Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ry0q5Kka0CroB1

Ćwiczenie 1

RC4em7R9Yby0p1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Trójkąty $A B C$ i $D E F$ są podobne. Obwód trójkąta $D E F$ jest o $20 %$ mniejszy od obwodu trójkąta $A B C$ . Oblicz skalę podobieństwa trójkąta $D E F$ do trójkąta $A B C$ .

Obwód $L_{D E F}$ trójkąta $D E F$ jest o $20 %$ mniejszy od obwodu trójkąta $A B C$ , więc $L_{D E F} = 80 % \cdot L_{A B C} = \frac{8}{10} L_{A B C}$ .

Skala podobieństwa trójkątów jest równa stosunkowi ich obwodów.

Zatem skala $s$ podobieństwa trójkąta $D E F$ do trójkąta $A B C$ jest równa $s = \frac{L_{D E F}}{L_{A B C}} = \frac{\frac{8}{10} \cdot L_{A B C}}{L_{A B C}} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ .

R1eSF91EiaswI2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Punkty $D$ i $E$ leżą na boku $A C$ trójkąta $A B C$ i dzielą ten bok na odcinki $A D$ , $D E$ i $C E$ o równych długościach. Punkty $F$ i $G$ leżą na boku $B C$ tego trójkąta i również dzielą ten bok na odcinki $B F$ , $F G$ i $C G$ o równych długościach, jak na rysunku.

R16vhWcbSXBLt

RDkJS0jyhHHTE

RVG5SZZowa0Tf

Ćwiczenie 6

Pola dwóch trójkątów podobnych są równe $27$ i $36$ . Promień okręgu opisanego na mniejszym z tych trójkątów jest równy $6$ . Oblicz skalę podobieństwa tych trójkątów oraz promień okręgu opisanego na większym z tych trójkątów.

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali ich podobieństwa, zatem $s^{2} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$ .

Stąd skala podobieństwa mniejszego trójkąta do większego jest równa $s = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Niech $R$ oznacza promień większego okręgu, wtedy $\frac{6}{R} = s$ .

Zatem $\frac{6}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , stąd $R = 4 \sqrt{3}$ .

Ćwiczenie 7

Obwód równoległoboku $A B C D$ jest równy $24$ , a stosunek długości obu wysokości tego równoległoboku jest równy $1 : 5$ . Oblicz długości boków tego równoległoboku.

Niech $E$ i $F$ oznaczają spodki wysokości równoległoboku $A B C D$ poprowadzonych z wierzchołka $A$ .

Oznaczmy też $|∢ A B C| = δ$ .

Możemy założyć, że $|A E| : |A F| = 1 : 5$ .

R15ktUKqNqKNp

Ilustracja przedstawia równoległobok A B C D. Przy przeciwległych wierzchołkach B i D oznaczono kąty wewnętrzne sigma. Górny poziomy bok C D przedłużono w lewą stronę. Od lewego dolnego wierzchołka A poprowadzono w górę odcinek A E, gdzie punkt E leży na przedłużeniu górnego boku. W ten sposób utworzono trójkąt prostokątny A D E z kątem prostym przy wierzchołku E. Następnie przedłużono w dół prawy bok B C oraz poprowadzono prostopadły do niego odcinek z wierzchołka A do punktu F leżącego na przedłużeniu boku B C. Zaznaczono kąt prosty przy A F B.

Przeciwległe kąty rówoległoboku są równe, więc $|∢ A B C| = |∢ A D C| = δ$ .

Z twierdzenia o kątach przyległych wynika, że $|∢ A D E| = |∢ A B F| = 180 ° - δ$ .

Kąty $A E D$ i $A F B$ są proste, więc trójkąty $A E D$ i $A F B$ są podobne, co wynika z cechy kkk podobieństwa trójkątów.

Zatem $\frac{|A D|}{|A B|} = \frac{|A E|}{|A F|} = \frac{1}{5}$ . Stąd $|A B| = 5 |A D|$ .

