Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1GqmIQF8vO021

Ćwiczenie 1

Wskaż zadania charakteryzujące równoległobok $A B C D$ , którego przekątne $A C$ i $B D$ przecinają się w punkcie $E$ :

$"|"A B"|" = "|"D C"|"$ oraz $"|"B C"|" = "|"A D"|"$
$"|"A B"|" = "|"C D"|"$ oraz $"|"∢ C A B"|" = "|"∢ C A D"|"$
$"|"A E"|" = "|"E C"|"$ oraz $"|"B E"|" = "|"E D"|"$
$△ D A B \equiv △ B C D$

RxBxIV7WzMxmU1

Ćwiczenie 2

Długości boków równoległoboku są równe $6$ i $10$ , a jego pole wynosi $36$ . Oblicz długości przekątnych tego równoległoboku.

$2 \sqrt{58}$ i $2 \sqrt{10}$
$2 \sqrt{10}$ i $14$
$2 \sqrt{58}$ i $7$
$14$ i $7$

R44mcknLFzj4a21

Ćwiczenie 3

Pole równoległoboku ABCD: Możliwe odpowiedzi: 1.

S = \frac{1}{2} A B \cdot A D \cdot \sin (∠ B A C)

, 2.

S = \frac{1}{2} A C \cdot B D \cdot \sin (\vec{A C}, \vec{B D})

, 3.

S = \frac{1}{2} C D \cdot A D \cdot \sin (∠ B C D), 4. S = \frac{1}{2} A C \cdot B D, 5. S = \frac{1}{2} A B \cdot B C \cdot \sin (∠ B A C), 6. S = \frac{1}{2} A B \cdot B C

, 7.

S = \frac{1}{2} A C \cdot B D \cdot \sin (∠ B A C)

Niepoprawny wzór: Możliwe odpowiedzi: 1.

S = \frac{1}{2} A B \cdot A D \cdot \sin (∠ B A C)

, 2.

S = \frac{1}{2} A C \cdot B D \cdot \sin (\vec{A C}, \vec{B D})

, 3.

S = \frac{1}{2} C D \cdot A D \cdot \sin (∠ B C D), 4. S = \frac{1}{2} A C \cdot B D, 5. S = \frac{1}{2} A B \cdot B C \cdot \sin (∠ B A C), 6. S = \frac{1}{2} A B \cdot B C

, 7.

S = \frac{1}{2} A C \cdot B D \cdot \sin (∠ B A C)

Pole równoległoboku $A B C D$ – wzór dobry:
Pole równoległoboku $A B C D$ – wzór błędny:

Ćwiczenie 4

Punkt $E$ jest takim punktem na boku $A B$ równoległoboku $A B C D$ , że $\frac{|A E|}{|E B|} = \frac{1}{2}$

Prosta $D E$ przecina przekątną $A C$ w punkcie $F$ . Pole równoległoboku $A B C D$ jest równe $60$ . Oblicz pole trójkąta $A E F$ .

Wiemy, że $\frac{|A E|}{|E B|} = \frac{1}{2}$ , więc możemy oznaczyć: $|A E| = a$ , $|E B| = 2 a$ .

R1ZTrRvhRtDe6

Na ilustracji przedstawiono równoległobok ABCD, o podstawie dolnej AB i górnej DC. Zaznaczono punkt E na równoległoboku, taki że odległość AE wynosi a, natomiast odległość EB wynosi 2a. Zaznaczono przekątną AC równoległoboku, oraz odcinek DE, które przecinają się w punkcie F. Zacieniowano trójkąt AFE.

Wtedy długość boku $|A B| = |C D| = 3 a$ .

Z równoległości boków otrzymujemy równość kątów $|∢ F A B| = |∢ F C D|$ oraz $|∢ A E F| = |∢ C D F|$ .

Zatem trójkąty $A E F$ i $C D F$ są podobne w skali $\frac{|A E|}{|C D|} = \frac{a}{3 a} = \frac{1}{3}$ .

Wysokości opuszczone z odpowiednich wierzchołków są również w tej samej skali, więc możemy oznaczyć je odpowiednio $h$ i $3 h$ .

RQGj21BotH2XV

Zatem wysokość równoległoboku to $4 h$ .

