Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RM4jQerxjzgkR2

Ćwiczenie 1

Spośród uczniów $31$ -osobowej klasy, w której jest $17$ dziewczynek i $14$ chłopców, należy wybrać pięcioosobową delegację, która będzie reprezentować klasę na spotkaniu z dyrekcją szkoły.
Oznaczmy przez $n$ liczbę sposobów, na które można tę delegację wybrać tak, aby znalazły się w niej co najmniej dwie dziewczynki oraz co najmniej dwóch chłopców.
Wówczas:

$n = (\begin{matrix} 17 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 14 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 31 \\ 1 \end{matrix})$
$n = (\begin{matrix} 17 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 14 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 17 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 14 \\ 3 \end{matrix})$
$n < (\begin{matrix} 31 \\ 5 \end{matrix})$
$n > (\begin{matrix} 17 \\ 5 \end{matrix})$

Rk4IZMxaW7kty21

Ćwiczenie 2

W kopercie znajdują się

24

kartki, ponumerowane od

1

24

.
Oznaczamy przez:

A

– liczbę sposobów, na które wszystkie te kartki rozdzielimy po równo do dwóch pudełek ponumerowanych od

1

2

B

– liczbę sposobów, na które wszystkie te kartki rozdzielimy po równo do trzech pudełek ponumerowanych od

1

3

C

– liczbę sposobów, na które wszystkie te kartki rozdzielimy po równo do czterech pudełek ponumerowanych od

1

4

D

– liczbę sposobów, na które wszystkie te kartki rozdzielimy po równo do sześciu pudełek ponumerowanych od

1

6

,
Dopasuj do siebie pary równych liczb.

|A|

Możliwe odpowiedzi: 1.

(\begin{matrix} 24 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 20 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 16 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 12 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})

, 2.

(\begin{matrix} 24 \\ 8 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 16 \\ 8 \end{matrix})

, 3.

(\begin{matrix} 24 \\ 6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 18 \\ 6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 12 \\ 6 \end{matrix})

, 4.

(\begin{matrix} 24 \\ 12 \end{matrix})

|B|

Możliwe odpowiedzi: 1.

(\begin{matrix} 24 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 20 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 16 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 12 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})

, 2.

(\begin{matrix} 24 \\ 8 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 16 \\ 8 \end{matrix})

, 3.

(\begin{matrix} 24 \\ 6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 18 \\ 6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 12 \\ 6 \end{matrix})

, 4.

(\begin{matrix} 24 \\ 12 \end{matrix})

|C|

Możliwe odpowiedzi: 1.

(\begin{matrix} 24 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 20 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 16 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 12 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})

, 2.

(\begin{matrix} 24 \\ 8 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 16 \\ 8 \end{matrix})

, 3.

(\begin{matrix} 24 \\ 6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 18 \\ 6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 12 \\ 6 \end{matrix})

, 4.

(\begin{matrix} 24 \\ 12 \end{matrix})

|D|

Możliwe odpowiedzi: 1.

(\begin{matrix} 24 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 20 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 16 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 12 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix})

, 2.

(\begin{matrix} 24 \\ 8 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 16 \\ 8 \end{matrix})

, 3.

(\begin{matrix} 24 \\ 6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 18 \\ 6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 12 \\ 6 \end{matrix})

, 4.

(\begin{matrix} 24 \\ 12 \end{matrix})

W kopercie znajdują się $24$ kartki, ponumerowane od $1$ do $24$ .
Oznaczamy przez:
$A$ – liczbę sposobów, na które wszystkie te kartki rozdzielimy po równo do dwóch pudełek ponumerowanych od $1$ do $2$ .
$B$ – liczbę sposobów, na które wszystkie te kartki rozdzielimy po równo do trzech pudełek ponumerowanych od $1$ do $3$ ,
$C$ – liczbę sposobów, na które wszystkie te kartki rozdzielimy po równo do czterech pudełek ponumerowanych od $1$ do $4$ ,
$D$ – liczbę sposobów, na które wszystkie te kartki rozdzielimy po równo do sześciu pudełek ponumerowanych od $1$ do $6$ ,
Dopasuj do siebie pary równych liczb.

