Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Rxw3NG4092xiP1

Ćwiczenie 1

R13RZEGjc3QXR1

Ćwiczenie 2

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Dany jest trójkąt o wierzchołkach

A = (- 3; 2), B = (1; 4), C = (5; - 1)

. Wówczas: Stwierdzenie pierwsze: Równanie prostej zawierającej bok

A B

to. Możliwe odpowiedzi: a)

y = 2 x + \frac{2}{7}

., b)

y = 2 x + 2

., c)

y = \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}

. Stwierdzenie drugie: Równanie prostej zawierającej środkową poprowadzoną z wierzchołka

B

to. Możliwe odpowiedzi: a)

x = 1

., b)

y = 1

., c)

y = x

. Stwierdzenie trzecie: Równanie prostej zawierającej pewną środkową trójkąta

A B C

to. Możliwe odpowiedzi: a)

y = - \frac{2}{3} x + \frac{7}{3}

., b)

y = - \frac{3}{8} x + \frac{7}{8}

., c)

y = - \frac{1}{12} x + \frac{7}{4}

RpFOldF2HdmQy1

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Punkt $A = (4; 6)$ jest wierzchołkiem trójkąta $A B C$ , którego dwie środkowe zawierają się w prostych o równaniach $y = 0$ oraz $y = - x + 4$ . Znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta.

Wyznaczmy najpierw współrzędne punktu $S$ przecięcia środkowych trójkąta $A B C$ .

W tym celu wystarczy rozwiązać układ równań $\{\begin{matrix} y = - x + 4 \\ y = 0 \end{matrix}$ , z którego wynika, że $S = (4; 0)$ .
Korzystając z faktu, że punkt przecięcia środkowych dzieli je w stosunku $2 : 1$ licząc od wierzchołka, możemy zauważyć, że współrzędne środka $M$ odcinka $B C$ to $(4; - 3)$ .
Niech $B$ należy do prostej o równaniu $y = 0$ , zaś $C$ należy do prostej o równaniu $y = - x + 4$ . Wówczas współrzędne punktu $B$ możemy oznaczyć przez $(b; 0)$ , zaś współrzędne punktu $C$ są równe $(c; 4 - c)$ .
Z przyjętych oznaczeń oraz wzorów na współrzędne środka odcinka wynikają równania: $\frac{4 - c}{2} = - 3$ i $\frac{b + c}{2} = 4$ .
Zatem $c = 10$ i $b = -2$ . Współrzędne szukanych punktów to $B = (- 2; 0)$ i $C = (10; - 6)$ .

R14VbjuIEUMKM2

Ćwiczenie 5

Napisz równanie prostej opuszczonej z wierzchołka

A

trójkąta

A B C

, gdzie

A = (2; 7), B = (1; 1), C = (3; 6)

i prostopadłej do prostej zawierającą środkową

B D

tego trójkąta. Uporządkuj poniższe wypowiedzi, aby otrzymać rozwiązanie zadania. Elementy do uszeregowania: 1. jej równanie:

y - 7 = - \frac{3}{11} (x - 2) \Leftrightarrow y = - \frac{3}{11} x + 7 \frac{6}{11}

, 2. Ponieważ prosta, której równania szukamy, jest prostopadła do prostej

B D

, więc jej współczynnik kierunkowy jest równy

- \frac{3}{11}

., 3. Równanie prostej zawierającej środkową

B D

to:

(2 - 2 - 3) (y - 1) = (2 - 7 - 6) (x - 1) \Leftrightarrow y = \frac{11}{3} x - \frac{8}{3}

., 4. Korzystając z faktu, że szukana prosta przechodzi przez punkt

A

, możemy wyznaczyć

Ćwiczenie 6

W trójkącie $A B C$ dane są wierzchołki $A = (2; - 3), B = (5, 1)$ , równanie prostej zawierającej bok $B C$ : $x + 2 y - 7 = 0$ oraz równanie prostej zawierającej środkową $A M$ tego trójkąta $5 x - y - 13 = 0$ . Znajdź równanie prostej zawierającej wysokość tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka $C$ .

Zauważmy, że współrzędne środka $M$ odcinka $B C$ możemy otrzymać rozwiązując układ równań $\{\begin{matrix} x + 2 y - 7 = 0 \\ 5 x - y - 13 = 0 \end{matrix}$ , z którego wynika, że $M = (3; 2)$ . Ponieważ punkt $C$ leży na prostej o równaniu $x + 2 y - 7 = 0 \Leftrightarrow y = - 0, 5 x + 3, 5$ , to jego współrzędne spełniają zależność $(c; 3, 5 - 0, 5 c)$ . Ponieważ $M$ jest środkiem odcinka $B C$ , więc zachodzą równania $\frac{c + 5}{2} = 3$ i $\frac{3, 5 - 0, 5 c + 1}{2} = 2$ , z czego wynika, że $c = 1$ . Zatem punkt $C$ ma współrzędne $(1; 3)$ . Wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej AB: $\frac{- 3 - 1}{2 - 5} = \frac{- 4}{- 3} = \frac{4}{3}$ . Zatem współczynnik kierunkowy prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka $C$ jest równy $- \frac{3}{4}$ . Równanie prostej o współczynniku kierunkowym $- \frac{3}{4}$ przechodzącej przez punkt $C = (1; 3)$ to $y - 3 = - \frac{3}{4} (x - 1)$ , czyli $y = - \frac{3}{4} x + \frac{15}{4}$ .

