Pole przekroju wynosi $64\pi$, a zatem $\pi r^2=64\pi$ i stąd $r=8$.

Obliczymy długość promienia kuli z twierdzenia Pitagorasa: $4^2+8^2=R^2$, a stąd $R=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$. Teraz możemy już obliczyć objętość i pole powierzchni tej kuli: $V=\frac{4}{3}\pi {\left(4\sqrt{5}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 320\sqrt{5}=\frac{1280\sqrt{5}}{3}\pi$ oraz $P_c=4\pi \cdot {\left(4\sqrt{5}\right)}^2=320\pi$.

Środek kuli oznaczmy przez $S$, środki przekrojów przez $O_1$ i $O_2$. Przez $A$ oznaczmy środek wspólnej cięciwy przekrojów, a przez $K$ i $L$ jej końce.

RecdeKsf9BlUn

Ilustracja przedstawia kulę o środku w punkcie S oraz jej dwa przekroje. Przekroje te są kołami o środkach w punktach O indeks dolny jeden koniec indeksu oraz O indeks dolny dwa koniec indeksu. Przekroje się przecinają i są do siebie prostopadłe. Odcinki S O indeks dolny jeden koniec indeksu oraz odcinek S O indeks dolny dwa koniec indeksu są sobie równe. Punkty przecięcia obu przekrojów na ścianie kuli zostały oznaczone jako K oraz L. Na środku odcinka K L zaznaczono punkt A. Powstał kwadrat S O indeks dolny jeden koniec indeksu, A O indeks dolny dwa koniec indeksu.

Przekroje są przystającymi kołami, a zatem ich odległości od środków są sobie równe. Mamy stąd $\left|S{O}_1\right|=\left|S{O}_2\right|$. Przekroje są prostopadłe, więc czworokąt $A{O}_{1}S{O}_2$ jest kwadratem. Stąd $\left|AS\right|=\left|S{O}_1\right|\sqrt{2}$.

Oznaczmy promień przekroju przez $r$. Wówczas $r=\sqrt{8^2-{\left|S{O}_1\right|}^2}$.

Punkty $K$ i $L$ leżą na sferze, więc istnieje koło, które jest przekrojem kuli o średnicy $KL$. To oznacza, że trójkąt $ALS$ jest prostokątny i mamy ${\left|AL\right|}^2+{\left|AS\right|}^2={\left|SL\right|}^2$.

Czyli $2^2+{\left|AS\right|}^2=8^2$,a stąd $\left|AS\right|=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$.

Mamy więc $\left|S{O}_1\right|=\frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{2}}=\sqrt{30}$.

Czyli $r=\sqrt{64-{\left(\sqrt{30}\right)}^2}=\sqrt{34}$.

Suma pól dwóch przekrojów wynosi więc $2P=2\cdot 34\pi =68\pi$.