Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RTb7H7yD9eWdz1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

Dany jest trójkąt prostokątny jak na rysunku poniżej.

RgDFlWFar1Wv7

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny, w którym zaznaczono dwa kąty: kąt prosty oraz kąt między podstawą a przeciwprostokątną o mierze α. Pozioma podstawa ma długość 2+1, a pionowa przyprostokątna ma długość 2-1.

R1Ek1UPfe8tFt

R15kHTuX5U42Z2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Korzystając z informacji przedstawionych na rysunku, oblicz $x$ . Uzupełnij tekst, przeciągając odpowiednie wyrażenia we właściwe miejsce.

RaasZtyQU5LSW

Rysunek przedstawia trójkąt ABC. Bok AB jest poziomą podstawą trójkąta, na którą z wierzchołka C upuszczono wysokość CD. Podstawa trójkąta została w ten sposób podzielona na dwa odcinki: AD o długości 2513 oraz na odcinek DB o długości 14413. Z punktu D poprowadzono do boku BC odcinek x, który jest do tego boku prostopadły, co oznaczono odpowiednim sybmolem. Dodatkowo na rysunku zaznaczono jeszcze dwa inne kąty proste: kąt ADC oraz kąt ACB. Odcinek AC ma długość 5.

RueBWZuLsM3U3

Wprowadźmy oznaczenie alfa, równa się, kąt C A D. Wówczas kąt kąt A B C, równa się1. pięć, 2. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 3. sto osiemdziesiąt stopni, minus, alfa, 4. sinus alfa, 5. początek ułamka, siedemset dwadzieścia, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 6. alfa, 7. kosinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, 8. początek ułamka, sto czterdzieści cztery, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 9. dwanaście, 10. sześćset dwadzieścia pięć, 11. kosinus alfa, 12. dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, 13. sinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu
oraz 1. pięć, 2. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 3. sto osiemdziesiąt stopni, minus, alfa, 4. sinus alfa, 5. początek ułamka, siedemset dwadzieścia, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 6. alfa, 7. kosinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, 8. początek ułamka, sto czterdzieści cztery, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 9. dwanaście, 10. sześćset dwadzieścia pięć, 11. kosinus alfa, 12. dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, 13. sinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu równa się, sinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się1. pięć, 2. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 3. sto osiemdziesiąt stopni, minus, alfa, 4. sinus alfa, 5. początek ułamka, siedemset dwadzieścia, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 6. alfa, 7. kosinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, 8. początek ułamka, sto czterdzieści cztery, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 9. dwanaście, 10. sześćset dwadzieścia pięć, 11. kosinus alfa, 12. dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, 13. sinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu podzielić na, trzynaście.
Jednocześnie 1. pięć, 2. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 3. sto osiemdziesiąt stopni, minus, alfa, 4. sinus alfa, 5. początek ułamka, siedemset dwadzieścia, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 6. alfa, 7. kosinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, 8. początek ułamka, sto czterdzieści cztery, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 9. dwanaście, 10. sześćset dwadzieścia pięć, 11. kosinus alfa, 12. dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, 13. sinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu równa się, x, podzielić na 1. pięć, 2. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 3. sto osiemdziesiąt stopni, minus, alfa, 4. sinus alfa, 5. początek ułamka, siedemset dwadzieścia, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 6. alfa, 7. kosinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, 8. początek ułamka, sto czterdzieści cztery, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 9. dwanaście, 10. sześćset dwadzieścia pięć, 11. kosinus alfa, 12. dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, 13. sinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, więc x, równa się1. pięć, 2. początek ułamka, sześćset dwadzieścia pięć, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 3. sto osiemdziesiąt stopni, minus, alfa, 4. sinus alfa, 5. początek ułamka, siedemset dwadzieścia, mianownik, sto sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka, 6. alfa, 7. kosinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, 8. początek ułamka, sto czterdzieści cztery, mianownik, trzynaście, koniec ułamka, 9. dwanaście, 10. sześćset dwadzieścia pięć, 11. kosinus alfa, 12. dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, 13. sinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, alfa, zamknięcie nawiasu.

