Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Spośród podanych kształtów wybierz ten, który jest obrazem obiektu rzeczywistego. Jeżeli:

(a) odległość obiektu rzeczywistego od otworu w camera obscura jest równa odległości otworu od przeciwległej ściany urządzenia.

RqK7xeDxxYVwG

RXN18pBGGZFOj

(b) odległość obiektu rzeczywistego od otworu w camera obscura jest $2$ razy mniejsza niż odległość otworu od przeciwległej ściany urządzenia.

RaTMCuL7YhvB1

RKUevZLQtz9TU

RvzqeyMRYNdVd1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Rysunek przedstawia bilę $D$ , która po odbiciu od bandy uderzyła centralnie w bilę $E$ . Podane są niektóre odległości. Oblicz długości odcinków $x$ i $y$ .

R1XddcGUsJF5v

Ilustracja przedstawia konstrukcję składającą się z kilku odcinków i dwóch punktów leżących poza tymi odcinkami. W górnej części ilustracji znajduje się dwa poziome odcinki o jednym wspólnym końcu. Odcinek O P ma długość 120, a odcinek P R ma długość 50; z punktu R poprowadzono dwa pionowe odcinki: odcinek R S oznaczony jako x oraz odcinek S T oznaczony jako y. Pośrodku zaznaczono dwa punkty: D oraz E i poprowadzono z nich odcinki linią przerywaną i zaznaczono kilka kątów, które te odcinki utworzyły. Z punktu D poprowadzono pionowy odcinek D O o długości 60 i zaznaczono kąt prosty między nim a odcinkiem O P. Następnie z punktu D poprowadzono odcinek D P i zaznaczono kąt ostry alfa między odcinkami D P oraz O P. Z punktu E poprowadzono również dwa odcinki. Pierwszy to odcinek E S, który tworzy kąt beta z odcinkiem pionowym y. Drugi to poziomy odcinek E T o długości 60, który tworzy kąt prosty z odcinkiem y. Połączono także punkty P oraz S w odcinek P S, który jest równocześnie przekątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 50 i x i kątach wewnętrznych alfa przy wierzchołku P i beta przy wierzchołku S.

RtF8Ir9W5122j

Ćwiczenie 4

Rysunek przedstawia dwa okręgi, dwie proste styczne do tych okręgów i półprostą przechodzącą przez środki okręgów. Podane są niektóre długości. Oblicz długości odcinków $x$ i $y$ .

R8uw5QWGiRGJk

RM8apQQUdPOpd

Ćwiczenie 5

Rysunek przedstawia wyniki mierzenia wysokości wieży (punkt $C$ ) oraz wysokości muru (punkt $D$ ). Podane są niektóre długości. Oblicz długości odcinków $x$ i $y$ .

Rauy1wjvkYQ9K

Oblicz długość odcinka x i odcinka y. Ilustracja przedstawia poziomą prostą, na której wyznaczono trzy odcinki o wspólnych końcach. Odcinek A B ma długość 20, odcinek B C ma długość 150, a odcinek C D ma długość dziesięć. Z poszczególnych punktów poprowadzono pionowe odcinki: odcinek A O oznaczono jako x, odcinek B P oznaczono jako y, odcinek C R ma długość 2, a pionowy odcinek nad nim, czyli R S ma długość jeden. Linią przerywaną poprowadzono dwie ukośne proste przecinające się z poziomą prostą w punkcie D. Prosta k przebiega przez następujące punkty: D, R oraz P. Prosta l przebiega z kolei przez punkty: D, S oraz O.

RQB0IHhYMHBc1

Ćwiczenie 6

W trójkącie $A B C$ odcinek $D E$ jest równoległy do boku $B C$ i dzieli trójkąt na dwie części o równych polach.

RrefQ1vSyKWaK

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, w którym podstawą jest poziomy odcinek B C. Na ramieniu A B zaznaczono punkt D, natomiast na ramieniu A C zaznaczono punkt E. Punkty te połączono w poziomy odcinek D E.

Wyznacz stosunek $\frac{|B D|}{|A B|}$ .

Wprowadźmy oznaczenia:

$P$ – pole trójkąta $A B C$ ,

$h$ - wysokość trójkąta $A B C$ ,

$P_{1}$ - pole trójkąta $A D E$ ,

$h_{1}$ - wysokość trójkąta $A D E$ ,

oraz $\frac{h_{1}}{h} = x$ .

