Oblicz promień okręgu stycznego zewnętrznie do trzech parami stycznych zewnętrznie okręgów, których promienie są odpowiednio równe: , , , jak na rysunku.
R14MYtOx3Oq7z
Rysunek przedstawia trzy okręgi parami styczne o promieniach kolejno: 1, 2, 3. Między ich środkami wyrysowano trójkąt prostokątny. Z każdego kąta tego trójkąta narysowano linią przerywaną dwusieczną, a punkt ich przecięcia jest środkiem czwartego okręgu stycznego do pozostałych trzech okręgów.
Środki trzech okręgów tworzą trójkąt prostokątny. Szukany okrąg jest styczny zewnętrznie do danych okręgów, jak na rysunku.
RhM2xREIWpDsB
Rysunek przedstawia trzy okręgi parami styczne o promieniach kolejno: 1, 2, 3. Między ich środkami wyrysowano trójkąt prostokątny. Z każdego kąta tego trójkąta narysowano linią przerywaną dwusieczną, a punkt ich przecięcia jest środkiem czwartego okręgu stycznego do pozostałych trzech okręgów. Tutaj dorysowano odcinki o długościach x i y. Odcinek x jest poziomy i ma swój początek w punkcie styczności okręgu o promieniu 1 z okręgiem o promieniu 2, a koniec w środku czwartego okręgu. Odcinek y jest pionowy i ma początek w środku czwartego okręgu i koniec na poziomym promieniu małego koła o promieniu 1.
Oznaczmy przez , , odpowiednio odległości środka okręgu od przyprostokątnych oraz szukany promień.
Wtedy możemy zastosować trzykrotnie twierdzenie Pitagorasa otrzymując równania: , , .
Wyznaczając niewiadome , i wstawiając do pierwszego z równań otrzymujemy: .
Stąd .
1
Ćwiczenie 2
Trzy okręgi o promieniach odpowiednio , , są parami styczne zewnętrznie. Ich środki są wierzchołkami trójkąta. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Skonstruujmy rysunek ilustrujący zadanie.
R17yIrc0ZlLS0
Rysunek przedstawia trzy okręgi parami styczne o promieniach kolejno: 1, 2, 3. Między ich środkami wyrysowano trójkąt prostokątny.
Z rysunku możemy wywnioskować, że boki naszego trójkąta mają odpowiednio długości: , , , a to oznacza, że trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym. Zatem promień okręgu wpisanego jest równy: .
R15rsXPdqgp9U2
Ćwiczenie 3
Dostępne opcje do wyboru: zależy od długości r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, jest równa siedem, jest równa dwadzieścia osiem, jest równa czternaście. Polecenie: Przeciągnij poprawną odpowiedź. Dwa okręgi o środkach w punktach O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego i promieniach odpowiednio r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego są styczne wnętrznie. Środek większego okręgu o promieniu czternaście leży na prostej O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Mniejszy okrąg przechodzi przez środek większego okręgu.
Odległość wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej luka do uzupełnienia .
Dostępne opcje do wyboru: zależy od długości r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, jest równa siedem, jest równa dwadzieścia osiem, jest równa czternaście. Polecenie: Przeciągnij poprawną odpowiedź. Dwa okręgi o środkach w punktach O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego i promieniach odpowiednio r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego są styczne wnętrznie. Środek większego okręgu o promieniu czternaście leży na prostej O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Mniejszy okrąg przechodzi przez środek większego okręgu.
Odległość wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej luka do uzupełnienia .
RvVa8OGMssIwh2
Ćwiczenie 4
Zaznacz prawidłową odpowiedź. Dwa okręgi o środkach w punktach O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego i promieniach odpowiednio r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, gdzie r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, mniejszy niż, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, są wewnętrznie styczne. Sieczna obu okręgów, przechodząca przez punkt styczności P tych okręgów i przez środek O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, przecięła okrąg o środku O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego w punkcie Q, nie równa się, P. Jeśli wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, pięć, długość odcinka, P Q, koniec długości odcinka, równa się, czternaście, to promienie tych okręgów są równe: Możliwe odpowiedzi: 1. r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem., 2. r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem., 3. r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, dziewięć., 4. r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć.
2
Ćwiczenie 5
Dwa współśrodkowe okręgi o promieniach , przecięto wspólną sieczną, której odległość od środków tych okręgów jest równa . Oblicz długość każdego z odcinków tej siecznej, zawartych między tymi okręgami.
Na rysunku przedstawiono dwa trójkąty prostokątne, wyznaczone przez promienie i połowy odpowiednich cięciw.