$"\|"A"\|"$
$"\|"B"\|"$
$"\|"C"\|"$
$"\|"D"\|"$

R1c5z95gXDIfH2

Ćwiczenie 3

W pudełku jest

21

żetonów ponumerowanych od

1

21

. Wyjmujemy z tego pudełka

9

żetonów z numerami

3

5

7

9

11

13

15

17

19

. Pozostałe w pudełku dwanaście żetonów rozdzielamy losowo między dwie osoby: Marysię i Gabrysię w ten sposób, aby każda z dziewczynek dostała

6

żetonów.
Ile jest możliwości rozdzielenia tych żetonów tak, aby u każdej z nich suma numerów zapisanych na otrzymanych żetonach była nieparzysta? Odpowiedź: Tu uzupełnij Tu uzupełnij Tu uzupełnij

W pudełku jest $21$ żetonów ponumerowanych od $1$ do $21$ . Wyjmujemy z tego pudełka $9$ żetonów z numerami $3$ , $5$ , $7$ , $9$ , $11$ , $13$ , $15$ , $17$ , $19$ . Pozostałe w pudełku dwanaście żetonów rozdzielamy losowo między dwie osoby: Marysię i Gabrysię w ten sposób, aby każda z dziewczynek dostała $6$ żetonów.
Ile jest możliwości rozdzielenia tych żetonów tak, aby u każdej z nich suma numerów zapisanych na otrzymanych żetonach była nieparzysta?

Odp. ............ ............ ............

RoPWPNokHSzfe2

Ćwiczenie 4

Rozpatrujemy dziewięciocyfrowe liczby naturalne. Oznaczmy przez:

a

– liczbę tych spośród nich, których iloczyn cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy

21

b

– liczbę tych spośród nich, których iloczyn cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy

25

c

– liczbę tych spośród nich, których iloczyn cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy

27

d

– liczbę tych spośród nich, których iloczyn cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy

28

.
Uporządkuj liczby

a

b

c

d

w kolejności rosnącej. Elementy do uszeregowania: 1.

b

, 2.

a

, 3.

d

, 4.

c

Rozpatrujemy dziewięciocyfrowe liczby naturalne. Oznaczmy przez:
$a$ – liczbę tych spośród nich, których iloczyn cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy $21$ ,
$b$ – liczbę tych spośród nich, których iloczyn cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy $25$ ,
$c$ – liczbę tych spośród nich, których iloczyn cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy $27$ ,
$d$ – liczbę tych spośród nich, których iloczyn cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy $28$ .
Uporządkuj liczby $a$ , $b$ , $c$ , $d$ w kolejności rosnącej.

RHx2NyYE2aOds2

Ćwiczenie 5

Rozpatrujemy $21$ -cyfrowe liczby naturalne o sumie cyfr równej $8$ . Oznaczmy przez $n$ liczbę tych spośród nich, w których zapisie dziesiętnym pierwsza cyfra jest parzysta, a wśród pozostałych są dokładnie $4$ cyfry nieparzyste.
Wynika stąd, że:

$n > 24225$
$n > 4845$
$n > 77520$
$n < 100000$

R1oDt35m7a4Ud2

Ćwiczenie 6

Mamy do dyspozycji dwanaście żetonów, ponumerowanych od

1

12

. Rozdzielamy te żetony losowo między dwie osoby: Gabrysię i Marysię w ten sposób, aby każda z dziewczynek dostała

6

Mamy do dyspozycji dwanaście żetonów, ponumerowanych od $1$ do $12$ . Rozdzielamy te żetony losowo między dwie osoby: Gabrysię i Marysię w ten sposób, aby każda z dziewczynek dostała $6$ żetonów.
Ile jest możliwości rozdzielenia tych żetonów tak, aby u każdej z nich suma numerów zapisanych na otrzymanych żetonach była nieparzysta?

Odp. ............ ............ ............

RQSngRr3YHHmU3

Ćwiczenie 7

Rozpatrujemy siedmiocyfrowe liczby naturalne, spełniające jednocześnie cztery następujące warunki:
(1) cyfra milionów jest większa od cyfry setek tysięcy,
(2) cyfra setek tysięcy jest większa od cyfry dziesiątek tysięcy,
(3) cyfra tysięcy jest mniejsza od cyfry setek,
(4) cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności.
Ile jest wszystkich takich liczb?

$(\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$
$(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})$
$(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})$
$(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})$

RMZW0wRHtiEwb3

Ćwiczenie 8

Dany jest zbiór $A = "{"1, 2, 3, \dots, 28, 29"}"$ wszystkich dodatnich liczb całkowitych mniejszych od $30$ . Losujemy z tego zbioru jednocześnie trzy liczby.
Na ile sposobów możemy wtedy wylosować takie liczby, których suma jest podzielna przez $3$ ?

Odp. ............

$"\|"A"\|"$
$"\|"B"\|"$
$"\|"C"\|"$
$"\|"D"\|"$

Animacja

Dla nauczyciela