Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź.

RX0tW9Rqg4lAx

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 4 oraz 22.

RxL3ye1sR87gC

Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym z rysunku jest równa:

$\sqrt{6}$
$2 \sqrt{6}$
$2 \sqrt{2}$

R1Upl3A09NSiB1

Ćwiczenie 2

Zaznacz zdania, które są prawdziwe.

Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości $6$ i $8$ wynosi $5$ .
Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości $\sqrt{3}$ wynosi $3$ .
Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej długości $8$ wynosi $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ .
Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości $4$ wynosi $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

Ćwiczenie 3

R1Z4b3SFbGYZ4

R1PHYQeobMbj2

RK9UZ6AeiIybp2

Ćwiczenie 4

Wstaw w tekst odpowiednie liczby. Jeżeli trójkąt prostokątny ma przyprostokątne długości

9

3

, to promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość 1.

\frac{10 \sqrt{3}}{2}

, 2.

\frac{25}{8}

, 3.

\frac{2 \sqrt{3}}{9}

, 4.

\frac{5}{9}

, 5.

\frac{3 \sqrt{10}}{2}

, 6.

\frac{3 \sqrt{2}}{9}

.
Jeżeli wysokość trójkąta równobocznego wynosi

\frac{\sqrt{3}}{3}

, to długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa 1.

\frac{10 \sqrt{3}}{2}

, 2.

\frac{25}{8}

, 3.

\frac{2 \sqrt{3}}{9}

, 4.

\frac{5}{9}

, 5.

\frac{3 \sqrt{10}}{2}

, 6.

\frac{3 \sqrt{2}}{9}

.
Jeżeli podstawa trójkąta równoramiennego ma długość

6

, a ramię ma długość

5

, to promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość 1.

\frac{10 \sqrt{3}}{2}

, 2.

\frac{25}{8}

, 3.

\frac{2 \sqrt{3}}{9}

, 4.

\frac{5}{9}

, 5.

\frac{3 \sqrt{10}}{2}

, 6.

\frac{3 \sqrt{2}}{9}

Wstaw w tekst odpowiednie liczby.

$\frac{3 \sqrt{10}}{2}$ , $\frac{5}{9}$ , $\frac{10 \sqrt{3}}{2}$ , $\frac{25}{8}$ , $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ , $\frac{3 \sqrt{2}}{9}$

Jeżeli trójkąt prostokątny ma przyprostokątne długości $9$ i $3$ , to promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość .............
Jeżeli wysokość trójkąta równobocznego wynosi $\frac{\sqrt{3}}{3}$ , to długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa .............
Jeżeli podstawa trójkąta równoramiennego ma długość $6$ , a ramię ma długość $5$ , to promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość .............

R2vfpJB4S7OSl2

Ćwiczenie 5

Uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami. Jeżeli jedna przyprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość

12

, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy

6, 5

, to pole tego trójkąta wynosi Tu uzupełnij. Jeżeli wysokość trójkąta równobocznego ma długość

6

, to promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość Tu uzupełnij. Jeżeli promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ma długość

2

, pole trójkąta wynosi

12

, a długość ramienia

2 \sqrt{6}

, to podstawa trójkąta ma długość Tu uzupełnij.

Uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami.

Jeżeli jedna przyprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość $12$ , a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy $6, 5$ , to pole tego trójkąta wynosi .............
Jeżeli wysokość trójkąta równobocznego ma długość $6$ , to promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość .............
Jeżeli promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ma długość $2$ , pole trójkąta wynosi $12$ , a długość ramienia $2 \sqrt{6}$ , to podstawa trójkąta ma długość .............

Ćwiczenie 6

Na rysunkach $I$ i $II$ przedstawiono odpowiednio trójkąt prostokątny oraz trójkąt równoboczny.

R98bA1fIPqVyV

Ilustracja przedstawia dwa rysunki . Na pierwszym rysunku jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 2 oraz 22. Drugi rysunek przedstawia trójkąt równoboczny o boku długości 6.