R1XsnXdLfwOhQ2

Ćwiczenie 5

Rozstrzygnij, czy podane wyrażenie są większe, mniejsze, czy równe jeden. Przeciągnij wyrażenia we właściwe miejsca. mniejsze niż jeden Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa kosinus trzydzieści stopni, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, kosinus dwadzieścia siedem stopni, mianownik, tangens sześćdziesiąt trzy stopnie, koniec ułamka, 3. tangens dwadzieścia siedem stopni tangens sześćdziesiąt trzy stopnie, 4. sinus dwadzieścia stopni kosinus siedemdziesiąt stopni, plus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwadzieścia stopni, 5. sinus czterdzieści jeden stopni kosinus czterdzieści dziewięć stopni, 6. początek ułamka, tangens pięćdziesiąt pięć stopni, mianownik, kosinus trzydzieści pięć stopni, koniec ułamka, 7. początek ułamka, tangens osiemdziesiąt jeden stopni, mianownik, sinus dziewięć stopni, koniec ułamka, 8. początek ułamka, kosinus pięćdziesiąt trzy stopnie, mianownik, sinus trzydzieści siedem stopni, koniec ułamka, 9. tangens piętnaście stopni sinus siedemdziesiąt pięć stopni, 10. tangens sześćdziesiąt stopni równe jeden Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa kosinus trzydzieści stopni, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, kosinus dwadzieścia siedem stopni, mianownik, tangens sześćdziesiąt trzy stopnie, koniec ułamka, 3. tangens dwadzieścia siedem stopni tangens sześćdziesiąt trzy stopnie, 4. sinus dwadzieścia stopni kosinus siedemdziesiąt stopni, plus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwadzieścia stopni, 5. sinus czterdzieści jeden stopni kosinus czterdzieści dziewięć stopni, 6. początek ułamka, tangens pięćdziesiąt pięć stopni, mianownik, kosinus trzydzieści pięć stopni, koniec ułamka, 7. początek ułamka, tangens osiemdziesiąt jeden stopni, mianownik, sinus dziewięć stopni, koniec ułamka, 8. początek ułamka, kosinus pięćdziesiąt trzy stopnie, mianownik, sinus trzydzieści siedem stopni, koniec ułamka, 9. tangens piętnaście stopni sinus siedemdziesiąt pięć stopni, 10. tangens sześćdziesiąt stopni większe niż jeden Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa kosinus trzydzieści stopni, mianownik, pierwiastek kwadratowy z trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, kosinus dwadzieścia siedem stopni, mianownik, tangens sześćdziesiąt trzy stopnie, koniec ułamka, 3. tangens dwadzieścia siedem stopni tangens sześćdziesiąt trzy stopnie, 4. sinus dwadzieścia stopni kosinus siedemdziesiąt stopni, plus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, dwadzieścia stopni, 5. sinus czterdzieści jeden stopni kosinus czterdzieści dziewięć stopni, 6. początek ułamka, tangens pięćdziesiąt pięć stopni, mianownik, kosinus trzydzieści pięć stopni, koniec ułamka, 7. początek ułamka, tangens osiemdziesiąt jeden stopni, mianownik, sinus dziewięć stopni, koniec ułamka, 8. początek ułamka, kosinus pięćdziesiąt trzy stopnie, mianownik, sinus trzydzieści siedem stopni, koniec ułamka, 9. tangens piętnaście stopni sinus siedemdziesiąt pięć stopni, 10. tangens sześćdziesiąt stopni

Ćwiczenie 6

Doprowadź wyrażenie:
$\sin 28 ° \cdot \cos 62 ° + \sin^{4} 14 ° + \sin^{2} 14 ° \cdot \sin^{2} 76 ° + \cos^{2} 14 ° + \frac{\cos 62 ° \cdot \cos 28 °}{tg 28 °}$
do najprostszej postaci.

$\sin 28 ° \cdot \cos 62 ° + \sin^{4} 14 ° + \sin^{2} 14 ° \cdot \sin^{2} 76 ° + \cos^{2} 14 ° + \frac{\cos 62 ° \cdot \cos 28 °}{tg 28 °} =$

$= \sin 28 ° \cdot \sin 28 ° + \sin^{2} 14 ° \cdot (\sin^{2} 14 ° + \sin^{2} 76 °) +$

$+ \cos^{2} 14 ° + \cos 62 ° \cdot \cos 28 ° \cdot tg 62 ° =$

$= \sin^{2} 28 ° + \sin^{2} 14 ° \cdot (\sin^{2} 14 ° + \cos^{2} 14 °) +$

$+ \cos^{2} 14 ° + \cos 62 ° \cdot \cos 28 ° \cdot \frac{\sin 62 °}{\cos 62 °} =$

$= \sin^{2} 28 ° + \sin^{2} 14 ° \cdot 1 + \cos^{2} 14 ° + \cos 28 ° \cdot \sin 62 ° =$

$= \sin^{2} 28 ° + 1 + \cos 28 ° \cdot \cos 28 ° = 1 + 1 = 2$

Ćwiczenie 7

Dany jest trapez równoramienny o polu $44 \sqrt{6}$ i wysokości $4 \sqrt{6}$ , w który można wpisać okrąg. Oznaczmy przez $α$ kąt ostry tego trapezu. Wyznacz wartość funkcji $\cos (90 ° - α)$ .

R1XCwddDu4Ek7

Rysunek przedstawia trapez równoramienny o podstawie górnej a i podstawie dolnej b. Z podstawy a upuszczono wysokość opisaną jako h=46 i zaznaczoną kąt prosty między wysokością a podstawą dolną, po prawej stronie wysokości. Ramię trapezu opisano jako x, a kąt wewnętrzny trapezu, który tworzy ramię oraz podstawa, opisano jako α.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Pole tego trapezu wynosi $P = 44 \sqrt{6}$ , a wysokość ma długość $h = 4 \sqrt{6}$ .

Podstawiamy dane z treści zadania do wzoru na pole trapezu: $P = \frac{a + b}{2} \cdot h$ .

Zatem: $44 \sqrt{6} = \frac{a + b}{2} \cdot 4 \sqrt{6}$ .

Dzielimy obie strony równania przez $2 \sqrt{6}$ , stąd: $a + b = 22$ .

Ponieważ w trapez można wpisać okrąg, to $2 x = a + b$ , czyli: $2 x = 22$ i ostatecznie: $x = 11$ .

$\cos (90 ° - α) = \sin α = \frac{h}{x}$ , zatem: $\cos (90 ° - α) = \frac{4 \sqrt{6}}{11}$

$\cos (90 ° - α) = \frac{4 \sqrt{6}}{11}$

Gra edukacyjna

Dla nauczyciela