Ćwiczenie 7

R1A1Tsh6cmmij

Uporządkuj poniższe wypowiedzi, aby otrzymać rozwiązanie zadania. Elementy do uszeregowania: 1. Równanie prostej

B D

ma postać:

y - 3 = \frac{- 1 - 3}{- 4 + 6} (x + 6)

, czyli

y = - 2 x - 9

., 2. Zatem współrzędne punktu

D

(- 6; 3)

., 3. Teraz możemy wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia prostej zawierającej wysokość i jej symetralnej., 4. Zatem współrzędne punktu

S

można wyznaczyć rozwiązując układ równań

\{\begin{cases} y = - \frac{1}{3} x + \frac{8}{3} \\ y = - 2 x + 1 \end{cases}

., 5. Można to zrobić rozwiązując układ równań

\{\begin{cases} y = \frac{1}{2} x + 6 \\ y = - 2 x + 1 \end{cases}

, 6. Prosta zawierająca wysokość CD jest prostopadła do swojej symetralnej, zatem współczynnik kierunkowy jej równania to

\frac{1}{2}

., 7. Rozwiązaniem powyższego układu jest para liczby

x = - 2

y = 5

, zatem środek wysokości

C D

ma współrzędne

(- 2; 5)

., 8. W drugiej kolejności wyznaczymy współrzędne punktu

B

. Zauważmy najpierw, że proste

k

m

przechodzą przez środek

S

odcinka

B C

., 9. Korzystając ze wzorów na współrzędne środka odcinka możemy wyznaczyć współrzędne punktu

D = (x_{D}; y_{D}) : \frac{x_{D} + 2}{2} = - 2

\frac{y_{D} + 7}{2} = 5

., 10. Pozostały nam już tylko do wyznaczenia współrzędne punktu

A

, które można otrzymać rozwiązując układ złożony z równania prostej

B D

i równania prostej

m

., 11. Ponadto możemy skorzystać z faktu, że prosta zawierająca wysokość

C D

przechodzi przez punkt

C = (2; 7)

, więc jej równanie ma postać

y - 7 = \frac{1}{2} (x - 2)

, czyli

y = \frac{1}{2} x + 6

., 12. Rozwiązując powyższy układ otrzymujemy parę liczb

x = - 1, y = 3

, zatem współrzędne punktu

S

(- 1; 3)

., 13. Zatem współrzędne punktu

A

są rozwiązaniem układu

\{\begin{cases} y = - \frac{1}{3} x + \frac{8}{3} \\ y = - 2 x - 9 \end{cases}

, którego rozwiązaniem jest para liczb

x = - 7, y = 5

. Współrzędne punktu

A

(- 7; 5)

., 14. Zaczniemy od wyznaczenia współrzędnych punktu

D

., 15. Zatem współrzędne punktu

B

(- 4; - 1)

., 16. Korzystając ze wzorów na współrzędne środka odcinka możemy wyznaczyć współrzędne

(x_{B}; y_{B})

punktu

B

\frac{x_{B} + 2}{2} = - 1

\frac{y_{B} + 7}{2} = 3

Wierzchołek $C$ trójkąta ostrokątnego $A B C$ ma współrzędne $(2; 7)$ . Prosta $k$ o równaniu $2 x + y - 1 = 0$ jest symetralną wysokości $C D$ , a prosta $m$ o równaniu $x + 3 y - 8 = 0$ zawiera środkową trójkąta poprowadzoną z wierzchołka $A$ . Oblicz współrzędne punktów $A$ , $B$ , $D$ .

Zauważ, że symetralna wysokości $C D$ przecina odcinek $B C$ w połowie.

Ćwiczenie 8

W trójkącie prostokątnym $A B C$ , gdzie kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty, $B = (6; 0)$ . Prosta $k : 11 x + 2 y - 6 = 0$ , zawierająca środkową trójkąta poprowadzoną z wierzchołka $C$ , przecina bok $A B$ trójkąta w punkcie $S = (1; - 2, 5)$ . Wyznacz współrzędne punktów $A$ i $C$ .

Wykorzystaj wzór na długość odcinka $| A B | = \sqrt{{(x_{A} - x_{B})}^{2} + {(y_{A} - y_{B})}^{2}}$ , gdzie $A = (x_{A}; y_{A}), B = (x_{B}; y_{B})$ oraz twierdzenie Pitagorasa.

Współrzędne punktu $A = (x_{A}; y_{A})$ możemy wyznaczyć korzystając ze wzorów na współrzędne środka odcinka: $\frac{x_{A} + 6}{2} = 1$ i $\frac{y_{A} + 0}{2} = - 2, 5$ , czyli $A = (- 4; - 5)$ . Ponieważ punkt C należy do prostej o równaniu $11 x + 2 y - 6 = 0 \Leftrightarrow y = - 5, 5 x + 3$ , więc ma współrzędne $(c; 3 - 5, 5 c)$ . Korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać:

$\begin{array}{l} | B C | = \sqrt{(c - 6)^{2} + (3 - 5, 5 c)^{2}} \\ | A C | = \sqrt{(c + 4)^{2} + (8 - 5, 5 c)^{2}} \\ | A B | = \sqrt{(- 4 - 6)^{2} + (- 5 - 0)^{2}} = \sqrt{125} \end{array}$

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie:

$| A C |^{2} + | B C |^{2} = | A B |^{2}$
$(c - 6)^{2} + (3 - 5, 5 c)^{2} + (c + 4)^{2} + (8 - 5, 5 c)^{2} = 125$

Po przekształceniu i redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy równanie:

$62, 5 c^{2} - 125 c = 0$

czyli $c = 0$ lub $c = 2$ .

Wynika stąd, że współrzędne punktu $C$ mogą być równe $(0; 3)$ lub $(2; - 8)$ .

Aplet

Dla nauczyciela