Wiemy, że: $P = 3 a \cdot 4 h = 60$ , czyli $a h = 5$ .

Zatem szukane pole trójkąta $A E F$ jest równe: $P = \frac{1}{2} a h = \frac{5}{2}$ .

R1X6QFclgYqtr2

Ćwiczenie 5

Połącz w pary dane tego samego równoległoboku ABCD

\frac{A B}{B C} = \frac{2}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1. element 5 prawy, 2. Stosunek wysokości =

\frac{9}{6}

, 3. element 4 prawy, 4. element 2 prawy, 5. element 3 prawy element 2 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 5 prawy, 2. Stosunek wysokości =

\frac{9}{6}

, 3. element 4 prawy, 4. element 2 prawy, 5. element 3 prawy element 3 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 5 prawy, 2. Stosunek wysokości =

\frac{9}{6}

, 3. element 4 prawy, 4. element 2 prawy, 5. element 3 prawy element 4 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 5 prawy, 2. Stosunek wysokości =

\frac{9}{6}

, 3. element 4 prawy, 4. element 2 prawy, 5. element 3 prawy element 5 lewy Możliwe odpowiedzi: 1. element 5 prawy, 2. Stosunek wysokości =

\frac{9}{6}

, 3. element 4 prawy, 4. element 2 prawy, 5. element 3 prawy

Połącz w pary informacje na temat równoległoboku $A B C D$ i stosunku długości jego boków:

Stosunek wysokości = $\frac{9}{6}$
$"\|"D B"\|" = 7$ , $L = 26$ , $"\|"∢ A D C"\|" = 120 °$
$"\|"A D"\|" = 6 \sqrt{2}$ , $"\|"A C"\|" = 6 \sqrt{10}$ , $"\|"∢ A D C"\|" = 135 °$
$"\|"A B"\|" = 10$ , $P = 40$ , $"\|"∢ D A B"\|" = 30 °$

Ćwiczenie 6

Udowodnij, że w równoległoboku $A B C D$ suma kwadratów długości boków jest równa sumie kwadratów długości przekątnych:

${|A B|}^{2} + {|B C|}^{2} + {|C D|}^{2} + {|D A|}^{2} = {|A C|}^{2} + {|B D|}^{2}$

Oznaczmy jak na rysunku:

RWq7qn0G1PKhX

Na ilustracji przedstawiono równoległobok ABCD. Długość podstaw AB i DC oznaczono literą a, natomiast długość ramion AD i BC oznaczono literą b. Wartości kątów w równoległoboku wynoszą odpowiednio BETA dla kąta ostrego, oraz ALFA dla kąta rozwartego.

$|A B| = |C D| = a$ ; $|B C| = |D A| = b$ ; $|∢ A B C| = α$ , $|∢ B A D| = β$ . Zapiszmy twierdzenie cosinusów dla trójkąta $A B C$ oraz dla trójkąta $A B D$ . Otrzymujemy:

${|A C|}^{2} = {|A B|}^{2} + {|B C|}^{2} - 2 \cdot |A B| \cdot |B C| \cdot \cos α = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos α$ oraz

${|B D|}^{2} = {|A B|}^{2} + {|A D|}^{2} - 2 \cdot |A B| \cdot |A D| \cdot \cos β = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos β$

Ponieważ w równoległoboku $α + β = 180 °$ to $\cos β = \cos (180 ° - α) = - \cos α$ . Uwzględniając powyższą uwagę i dodając stronami wcześniejsze równości otrzymujemy, co należało udowodnić:

${|A C|}^{2} + {|B D|}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos α + a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos β =$

$= a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos α + a^{2} + b^{2} + 2 a b \cos α = 2 a^{2} + 2 b^{2} =$

$= {|A B|}^{2} + {|C D|}^{2} + {|B C|}^{2} + {|D A|}^{2}$ .

Ćwiczenie 7

W równoległoboku $A B C D$ punkt $E$ jest środkiem boku $B C$ , natomiast punkt $F$ środkiem boku $C D$ . Odcinki $A E$ i $A F$ przecinają przecina przekątną $B D$ odpowiednio w punktach $G$ i $H$ .