Z założenia

$\frac{P_{1}}{P} = \frac{\frac{1}{2} \cdot | E D | \cdot h_{1}}{\frac{1}{2} \cdot | B C | \cdot h} = \frac{| E D | \cdot h_{1}}{| B C | \cdot h} = \frac{1}{2}$

Z twierdzenia Talesa $\frac{|E D|}{|A D|} = \frac{|B C|}{|A B|}$ i stąd $\frac{|A D|}{|A B|} = \frac{|E D|}{|B C|}$ . Ponadto, $\frac{|E D|}{|B C|} = \frac{h_{1}}{h}$ .

Zatem $x^{2} = \frac{1}{2}$ , więc $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ . Wiemy więc, że $\frac{|A D|}{|A B|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Ostatecznie, $\frac{|B D|}{|A B|} = \frac{|A B| - |A D|}{|A B|} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ .

Ćwiczenie 7

Na rysunku odcinki $A B$ , $C D$ i $E F$ są równoległe. Wiadomo, że $|C D| = 27$ , $|P C| = 15$ , $|P E| = 7, 5$ oraz $|A B| = 22, 5$ .

RJPZDRLrWzjb3

Ilustracja przedstawia kilka odcinków. Równoległe ukośne odcinki od lewej to: D C, gdzie punkt D leży nad C, krótszy E F, gdzie punkt E leży nad F oraz dłuższy od środkowego A B, gdzie punkt A leży nad B. Odcinki te wyróżniono różowym kolorem. Pozostałe odcinki są niebieskie. Mamy kolejno: Poziomy odcinek C B zawierający punkt F. Ukośny odcinek C A przebiegający przez punkt E. Ukośny odcinek D B również przebiegający przez punkt E. Ukośny odcinek D F przecinający odcinek C A w punkcie P.

Wyznacz długości odcinków $E F$ i $A E$ .

Z uogólnienia twierdzenia Talesa:

$\frac{|P E|}{|E F|} = \frac{|P C|}{|C D|}$ czyli $|E F| = \frac{|P E| \cdot |C D|}{|P C|} = \frac{7, 5 \cdot 27}{15} = 13, 5$ .

Natomiast z twierdzenia Talesa:

$\frac{|C E|}{|E F|} = \frac{|C A|}{|A B|}$ czyli $|C A| = \frac{|C E| \cdot |A B|}{|E F|} = \frac{22, 5 \cdot 22, 5}{13, 5} = 37, 5$ .

Ostatecznie $|A E| = |A C| - |C E| = 37, 5 - 22, 5 = 15$ .

Ćwiczenie 8

Punkty $D$ i $E$ dzielą boki, odpowiednio, $A B$ i $A C$ trójkąta $A B C$ w stosunku $3 : 4$ . Punkt $S$ jest punktem przecięcia odcinków $B E$ i $C D$ .

a) Wykaż, że $D E ‖ B C$ .

b) Wyznacz $|D E| : |B C|$ .

c) Wyznacz stosunek pól trójkątów $D E S$ i $S E C$ .

d) Wyznacz stosunek pól trójkątów $B D E$ i $B D S$ .

Popatrzmy na rysunek pomocniczy.

RRJ3CgziFxQvv

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C, gdzie B C jest poziomą podstawą. Ramię A B jest podzielone punktem D, natomiast ramie A C dzieli punkt E. Punkty dzielące ramiona połączono poziomym odcinkiem. W ten sposób powstał czworokąt B C E D, w którym wykreślono przekątne przecinające się w punkcie S.

a) Równoległość odcinków $D E$ i $B C$ wynika wprost z odwrotnego twierdzenia Talesa, bo $|A E| : |E C| = |A D| : |D B|$ .

b) Z twierdzenia Talesa $|D E| : |B C| = |A E| : |A C| = 3 : 7$ ( bo $3 + 4 = 7$ ).

c) Trójkąty $D E S$ i $S E C$ mają wspólny wierzchołek $E$ a boki leżące naprzeciwko punku $E$ leżą na jednej prostej. Stąd te trójkąty mają wspólną wysokość poprowadzoną z punktu $E$ . Stąd stosunek pól tych trójkątów jest równy $\frac{|D S|}{|S C|} = \frac{|D E|}{|B C|} = \frac{3}{7}$ .

d) Trójkąty $B D E$ i $B D S$ mają wspólny wierzchołek $D$ a boki leżące naprzeciwko punku $D$ leżą na jednej prostej. Stąd te trójkąty mają wspólną wysokość poprowadzoną z punktu $D$ . Stąd stosunek pól tych trójkątów jest równy $\frac{|B E|}{|B S|} = \frac{|B S| + |S E|}{|B S|} = 1 + \frac{|S E|}{|B S|} = 1 + \frac{|D E|}{|B C|} = 1 + \frac{3}{7} = \frac{10}{7}$ .

Aplet

Dla nauczyciela