Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RkNbxhpvsJvu81

Ćwiczenie 1

Informacja do zadań 2 i 3

Architekt projektuje budynek i chciałby, by śnieg z dachu budynku zsuwał się z niego jak najszybciej. Dla jakiego kąta nachylenia dachu ten warunek będzie spełniony? Możliwe kąty nachylenia dachu zawierają się w przedziale 0‑60° (Rys. 4.).

R1UDc6f9IB27W

Rys. 4. Rysunek przedstawia dom z dachem o kształcie trójkąta równoramiennego. Najdłuższy bok trójkąta znajduje się na dole i ułożony jest poziomo. Ten bok podpisano słowami: podstawa dachu. Dwa równe boki znajdują się powyżej boku poziomego i tworzą kąt rozwarty. Jeden z tych boków podpisano słowami: zbocze dachu. — Rys. 4. Zbocze i podstawa dachu
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Ćwiczenie 2

Rozwiąż to zagadnienie, przyjmując, że długość zbocza dachu jest stała oraz, że współczynnik tarcia śniegu o dach ma stałą wartość, niezależnie od kąta nachylenia. Uzasadnij odpowiedź na podstawie znanych Ci wzorów.

Wzór opisujący przyspieszenie śniegu ma postać:

a = g (sin α - μ cos α)

Śnieg będzie zsuwał się najszybciej z dachu o najwyższym możliwym nachyleniu (60°). Składowa zsuwająca siły ciężkości zależy od sinusa kąta nachylenia dachu, a wartości funkcji sinus w podanym przedziale rosną wraz z kątem. Ponadto, siła tarcia jest zależna od siły nacisku dachu na podłoże. Siła nacisku jest drugą składową siły ciężkości i zależy od cosinusa kąta nachylenia dachu. Wartości funkcji cosinus w podanym przedziale maleją wraz z kątem. Oznacza to, że gdy rośnie kąt nachylenia dachu, siła zsuwająca śnieg rośnie, a siła tarcia maleje, dlatego największe przyspieszenie śniegu uzyska się dla największego nachylenia dachu. Ponieważ długość zbocza dachu jest ustalona, to z największym nachyleniem (i przyspieszeniem) wiąże się najkrótszy czas zsuwania.

Ćwiczenie 3

Rozwiąż to zagadnienie, przyjmując, że długość podstawy dachu jest stała oraz że śnieg zsuwa się z dachu bez tarcia. Uzasadnij odpowiedź, wyprowadzając odpowiednią relację między czasem zsuwania a kątem nachylenia dachu.

2 sin α cos α = sin 2 α

Śnieg będzie zsuwał się najszybciej dla kąta nachylenia wynoszącego 45°. Poprawny wzór opisujący zależność czasu zsuwania od kąta nachylenia dany jest jako:

t = \sqrt{\frac{4 l}{g sin 2 α}} .

Jeśli długość połowy podstawy dachu wynosi $l$ , to długość $s$ zbocza dachu dana jest wzorem:

s = \frac{l}{cos α} .

Przyspieszenie śniegu, gdy nie ma tarcia, dane jest wzorem:

a = g sin α .

Droga jaką przebywa śnieg może być opisana za pomocą wzorów dla ruchu jednostajnie przyspieszonego:

s = \frac{a t^{2}}{2} \to t = \sqrt{\frac{2 s}{a}} = \sqrt{\frac{2 l}{g sin α cos α}} = \sqrt{\frac{4 l}{g sin 2 α}} .

Czas zsuwania się śniegu będzie najkrótszy, gdy wartość wyrażenia w mianowniku będzie największa. Ma to miejsce dla kąta 45°.

Komentarz: W tym przypadku najkrótszy czas zsuwania się śniegu uzyskujemy dla dachu o nie najwyższym kącie nachylenia. Jest to związane z założeniem tego zadania o stałej długości podstawy dachu. Jeżeli długość podstawy jest stała, to wraz z rosnącym kątem nachylenia dachu zwiększa się przyspieszenie śniegu, ale rośnie również długość zbocza dachu, które śnieg musi pokonać.

Informacja do zadań 4 i 5

Wagon towarowy zjeżdża z górki rozrządowej (Rys. 5b.), wyprofilowanej tak, jak przedstawia to poniższy rysunek (Rys. 5a.). Wagon nie posiada własnego silnika. Przy analizie zadania zaniedbaj siły oporu.