R5Hi4dwmn8bNs
Rysunek przedstawia dwa okręgi o wspólnym środku S. Okręgi przecina poziomy odcinek w taki sposób, że odległość od środka S do odcinka jest mniejsza, niż promień mniejszego okręgu. Odległość ta zaznaczona jest linią przerywaną. Z punktu S poprowadzone są linią przerywaną promienie obu okręgów w taki sposób, że ich końce znajdują w punktach przecięcia odcinka i tych okręgów.
Z twierdzenia Pitagorasa, zastosowanego do każdego z tych trójkątów, wynika w szczególności:
oraz , gdzie każdy z szukanych odcinków siecznej ma długość .
Ponieważ oraz , więc długość tych odcinków jest równa .
2
Ćwiczenie 6
Odcinek o końcach , ma długość . Z końców tego odcinka zakreślono łuki okręgów, o promieniu , aż do ich przecięcia w punkcie . Oblicz promień okręgu, który jest styczny wewnętrznie do zakreślonych łuków i do odcinka , jak na rysunku.
R5q3zsfCLenxj
Ilustracja
R1GGyeAjYkDwl
Elementy do uszeregowania: 1. Możemy teraz zapisać równanie z niewiadomą : ., 2. Ale , stąd ., 3. Wtedy oraz ., 4. Oznaczmy przez i punkty styczności szukanego okręgu odpowiednio z łukiem i odcinkiem ., 5. Po redukcji otrzymujemy . Zatem promień okręgu jest równy: ., 6. Zauważmy, że , oraz .
Elementy do uszeregowania: 1. Możemy teraz zapisać równanie z niewiadomą : ., 2. Ale , stąd ., 3. Wtedy oraz ., 4. Oznaczmy przez i punkty styczności szukanego okręgu odpowiednio z łukiem i odcinkiem ., 5. Po redukcji otrzymujemy . Zatem promień okręgu jest równy: ., 6. Zauważmy, że , oraz .
Podaj znane Ci sposoby na ustawienie dwóch okręgów o różnych promieniach względem siebie. W każdym przypadku opisz własnymi słowami w sposób ogólny, jaka jest odległość między ich środkami w stosunku do ich promieni: jest większa od ich sumy? Mniejsza? A może równa?
R1Af4aUJDIdJO3
Ćwiczenie 7
Zbadaj wzajemne położenie dwóch okręgów, mając dane odległość wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej ich środków i promienie r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Dopasuj, łącząc w pary. Okręgi są styczne zewnętrznie. Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, 2. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziewięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, 3. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, jedenaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 4. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwanaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 5. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery Okręgi są styczne wewnętrznie. Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, 2. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziewięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, 3. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, jedenaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 4. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwanaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 5. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery Okręgi przecinają się w dwóch różnych punktach. Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, 2. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziewięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, 3. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, jedenaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 4. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwanaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 5. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery Każdy z okręgów leży na zewnątrz drugiego. Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, 2. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziewięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, 3. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, jedenaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 4. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwanaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 5. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery Jeden z okręgów leży wewnątrz drugiego. Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, 2. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziewięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, 3. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, jedenaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 4. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwanaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 5. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery
Zbadaj wzajemne położenie dwóch okręgów, mając dane odległość wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej ich środków i promienie r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego. Dopasuj, łącząc w pary. Okręgi są styczne zewnętrznie. Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, 2. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziewięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, 3. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, jedenaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 4. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwanaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 5. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery Okręgi są styczne wewnętrznie. Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, 2. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziewięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, 3. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, jedenaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 4. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwanaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 5. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery Okręgi przecinają się w dwóch różnych punktach. Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, 2. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziewięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, 3. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, jedenaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 4. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwanaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 5. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery Każdy z okręgów leży na zewnątrz drugiego. Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, 2. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziewięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, 3. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, jedenaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 4. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwanaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 5. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery Jeden z okręgów leży wewnątrz drugiego. Możliwe odpowiedzi: 1. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziesięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, pięć, 2. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dziewięć, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, siedem, 3. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, jedenaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 4. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, dwanaście, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, piętnaście, 5. wartość bezwzględna z, O indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, osiem, przecinek, r indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, dwa, przecinek, r indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, cztery
3
Ćwiczenie 8
W dany okrąg o promieniu wpisano trzy okręgi o promieniu w taki sposób, że wszystkie są wewnętrznie styczne do danego okręgu i każde dwa z nich są parami styczne zewnętrznie, jak na rysunku. Oblicz promień .
RlwLkXghyQagr
Rysunek przedstawia duży okrąg o środku w punkcie O i trzech mniejszych okręgach o takim samym promieniu, które są styczne wewnętrznie do dużego okręgu i jednocześnie są styczne zewnętrznie parami do siebie nawzajem. Środki małych okręgów znajdują się w punktach: P, Q, S, a pomiędzy nimi linią przerywaną wyrysowano trójkąt. Na rysunku zaznaczono także promień dużego koła, który przechodzi przez punkt Q.
Zauważmy, ze trójkąt jest trójkątem równobocznym boku długości .