R4F9oefBP7FeB

Na ilustracji przedstawiono równoległobok ABCD. Zaznaczono punkt F stanowiący środek boku DC, oraz punkt E stanowiący środek boku BC. Zaznaczono przekątną BDrównoległoboku. Wierzchołek A połączono z punktem F i E, przecinając przekątną kolejno w punkcie H i G.

R1L7uAx3x6Xez

Wskaż prawdziwe zdanie:

$"|"B G"|" = "|"G H"|" = "|"H D"|"$
$"|"B G"|" = "|"H D"|" < "|"G H"|"$
$"|"B G"|" = "|"H D"|" > "|"G H"|"$
$\frac{"|"B G"|"}{"|"G H"|"}$ zależy od miary kąta $B A D$
$\frac{"|"B G"|"}{"|"G H"|"}$ zależy od proporcji boków równoległoboku

Ćwiczenie 8

W czworokącie wypukłym $A B C D$ przekątne $A C$ i $B D$ są równej długości (rysunek). Punkty $M$ i $N$ są odpowiednio środkami boków $A D$ i $B C$ . Wykaż, że prosta $M N$ tworzy równe kąty z przekątnymi $A C$ i $B D$ .

R4dHUeymLbwjg

Na ilustracji przedstawiono czworokąt ABCD. Zaznaczono odcinek MN, łączący środki boków AD i BC. Poprowadzono przekątne AC i BD. Zaznaczono kąty między prostą MN a przekątnymi czworokąta.

Oznaczmy środek odcinka $A B$ przez $K$ , środek $C D$ przez $L$ , punkt przecięcia przekątnych przez $G$ , punkt przecięcia prostej $M N$ z przekątnymi $A C$ i $B D$ odpowiednio przez $E$ , $F$ (rysunek):

RYbPdThdjvvsO

Na ilustracji przedstawiono czworokąt ABCD. Zaznaczono odcinek MN, łączący środki boków AD i BC. Środek boku DC stanowi punkt L, natomiast środek boku AB stanowi punkt K. Zielonym kolorem połączono punkty M, K, N, L tworząc czworokąt. Poprowadzono przekątne AC i BD, które przecinają się w punkcie G.. Przekątna AC przecina odcinek MN w punkcie E. Przekątna BD przecina odcinek MN w punkcie F. Zacieniowano powstały trójkąt EFG. Zaznaczono kąty między prostą MN a przekątnymi, czyli przy wierzchołkach E, F i G.

Z własności odcinka łączącego środki ramion w trójkącie otrzymujemy, że proste $K N$ i $M L$ są równoległe do przekątnej $A C$ , natomiast proste $K M$ i $N L$ są równoległe do przekątnej $B D$ . Zatem czworokąt $K N L M$ jest równoległobokiem.

Co więcej, długości tych odcinków są równe połowie długości przekątnych. Z założeń zadania wiemy, że $|A C| = |B D|$ , więc czworokąt $K N L M$ jest rombem.

Wnioskujemy więc, że trójkąt $M N L$ jest trójkątem równoramiennym.

Wiemy też, że $M L ∥ A C$ i $N L ∥ B D$ , czyli, że kąty przy wierzchołkach $M$ i $N$ w trójkącie $M N L$ są równe kątom przy wierzchołkach $E$ i $F$ w trójkącie $E F G$ .

Trójkąt $E F G$ jest więc również trójkątem równoramiennym, a to jest równoważne z tezą naszego zadania.

Uwaga! W rozwiązaniu zadania nie było konieczne rozważanie punktu $K$ . Można było rozwiązanie sprowadzić do podobieństwa trójkątów $M N L$ i $E F G$ .
Jednak fakt, że środki boków czworokąta są wierzchołkami równoległoboku (lub rombu, gdy przekątne czworokąta są równe) jest na tyle ważny i użyteczny, że warto było to odnotować w rozwiązaniu tego zadania.

Stosunek wysokości = $\frac{9}{6}$
$"\|"D B"\|" = 7$ , $L = 26$ , $"\|"∢ A D C"\|" = 120 °$
$"\|"A D"\|" = 6 \sqrt{2}$ , $"\|"A C"\|" = 6 \sqrt{10}$ , $"\|"∢ A D C"\|" = 135 °$
$"\|"A B"\|" = 10$ , $P = 40$ , $"\|"∢ D A B"\|" = 30 °$

Aplet

Dla nauczyciela