RSrTsRae7NuZQ

Rys. 5a. Rysunek pokazuje profil górki rozrządowej, czyli nachylenie torów do poziomu. Z lewej strony tory są nachylone pod stałym kątem i skierowane ukośnie w prawo i dół. Po prawej stronie nachylenie stopniowo zmniejsza się i w końcu tory stają się poziome. — Rys. 5a. Wyprofilowanie górki rozrządowej
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

RiQ1hma7aH7mZ

Rys. 5b. Zdjęcie przedstawia górkę rozrządową na stacji kolejowej. Na niewielkim wzniesieniu i pod nim jest wiele łączących się torów. — Rys. 5b. Największa w Europie górka rozrządowa w Maschen Rangierbahnhof koło Hamburga.
Źródło: dostępny w internecie: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/Maschen_Sued_Nord_System.jpg/2560px-Maschen_Sued_Nord_System.jpg [dostęp 4.09.2022], licencja: CC BY-SA 3.0.

Ćwiczenie 4

RdlXJLRHMNeBr

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Ćwiczenie 5

ROKaxiITt1qll

Informacja do zadań 6 i 7

Jadący po lodowisku łyżwiarz, aby wykonać figurę akrobatyczną, wjeżdża na równię o kącie nachylenia 17° do poziomu (Rys. 6.), nie odpychając się już od lodu. Współczynnik tarcia łyżew o lód wynosi $μ$ = 0,05. Początkowa prędkość łyżwiarza była równa $v_{0}$ = 8 m/s.

R1Tw3y57p1SsJ

Rys. 6. Zdjęcie przedstawia łyżwiarzy wykonujących ewolucje akrobatyczne na torze lodowym o zmiennym nachyleniu do poziomu. — Rys. 6. Łyżwiarze wjeżdżają na górkę.
Źródło: dostępny w internecie: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Red_Bull_Crashed_Ice_-_Edmonton_2015_(16196171083).jpg [dostęp 4.09.2022], licencja: CC BY-SA 2.0.

Ćwiczenie 6

Określ prędkość łyżwiarza, gdy przebędzie on odległość $s$ = 20 m wzdłuż równi. Jaki wniosek możesz wyciągnąć na podstawie uzyskanego wyniku?

Łyżwiarz nie dotrze na taką odległość. Można wykazać to za pomocą zasady zachowania energii mechanicznej lub równań ruchu.

Przy zastosowaniu zasady zachowania energii mechanicznej: $v^{2} < 0$ ;

Przy zastosowaniu zależności kinematyki i dynamiki otrzymuje się równanie kwadratowe na czas ruchu na równi, które nie posiada rozwiązań: $a t^{2} - 2 v_{0} t + 2 s = 0$ , gdzie $a = g (sin α - μ cos α) \approx 3, 34 \frac{m}{s^{2}}$ .

Wynika z tego, że łyżwiarz nie może przebyć takiej drogi wzdłuż równi, gdyż wcześniej całkowicie wytraci swoją prędkość.

Ćwiczenie 7

R17rqqj8hv6if

Rzeczywista długość równi wynosi $l$ = 5 m. Łyżwiarz wjeżdża na szczyt równi, a następnie zaczyna spadać z poziomą prędkością początkową, którą miał na szczycie równi. Jak daleko od równi zetknie się on z lodowiskiem? Przyjmij wartość przyspieszenia $g$ = 9,81 m/s². Wynik podaj z dokładnością do trzech miejsc znaczących.

Odpowiedź: $z$ = ............ m.

Ćwiczenie 8

Rampa dla łyżwiarzy składa się z dwóch równi pochyłych połączonych ze sobą w sposób przedstawiony na Rys. 7. Rampy mają taką samą wysokość równą $H$ = 2 m. Kąt nachylenia lewej równi wynosi 8°, a prawej – 6°. Współczynnik tarcia łyżew o podłoże w przypadku obydwu ramp jest stały i wynosi $μ$ = 0,1. Łyżwiarz startuje ze szczytu lewej równi, wjeżdża na prawą, a następnie wraca na dół. Oblicz, jaką prędkość uzyska na dole równi. Przyjmij, że w momencie przejeżdżania między równiami, prędkość łyżwiarza nie ulega zmianie. Przyjmij wartość przyspieszenia ziemskiego $g$ = 9,81 m/sIndeks górny 2, a wynik zaokrąglij do dwóch miejsc znaczących.

RwOW59LrAsdE7

Rysunek przedstawia dwie jednakowe równie pochyłe. Każda z równi ma kształt trójkąta prostokątnego, którego jedna z przyprostokątnych jest długa i ułożona poziomo. Druga , pionowa przyprostokątna jest znacznie krótsza. Oba trójkąty stykają się wierzchołkami, leżącymi naprzeciwko krótszej przyprostokątnej tak, że lewa równia nachylona jest w prawo i w dół, a prawa równia nachylona jest w lewo i w dół. — Rys. 7. Rampa dla łyżwiarzy
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

RIeOwjKwyzhmr

Odpowiedź: $v$ = ............ m/s.

