Animacja
Zapoznaj się z przedstawioną poniżej animacją. Przeanalizuj zaprezentowane w niej rozwiązanie zadania, dotyczącego dziesięciocyfrowych liczb naturalnych, których iloczyn cyfr jest równy .
Korzystając z pomysłu omówionego w powyższej animacji, oblicz, ile jest dwunastocyfrowych liczb naturalnych, których iloczyn cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy .
Sprawdzamy, że rozkładem na czynniki pierwsze liczby jest
.
Ponieważ każda z cyfr rozpatrywanej liczby jest dodatnią liczbą całkowitą mniejszą od , więc jako cyfry tej liczby dopuszczalne są:
,
,
,
,
,
.
Otrzymujemy stąd sześć następujących, rozłącznych przypadków.
W tym przypadku zliczanie wszystkich możliwości przeprowadzimy w trzech kolejnych etapach:spośród dostępnych cyfr wybierzemy dwie, którym przypiszemy wartość – można to zrobić na sposobów,
z pozostałych cyfr wybierzemy dwie, którym przypiszemy wartość – można to zrobić na sposobów,
z pozostałych po drugim wyborze cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość , a pozostałym na koniec siedmiu cyfrom przypiszemy wartość – można to zrobić na sposobów.
Zatem wszystkich możliwości jest w tym przypadku
.
W tym przypadku zliczanie wszystkich możliwości również przeprowadzimy w trzech kolejnych etapach:spośród dostępnych cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość – można to zrobić na sposobów,
z pozostałych cyfr wybierzemy dwie, którym przypiszemy wartość – można to zrobić na sposobów,
z pozostałych po drugim wyborze cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość , a pozostałym na koniec ośmiu cyfrom przypiszemy wartość - można to zrobić na sposobów.
Wobec tego wszystkich możliwości jest w tym przypadku
.
W tym przypadku zliczanie wszystkich możliwości również przeprowadzimy w trzech kolejnych etapach:spośród dostępnych cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość – można to zrobić na sposobów,
z pozostałych cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość – można to zrobić na sposobów,
z pozostałych po drugim wyborze cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość , a pozostałym na koniec dziewięciu cyfrom przypiszemy wartość - można to zrobić na sposobów.
Oznacza to, że wszystkich możliwości jest w tym przypadku .
W tym przypadku zliczanie wszystkich możliwości przeprowadzimy w czterech kolejnych etapach:spośród dostępnych cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość – można to zrobić na sposobów,
z pozostałych cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość – można to zrobić na sposobów,
z pozostałych po drugim wyborze cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość ,
pozostałych po trzecim wyborze cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość , a pozostałym na koniec ośmiu cyfrom przypiszemy wartość - można to zrobić na sposobów.
Zatem wszystkich możliwości jest w tym przypadku
.
W tym przypadku zliczanie wszystkich możliwości przeprowadzimy w dwóch kolejnych etapach:spośród dostępnych cyfr wybierzemy dwie, którym przypiszemy wartość – można to zrobić na sposobów,
z pozostałych cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość , a pozostałym na koniec dziewięciu cyfrom przypiszemy wartość - można to zrobić na sposobów.
Zatem wszystkich możliwości jest w tym przypadku .
W tym przypadku zliczanie wszystkich możliwości przeprowadzimy w trzech kolejnych etapach:spośród dostępnych cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość – można to zrobić na sposobów,
z pozostałych cyfr wybierzemy dwie, którym przypiszemy wartość – można to zrobić na sposobów,
z pozostałych po drugim wyborze cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość , a pozostałym na koniec ośmiu cyfrom przypiszemy wartość - można to zrobić na sposobów.
Wobec tego wszystkich możliwości jest w tym przypadku .
Na koniec obliczamy, że jest
dwunastocyfrowych liczb naturalnych, których iloczyn cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy .
.