RgXAR5i6zw8KR

Przyporządkuj stwierdzenia do odpowiednich trójkątów. Dla trójkąta z rysunku

I

: Możliwe odpowiedzi: 1. długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa

2 \sqrt{3}

, 2. średnica okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa długości jednego boku, 3. długość promienia okręgu opisanego jest równa długości boku podzielonej przez

\sqrt{3}

, 4. długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa połowie długości największego boku, 5. długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa

\sqrt{3}

, 6. promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest dwa razy większy niż promień okręgu wpisanego w ten trójkąt Dla trójkąta z rysunku

II

: Możliwe odpowiedzi: 1. długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa

2 \sqrt{3}

, 2. średnica okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa długości jednego boku, 3. długość promienia okręgu opisanego jest równa długości boku podzielonej przez

\sqrt{3}

, 4. długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa połowie długości największego boku, 5. długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa

\sqrt{3}

, 6. promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest dwa razy większy niż promień okręgu wpisanego w ten trójkąt

Przyporządkuj stwierdzenia do odpowiednich trójkątów.

średnica okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa długości jednego boku, długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa <math><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></math>, długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa <math><msqrt><mn>3</mn></msqrt></math>, długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa połowie długości największego boku, długość promienia okręgu opisanego jest równa długości boku podzielonej przez <math><msqrt><mn>3</mn></msqrt></math>, promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest dwa razy większy niż promień okręgu wpisanego w ten trójkąt

Dla trójkąta z rysunku $I$ :
Dla trójkąta z rysunku $II$ :

Ćwiczenie 7

Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym równoramiennym o obwodzie $8$ .

Narysujmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RNCJlOlSSvNIG

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny wpisany w okrąg . Przeciwprostokątna trójkąta jest jednocześnie średnicą okręgu o długości 22 równiej dwóm promieniom o długości R. Przyprostokątne mają długość a.

Jeżeli obwód $L = 8$ , zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$a + a + a \sqrt{2} = 8$

$2 a + a \sqrt{2} = 8$

$a (2 + \sqrt{2}) = 8$

$a = \frac{8}{2 + \sqrt{2}} = \frac{8 \cdot (2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2}) \cdot (2 - \sqrt{2})} = \frac{8 \cdot (2 - \sqrt{2})}{4 - 2} = 8 - 4 \sqrt{2}$ .

Wobec tego: $a \sqrt{2} = (8 - 4 \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 8 \sqrt{2} - 8$ .

Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie wynosi:

$R = \frac{8 \sqrt{2} - 8}{2} = 4 \sqrt{2} - 4$ .

Ćwiczenie 8

Oblicz długości boków trójkąta, jeżeli miara jednego z kątów wynosi $60 °$ , pole trójkąta jest równe $\sqrt{3}$ , a promień okręgu na nim opisanego wynosi $2$ .

Narysujmy trójkąt i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RV0IGKbaWY7Bw

Grafika przedstawia trójkąt o bokach a, b i c oraz kątem 60° pomiędzy bokami b i c.

Ponieważ promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy $2$ , zatem:

$\frac{a}{\sin 60 °} = 2 \cdot 2$ , czyli $a = 2 \sqrt{3}$ .

Z warunków zadania pole trójkąta wynosi $\sqrt{3}$ , zatem

$\frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin 60 ° = \sqrt{3}$ .

Z twierdzenia cosinusów mamy:

${(2 \sqrt{3})}^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos 60 °$ .

Wobec tego do obliczenia wartości $b$ i $c$ rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} \frac{1}{2} b c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \\ 12 = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \frac{1}{2} \end{cases}$

Z układu równań otrzymujemy, że:

$c = \sqrt{8 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{{(\sqrt{6} + \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

lub

$c = \sqrt{8 - 4 \sqrt{3}} = \sqrt{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Wobec tego $b = \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ lub $b = \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ odpowiednio.

Animacja

Dla nauczyciela