Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RPtdKWfmeUmaa

Ćwiczenie 1

RPEYRzk8YD3eq

R17tYBJNa386y1

Ćwiczenie 2

Pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest sześciokrotnie mniejsze od pola powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o tej samej długości krawędzi podstawy. Oznacza to, że wysokość graniastosłupa sześciokątnego jest:

$3$ razy dłuższa niż w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym.
$6$ razy dłuższa niż w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym.
$2$ razy dłuższa niż w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym.
Taka sama jak w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym.

Ćwiczenie 3

Podstawą graniastosłupa prostego jest czworokąt jak na rysunku (jedna kratka to jedna jednostka).

R1D8wnH1WcPtJ

Rysunek przedstawia czworokąt w kształcie strzałki, o szerokości 4 jednostki, wysokości 6 jednostki.

R1GTc4T21gpMH

Wysokość graniastosłupa wynosi $5$ . Pole powierzchni tego graniastosłupa mieści się w przedziale:

$(99, 109 ⟩$
$(80, 89 ⟩$
$(89, 99 ⟩$
$(109, 120 ⟩$

Ćwiczenie 4

W podstawie graniastosłupa pochyłego znajduje się kwadrat o boku długości $4$ . Wszystkie jego ściany boczne są rombami, które nie są kwadratami.

RYStPPaf5YMs7

Rysunek przedstawia graniastosłup pochyły w którym każdy bok jest równy 4.

R1UinkKJk6y6K

Wybierz zdania prawdziwe:

Pole podstawy tego graniastosłupa jest większe od pola jednej ściany bocznej.
Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest mniejsze od $64$ .
Ściany boczne każdego takiego graniastosłupa są przystające.
Pole powierzchni tego graniastosłupa jest równe polu powierzchni sześcianu o krawędzi długości $4$ .

R3STdt5hUBq712

Ćwiczenie 5

W podstawie graniastosłupa prostego znajduje się trójkąt równoramienny o podstawie $16$ i wysokości $15$ . Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa wynosi $225$ . Wysokość graniastosłupa ma długość:

$4, 5$
$5$
$6, 5$
$8$

R1Nxt5rvuiZRX2

Ćwiczenie 6

Podstawą graniastosłupa prostego jest dwunastokąt foremny. Wysokość graniastosłupa wynosi $6$ , a pole powierzchni bocznej $288$ . Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość:

Ćwiczenie 7

Podstawą graniastosłupa prostego $A B C D E F G H$ jest romb, którego dłuższa przekątna ma długość $48$ . Trójkąt $A C F$ , którego bokami są przekątna podstawy i przekątne ścian bocznych jest prostokątny. Kosinus kąta nachylenia wysokości trójkąta $A C F$ wychodzącej z wierzchołka $F$ do płaszczyzny podstawy wynosi $\frac{7}{24}$ . Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

Do obliczenia pola powierzchni bocznej potrzebujemy krawędzi podstawy i krawędzi bocznej tego graniastosłupa.

Zróbmy rysunek pomocniczy:

RzjInDMx7ms5y

Rysunek przedstawia graniastosłup A, B, C, D, E, F, G, H. W środku zaznaczono trójkąt prostokątny A, C, F jako przekrój graniastosłupa. Oznaczono krótszą przekątną podstawy figury przestrzennej jak BD. W punkcie S przecina się ona z przekrojem trójkąta.

Aby trójkąt $A C F$ był prostokątny, przekątna $A C$ musi być dłuższą przekątną. Tak więc $|A C| = 48$ . Trójkąt $A C F$ jest prostokątny równoramienny, więc kąty w wierzchołkach $A$ i $C$ tego trójkąta mają po $45 °$ . Wysokością trójkąta $A C F$ poprowadzoną z wierzchołka $F$ będzie odcinek $F S$ (gdzie $S$ jest punktem przecięcia przekątnych podstawy).

RiTwKEKMvUC1j

Trójkąt $F S A$ również jest równoramienny i prostokątny, tak więc $|F S| = |S A| = 24$ .

RlqLMAe6J8b7L

Rysunek przedstawia graniastosłup A, B, C, D, E, F, G, H. W środku zaznaczono trójkąt prostokątny B, F, S jako przekrój graniastosłupa. Oznaczono krótszą przekątną podstawy figury przestrzennej jak BD. Odcinek ES jest równy 24, a kąt FSB jest równy alfa.

Mamy, że $\cos α = \frac{7}{24} = \frac{|B S|}{24}$ , a zatem $|B S| = 7$ .

Obliczymy długość krawędzi bocznej $B F$ z twierdzenia Pitagorasa
dla trójkąta $F B S$ :

${|B F|}^{2} + 7^{2} = 24^{2}$ . Czyli $|B F| = \sqrt{527}$ .

Obliczymy długość krawędzi podstawy $B C$ z twierdzenia Pitagorasa
dla trójkąta $B C S$ :

$24^{2} + 7^{2} = {|B C|}^{2}$ . A stąd $|B C| = 25$ .

Możemy już policzyć pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa $P_{b} = 4 \cdot 25 \cdot \sqrt{527} = 100 \sqrt{527}$ .

Ćwiczenie 8

W podstawie graniastosłupa prostego znajduje się romb o boku długości $26$ . Dłuższa przekątna graniastosłupa ma długość $96$ i tworzy z krawędzią boczną kąt o mierze $30 °$ . Oblicz pole powierzchni tego graniastosłupa.

Zróbmy rysunek pomocniczy:

R1MdOJY8HjP7S

Rysunek przedstawia graniastosłup prosty A, B, C, D, I, J, K, L o podstawie rombu. Bok podstawy jest równy 26. Przekątna graniastosłupa jest równa 96 i jest nachylona do wysokości graniastosłupa pod kątem 30 stopni.

Mamy $\sin 30 ° = \frac{|A C|}{96}$ , czyli $|A C| = 48$ . Analogicznie $\cos 30 ° = \frac{|A I|}{96}$ , a stąd $|A I| = 48 \sqrt{3}$ .

Obliczmy jeszcze długość drugiej przekątnej podstawy z twierdzenia Pitagorasa:

$24^{2} + {(\frac{1}{2} |B D|)}^{2} = 26^{2}$ . A stąd $\frac{1}{4} {|B D|}^{2} = 100$ i ostatecznie $|B D| = 20$ .

Możemy już policzyć pole powierzchni tego graniastosłupa.

$P_{c} = 2 \cdot \frac{48 \cdot 20}{2} + 4 \cdot 26 \cdot 48 \sqrt{3} = 960 + 4992 \sqrt{3}$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela