Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Rq2B0iMip5Ig81

Ćwiczenie 1

R1Qz9uDcMVryA1

Ćwiczenie 2

RP2G2NFwOzCpg1

Ćwiczenie 3

R1QW1fv8uyl2A2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Oblicz pole trójkąta prostokątnego $A B C$ wiedząc, że $\cos α = 0, 9$ i $|B C| = 9$ .

Rbv8J5xydfNLL

Grafika przedstawia trójkąt prostokątny ABC , z kątem ABC równym α.

Wiemy, że $\cos α = 0, 9$ skąd wynika:

\frac{|A B|}{|B C|} = 0, 9

i dalej

|A B| = 0, 9 |B C|

Z treści zadania wiemy, że $|B C| = 9$ , skąd otrzymujemy:

|A B| = 0, 9 \cdot 9 = 8, 1

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

{|A C|}^{2} = 81 - 65, 61 = 15, 39

Wiadomo, że $|A C| > 0$ , a zatem $|A C| = \sqrt{\frac{1539}{100}} = \frac{9 \sqrt{19}}{10} = 0, 9 \sqrt{19}$ .
Podstawiając do wzoru na pole trójkąta otrzymujemy:

P = 0, 5 \cdot 8, 1 \cdot 0, 9 \sqrt{19} = 3, 645 \sqrt{19}

$P = 3, 645 \sqrt{19}$

Ćwiczenie 6

Krótsza podstawa trapezu prostokątnego ma długość $12$ , a tangens kąta ostrego jest równy $2 \sqrt{2}$ . Oblicz pole trapezu, jeśli dłuższe ramię ma długość $6$ .

Zilustrujemy zadanie na rysunku.

R1CNUzzxp16y9

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny ABCD o krótszej podstawie DC równej 12 i boku BC równym 6. Z wierzchołka C opuszczono wysokość h do punktu E dzielącego dłuższą podstawę na odcinki AE i EB. Odcinek EB ma wartość a. Kąt EBC ma wartość α.

Z treści zadania wiemy, że

tg α = 2 \sqrt{2}

i stąd

2 \sqrt{2} = \frac{h}{a}

Otrzymujemy zatem, że $h = 2 \sqrt{2} a$ .
Z twierdzenia Pitagorasa: $a^{2} + {(2 \sqrt{2} a)}^{2} = 6^{2}$ . Zatem: $9 a^{2} = 36$ , co daje: $a^{2} = 4$ , a stąd: $a = 2$ i $h = 4 \sqrt{2}$ .
Pole trapezu jest równe: $P = \frac{12 + 14}{2} \cdot 4 \sqrt{2} = 52 \sqrt{2}$ .

$P = 56 \sqrt{2}$

Ćwiczenie 7

Różnica miar kątów równoległoboku wynosi $120 °$ . Oblicz jego pole, jeśli krótsza przekątna ma długość $2 \sqrt{21}$ , zaś krótszy bok ma długość $6$ .

Oznaczmy przez $a$ długość drugiego boku tego równoległoboku.

Skoro różnica miar kątów tego równoległoboku wynosi $120 °$ , to jego kąt ostry ma miarę $30 °$ .
Korzystamy z twierdzenia cosinusów:
${(2 \sqrt{21})}^{2} = a^{2} + 6^{2} - 2 \cdot a \cdot 6 \cdot \cos 30 °$
$84 = a^{2} + 36 - 2 \cdot a \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$a^{2} - 6 \sqrt{3} a - 48 = 0$
$Δ = 108 + 192 = 300$
$\sqrt{Δ} = 10 \sqrt{3}$
Stąd: $a = \frac{6 \sqrt{3} - 10 \sqrt{3}}{2} < 0$ lub $a = \frac{6 \sqrt{3} + 10 \sqrt{3}}{2} = 8 \sqrt{3}$
Zatem: $P = 6 \cdot 8 \sqrt{3} \cdot \sin 30 ° = 24 \sqrt{3}$

$P = 24 \sqrt{3}$

Ćwiczenie 8

W czworokącie wypukłym $A B C D$ : $|A B| = 9$ ; $|C D| = 6$ ; $|A D| = 3$ ; $|∢ C D A| = 60 °$ ; $|∢ A B C| = 30 °$ . Wyznacz pole tego czworokąta.

Przyjmijmy oznaczenie jak na rysunku:

RCYHaLX3siN5V

Grafika przedstawia czworokąt ABCD , z przekątną AC równą d . Bok AB ma wartość 9 , bok CB ma wartość x , bok CD ma wartość 6 a bok AD ma wartość 3. Kąt ADC ma wartość 60° a kąt ABC wartość 30°.

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie $A C D$ :
$d^{2} = 3^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \cos 60 °$
$d^{2} = 9 + 36 - 2 \cdot 3 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}$
$d^{2} = 27$
$d = 3 \sqrt{3}$
Z twierdzenia cosinusów w trójkącie $A B C$ :
$d^{2} = x^{2} + 9^{2} - 2 \cdot x \cdot 9 \cdot \cos 30^{\circ}$
$27 = x^{2} + 81 - 2 \cdot x \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$x^{2} - 9 \sqrt{3} x + 54 = 0$

$Δ = {(9 \sqrt{3})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 54 = 243 - 216 = 27$ ; $\sqrt{Δ} = 3 \sqrt{3}$

$x = 3 \sqrt{3}$ lub $x = 6 \sqrt{3}$

Zauważmy, że pole czworokąta $A B C D$ można policzyć jako sumę pól trójkątów $A B C$ i $A C D$ , zatem:
$P = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot \sin 60 ° + \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3 \sqrt{3} \cdot \sin 30 ° = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{27 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{45 \sqrt{3}}{4}$

lub

$P = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 \cdot \sin 60 ° + \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 6 \sqrt{3} \cdot \sin 30 ° = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 27 \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 18 \sqrt{3}$

$P = \frac{45 \sqrt{3}}{4}$ lub $P = 18 \sqrt{3}$

Animacja

Dla nauczyciela