Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Ray5q49oBUCkG

RRNd1fd3nw0wO

Rd2nZfAj2EYrE1

Ćwiczenie 2

Wybierz Prawda, jeśli zdanie jest prawdziwe i Fałsz jeśli jest fałszywe.

	Prawda	Fałsz
Jeżeli odległość środka kuli od środka przekroju wynosi $0$ , to przekrój jest kołem wielkim.	□	□
Jeżeli odległość środka kuli do środka przekroju $K$ jest dwukrotnie większa od odległości środka przekroju $L$ , to promień przekroju $K$ jest dwukrotnie dłuższy od promienia przekroju $L$ .	□	□
Istnieje przekrój kuli, który jest wycinkiem koła o kącie środkowym mniejszym od $360 °$ .	□	□
Istnieje przekrój kuli, który ma promień większy od promienia koła wielkiego.	□	□

R1QdnJclaJtd42

Ćwiczenie 3

$K$ i $L$ są różnymi równoległymi przekrojami tej samej kuli. $A B$ i $C D$ są równoległymi średnicami tych przekrojów. Wybierz wszystkie zdania prawdziwe:

Czworokąt $A B C D$ jest prostokątem
Wysokość czworokąta $A B C D$ jest zawsze równa $d_{K} + d_{L}$ , gdzie $d_{K}$ , $d_{L}$ są odległościami przekrojów $K$ i $L$ od środka kuli
Jeżeli $K$ i $L$ są przystające, to znajdują się po różnych stronach środka kuli
Jeżeli jeden z przekrojów $K$ i $L$ jest kołem wielkim, to drugi nim nie jest

R1epvBwa3gSKD2

Ćwiczenie 4

Koło $K$ jest kołem wielkim kuli o promieniu $4$ i środku $S$ , koło $L$ jest przekrojem prostopadłym do przekroju $K$ . Wybierz wszystkie zdania prawdziwe:

Jeżeli wspólna cięciwa przekrojów $K$ i $L$ ma długość $8$ , to przekrój $L$ również jest kołem wielkim
Niech $A$ i $B$ będą punktami wspólnymi przekrojów $K$ i $L$ , wtedy trójkąt $A B S$ jest równoramienny
Odległość przekroju $L$ od środka przekroju $K$ jest mniejsza od $4$
Koło $L$ może mieć promień dłuższy niż koło $K$

R2d4Gd4HeE2mn2

Ćwiczenie 5

Kulę o promieniu długości $17$ przecięto płaszczyzną tak, że promień otrzymanego przekroju ma długość $15$ . Następnie przeprowadzono płaszczyznę prostopadłą do otrzymanego przekroju i otrzymano przekrój, który jest przystający do pierwszego przekroju. Odległość między środkami tych okręgów wynosi:

$8 \sqrt{2}$
$34$
$30$
$16$

R1LyJSJ3l1Q5M2

Ćwiczenie 6

Środek przekroju podzielił średnicę kuli o promieniu $10$ w stosunku $2 : 3$ . Pole tego przekroju wynosi:

$96 π$
$64 π$
$36 π$
$84 π$

Ćwiczenie 7

Pole przekroju kuli, którego odległość od środka kuli jest równa $4$ wynosi $64 π$ . Oblicz pole powierzchni i objętość tej kuli.

Pole przekroju wynosi $64 π$ , a zatem $π r^{2} = 64 π$ i stąd $r = 8$ .

Obliczymy długość promienia kuli z twierdzenia Pitagorasa: $4^{2} + 8^{2} = R^{2}$ , a stąd $R = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5}$ . Teraz możemy już obliczyć objętość i pole powierzchni tej kuli: $V = \frac{4}{3} π {(4 \sqrt{5})}^{3} = \frac{4}{3} π \cdot 320 \sqrt{5} = \frac{1280 \sqrt{5}}{3} π$ oraz $P_{c} = 4 π \cdot {(4 \sqrt{5})}^{2} = 320 π$ .

Ćwiczenie 8

Wspólna cięciwa dwóch przystających prostopadłych przekrojów kuli o promieniu $8$ ma długość $4$ . Oblicz sumę pól tych przekrojów.

Środek kuli oznaczmy przez $S$ , środki przekrojów przez $O_{1}$ i $O_{2}$ . Przez $A$ oznaczmy środek wspólnej cięciwy przekrojów, a przez $K$ i $L$ jej końce.

RecdeKsf9BlUn

Ilustracja przedstawia kulę o środku w punkcie S oraz jej dwa przekroje. Przekroje te są kołami o środkach w punktach O indeks dolny jeden koniec indeksu oraz O indeks dolny dwa koniec indeksu. Przekroje się przecinają i są do siebie prostopadłe. Odcinki S O indeks dolny jeden koniec indeksu oraz odcinek S O indeks dolny dwa koniec indeksu są sobie równe. Punkty przecięcia obu przekrojów na ścianie kuli zostały oznaczone jako K oraz L. Na środku odcinka K L zaznaczono punkt A. Powstał kwadrat S O indeks dolny jeden koniec indeksu, A O indeks dolny dwa koniec indeksu.

Przekroje są przystającymi kołami, a zatem ich odległości od środków są sobie równe. Mamy stąd $|S O_{1}| = |S O_{2}|$ . Przekroje są prostopadłe, więc czworokąt $A O_{1} S O_{2}$ jest kwadratem. Stąd $|A S| = |S O_{1}| \sqrt{2}$ .

Oznaczmy promień przekroju przez $r$ . Wówczas $r = \sqrt{8^{2} - {|S O_{1}|}^{2}}$ .

Punkty $K$ i $L$ leżą na sferze, więc istnieje koło, które jest przekrojem kuli o średnicy $K L$ . To oznacza, że trójkąt $A L S$ jest prostokątny i mamy ${|A L|}^{2} + {|A S|}^{2} = {|S L|}^{2}$ .

Czyli $2^{2} + {|A S|}^{2} = 8^{2}$ ,a stąd $|A S| = \sqrt{60} = 2 \sqrt{15}$ .

Mamy więc $|S O_{1}| = \frac{2 \sqrt{15}}{\sqrt{2}} = \sqrt{30}$ .

Czyli $r = \sqrt{64 - {(\sqrt{30})}^{2}} = \sqrt{34}$ .

Suma pól dwóch przekrojów wynosi więc $2 P = 2 \cdot 34 π = 68 π$ .

Symulacja interaktywna

Dla nauczyciela