Obwód równoległoboku $A B C D$ jest równy $L_{A B C D} = 24$ , ale $L_{A B C D} = 2 |A B| + 2 |A D|$ .

Otrzymujemy więc $2 |A B| + 2 |A D| = 24$ , czyli $|A B| + |A D| = 12$ .

Zatem $5 |A D| + |A D| = 12$ , skąd $|A D| = 2$ , więc $|A B| = 5 |A D| = 5 \cdot 2 = 10$ .

Ćwiczenie 8

Wysokości $C D$ i $A E$ trójkąta równobocznego $A B C$ przecinają się w punkcie $M$ .

RN0dLLVtaLOBf

Ilustracja przedstawia trójkąt równoboczny A B C. Z wierzchołka C poprowadzona została wysokość upuszczona na bok A B w punkcie D. Z wierzchołka A poprowadzona została wysokość upuszczona na bok B C w punkcie E. Obie wysokości przecinają się w punkcie M i tworzą dwa nowe trójkąty, pierwszy D E M oraz drugi AED.

Wykaż, że trójkąty $D E M$ i $A E D$ są podobne i skala tego podobieństwa jest równa $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Niech $|A B| = |B C| = |A C| = a$ .

Punkty $D$ i $E$ są środkami boków $A B$ i $B C$ trójkąta $A B C$ , więc $|D B| = |B E| = \frac{1}{2} a$ .

Kąt $D B E$ jest równy $60 °$ , więc trójkąt $D B E$ jest równoboczny.

Zatem $|D E| = \frac{1}{2} a$ , ale $|A D| = \frac{1}{2} a$ , więc trójkąt $A E D$ jest równoramienny.

Ponieważ $|∢ D A E| = 30 °$ , więc $|∢ D E A| = 30 °$ .

Ponieważ trójkąt $D B E$ jest równoboczny, więc $|∢ B D E| = 60 °$ .

Zatem $|∢ M D E| = |∢ M D B| - |∢ B D E| = 90 ° - 60 ° = 30 °$ .

Równość $|∢ M D E| = |∢ M E D| = 30 °$ oznacza, że trójkąt $D E M$ jest równoramienny i podobny do trójkąta $A E D$ .

Skala tego podobieństwa jest równa $\frac{|D E|}{|A E|}$ .

Ze wzoru na wyskość trójkąta równobocznego otrzymujemy $\frac{|D E|}{|A E|} = \frac{\frac{1}{2} a}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Ćwiczenie 9

Cięciwy $A B$ i $C D$ okręgu przecinają się w punkcie $M$ .

RiUyhH7r61Ax2

Ilustracja przedstawia okrąg oraz dwie cięciwy A B i D C przecinające się w punkcie M.

Udowodnij, że $|A M| \cdot |B M| = |C M| \cdot |D M|$ .

Rozważmy trójkąty $A M D$ i $C M B$ .

RC5dnQR0oWl2o

Ilustracja przedstawia okrąg oraz dwie cięciwy A B i D C przecinające się w punkcie M. Połączenie punktów A D oraz B i C utworzyło dwa nowe trójkąty. A M D oraz B M C. Podpisane zostały także kąty. Kąt alfa przy wierzchołku A i C, kąt beta przy wierzchołku D i B oraz kąt wierzchołkowy gamma przy wierzchołku M.

Kąty $B A D$ i $D C B$ są równe, gdyż są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku $B D$ okręgu.

Podobnie kąty $A B C$ i $A D C$ są równe, gdyż są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku $A C$ okręgu.

Kąty $A M D$ i $C M B$ są równe, gdyż są to kąty wierzchołkowe.

Wobec tego trójkąty $A M D$ i $C M B$ są podobne (cecha kkk).

Zatem $\frac{|A M|}{|D M|} = \frac{|C M|}{|B M|}$ .

Stąd wynika równość $|A M| \cdot |B M| = |C M| \cdot |D M|$ , co kończy dowód.

Animacja

Dla nauczyciela