek II - trójkąt $A B E$ leży na zewnątrz kwadratu $A B C D$ .