Na boku kwadratu budujemy trójkąt równoboczny . Wyznacz miarę kąta . Rozważ dwa przypadki. Odpowiedź podaj w mierze łukowej.
Przypadek I - trójkąt leży wewnątrz kwadratu .
R1FqBDftswo4h
Zauważmy, że trójkąt jest równoramienny z kątem między ramionami o mierze . Zatem kąt przy podstawie ma miarę . Analogicznie kąt w trójkącie ma miarę . Stąd miara kąta jest równa .
Przypadek II - trójkąt leży na zewnątrz kwadratu .
Re4rT31Bg0Skd
Zauważmy, że trójkąt jest równoramienny z kątem między ramionami o mierze . Zatem kąt przy podstawie ma miarę . Analogicznie kąt w trójkącie ma miarę . Stąd miara kąta jest równa .
3
Ćwiczenie 4
Wyznacz miary wszystkich możliwych kątów między przekątnymi pięciokąta foremnego. Odpowiedź podaj w mierze łukowej.
Wszystkie możliwe kąty o różnych miarach między przekątnymi pięciokąta foremnego zaznaczone są na rysunku poniżej:
R1T7hJAik8DRc
Miara kąta środkowego opartego na cięciwie będącej bokiem pięciokąta jest równa . Kąt jest wpisany i oparty na tej samej cięciwie, więc jego miara wynosi . Z sumy miar kątów wewnętrznych trójkąta możemy wyznaczyć miarę kąta : . Kąt jest kątem przyległym do kąta więc ma miarę . Zatem wszystkie różne miary kątów między przekątnymi pięciokąta foremnego to: , , .
RO83yg7B39xuc2
Ćwiczenie 5
3
Ćwiczenie 6
a) Oblicz pole ośmiokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu . b) Oblicz pole ośmiokąta foremnego o boku .
Wykonajmy rysunek pomocniczy:
RBvJhs46KfPJE
a) Zauważmy, że kąt środkowy ma miarę , zaś kąt ma miarę . Zatem trójkąt jest połową kwadratu o przekątnej , więc jego bok ma długość . Stąd pole trójkąta jest równe . Pole ośmiokąta jest równe .
b) Jeśli bok ośmiokąta ma długość , to promień okręgu opisanego możemy obliczyć stosując twierdzenie cosinusów do trójkąta : . Zatem . I dalej
Pole trójkąta jest równe . Pole ośmiokąta jest równe .