Sprawdzamy, że rozkładem na czynniki pierwsze liczby $180$ jest
$180=2·2·3·3·5$.

Ponieważ każda z cyfr rozpatrywanej liczby jest dodatnią liczbą całkowitą mniejszą od $10$, więc jako cyfry tej liczby dopuszczalne są:
$2·1=2$,
$2·2=4$,
$2·3=6$,
$3·1=3$,
$3·3=9$,
$5·1=5$.

Otrzymujemy stąd sześć następujących, rozłącznych przypadków.

1. $180 =2·2·3·3·5·1^7$
   W tym przypadku zliczanie wszystkich możliwości przeprowadzimy w trzech kolejnych etapach:

   1. spośród $12$ dostępnych cyfr wybierzemy dwie, którym przypiszemy wartość $2$ – można to zrobić na $\left(\begin{array}{c}12\\ 2\end{array}\right)$ sposobów,

   2. z pozostałych $10$ cyfr wybierzemy dwie, którym przypiszemy wartość $3$ – można to zrobić na $\left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)$ sposobów,

   3. z pozostałych po drugim wyborze $8$ cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość $5$, a pozostałym na koniec siedmiu cyfrom przypiszemy wartość $1$ – można to zrobić na $8$ sposobów.

   Zatem wszystkich możliwości jest w tym przypadku
   $\left(\begin{array}{c}12\\ 2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)·8=66·45·8=23760$.

2. $180 =\left(2·2\right)·3·3·5=4·3·3·5·1^8$
   W tym przypadku zliczanie wszystkich możliwości również przeprowadzimy w trzech kolejnych etapach:

   1. spośród $12$ dostępnych cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość $4$ – można to zrobić na $12$ sposobów,

   2. z pozostałych $11$ cyfr wybierzemy dwie, którym przypiszemy wartość $3$ – można to zrobić na $\left(\begin{array}{c}11\\ 2\end{array}\right)$ sposobów,

   3. z pozostałych po drugim wyborze $9$ cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość $5$, a pozostałym na koniec ośmiu cyfrom przypiszemy wartość $1$ - można to zrobić na $9$ sposobów.

   Wobec tego wszystkich możliwości jest w tym przypadku
   $12·\left(\begin{array}{c}11\\ 2\end{array}\right)·9=12·55·9=5940$.

3. $180 =\left(2·2\right)·\left(3·3\right)·5=4·9·5·1^9$
   W tym przypadku zliczanie wszystkich możliwości również przeprowadzimy w trzech kolejnych etapach:

   1. spośród $12$ dostępnych cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość $4$ – można to zrobić na $12$ sposobów,

   2. z pozostałych $11$ cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość $9$ – można to zrobić na $11$ sposobów,

   3. z pozostałych po drugim wyborze $10$ cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość $5$, a pozostałym na koniec dziewięciu cyfrom przypiszemy wartość $1$ - można to zrobić na $10$ sposobów.

   Oznacza to, że wszystkich możliwości jest w tym przypadku $12·11·10=1320$.

4. $180 =\left(2·3\right)·2·3·5=6·2·3·5·1^8$
   W tym przypadku zliczanie wszystkich możliwości przeprowadzimy w czterech kolejnych etapach:

   1. spośród $12$ dostępnych cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość $6$ – można to zrobić na $12$ sposobów,

   2. z pozostałych $11$ cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość $2$ – można to zrobić na $11$ sposobów,

   3. z pozostałych po drugim wyborze $10$ cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość $3$,

   4. pozostałych po trzecim wyborze $9$ cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość $5$, a pozostałym na koniec ośmiu cyfrom przypiszemy wartość $1$ - można to zrobić na $9$ sposobów.

   Zatem wszystkich możliwości jest w tym przypadku
   $12·11·10·9=11880$.

5. $180 =\left(2·3\right)·\left(2·3\right)·5=6·6·5·1^9$
   W tym przypadku zliczanie wszystkich możliwości przeprowadzimy w dwóch kolejnych etapach:

   1. spośród $12$ dostępnych cyfr wybierzemy dwie, którym przypiszemy wartość $6$ – można to zrobić na $\left(\begin{array}{c}12\\ 2\end{array}\right)$ sposobów,

   2. z pozostałych $10$ cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość $5$, a pozostałym na koniec dziewięciu cyfrom przypiszemy wartość $1$ - można to zrobić na $10$ sposobów.

   Zatem wszystkich możliwości jest w tym przypadku $\left(\begin{array}{c}12\\ 2\end{array}\right)·10=66·10=660$.

6. $180 =2·2·\left(3·3\right)·5=2·2·9·5·1^8$
   W tym przypadku zliczanie wszystkich możliwości przeprowadzimy w trzech kolejnych etapach:

   1. spośród $12$ dostępnych cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość $9$ – można to zrobić na $12$ sposobów,

   2. z pozostałych $11$ cyfr wybierzemy dwie, którym przypiszemy wartość $2$ – można to zrobić na $\left(\begin{array}{c}11\\ 2\end{array}\right)$ sposobów,

   3. z pozostałych po drugim wyborze $9$ cyfr wybierzemy jedną, której przypiszemy wartość $5$, a pozostałym na koniec ośmiu cyfrom przypiszemy wartość $1$ - można to zrobić na $9$ sposobów.

   Wobec tego wszystkich możliwości jest w tym przypadku $12·\left(\begin{array}{c}11\\ 2\end{array}\right)·9=12·55·9=5940$.

Na koniec obliczamy, że jest
$23760+5940+1320+11880+660+5940=49500$
dwunastocyfrowych liczb naturalnych, których iloczyn cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy $180$.

$49500$.