Łyżwiarz rozpoczyna ruch jednostajnie przyspieszony w dół z prędkością początkową $v_{w}$ . Siła zsuwająca jest skierowana w dół równi, lecz siła tarcia jako działająca przeciwnie do ruchu – w górę. Wartość przyspieszenia łyżwiarza wynosi zatem:

a_{1} = g (sin α - μ cos α) = 9, 81 \frac{m}{s^{2}} \cdot (sin 8 ° - 0, 1 \cdot cos 8 °) \approx 0, 40 \frac{m}{s^{2}} .

Zapiszmy równania wiążące drogę $s$ przebytą wzdłuż równi w dół oraz prędkość $v$ na dole równi z czasem zjazdu w dół $t_{z}$ :

s = v_{w} t_{z} + \frac{1}{2} a_{1} t_{z}^{2},

v = v_{w} + a_{1} t_{z} .

Wyznaczając z drugiego równania czas, podstawiając do pierwszego równania i dokonując uproszczeń, otrzymamy:

s = \frac{v^{2} - v_{w}^{2}}{2 a_{1}} \to

v = \sqrt{2 a_{2} s + v_{w}^{2}} = \sqrt{\frac{2 a_{2} h}{sin α} + v_{w}^{2}} =

= \sqrt{\frac{2 \cdot 0, 40 \frac{m}{s^{2}} \cdot 2 m}{\sin 8^{\circ}} + {(0,5 \frac{m}{s})}^{2}} \approx 3, 4 \frac{m}{s} .

W następnym etapie, zarówno siła zsuwająca jak i siła tarcia działają w dół równi. Wartość opóźnienia łyżwiarza wynosi zatem:

a_{2} = g (sin α - μ cos α) =

= 9, 81 \frac{m}{s^{2}} \cdot (\sin 6^{\circ} - 0, 1 \cdot \cos 6^{\circ}) \approx 0, 0098 \frac{m}{s^{2}} .

Aby dojechać na szczyt równi, przebywa on drogę $s = \frac{h}{sin α}$ . Zapiszmy zależności wiążące drogę do szczytu i prędkość w tym punkcie ( $v_{w}$ ) z czasem wjeżdżania na górę $t_{w}$ :

s = v_{0} t_{w} - \frac{1}{2} a_{2} t_{w}^{2},

v_{w} = v_{0} - a_{2} t_{w} .

Wyznaczmy z drugiego równania czas i podstawmy do pierwszego równania. Po uproszczeniu wyrażeń otrzymujemy:

s = \frac{v_{0}^{2} - v_{w}^{2}}{2 a_{1}} \to

v_{w} = \sqrt{v_{0}^{2} - 2 a_{1} s} = \sqrt{v_{0}^{2} - \frac{2 a_{1} h}{sin α}} =

= \sqrt{{(3, 4 \frac{m}{s^{2}})}^{2} - \frac{2 \cdot 0, 0098 \frac{m}{s^{2}} \cdot 2 m}{\sin 6^{\circ}}} \approx 3, 34 \frac{m}{s} .

Łyżwiarz rozpoczyna ponownie ruch jednostajnie przyspieszony w dół z prędkością początkową $v_{w}$ . Siła zsuwająca jest skierowana w dół równi, lecz siła tarcia jako działająca przeciwnie do ruchu – w górę. Wartość przyspieszenia łyżwiarza wynosi zatem:

a_{3} = g (sin α - μ cos α) = 9, 81 \frac{m}{s^{2}} \cdot (sin 6 ° - 0, 1 \cdot cos 6 °) \approx 0, 0098 \frac{m}{s^{2}} .

Zapiszmy równania wiążące drogę $s$ przebytą wzdłuż równi w dół oraz prędkość $v$ na dole równi z czasem zjazdu w dół $t_{z}$ :

s = v_{w} t_{z} + \frac{1}{2} a_{3} t_{z}^{2},

v = v_{w} + a_{3} t_{z} .

Wyznaczając z drugiego równania czas, podstawiając do pierwszego równania i dokonując uproszczeń, otrzymamy:

s = \frac{v^{2} - v_{w}^{2}}{2 a_{3}} \to

v = \sqrt{2 a_{3} s + v_{w}^{2}} = \sqrt{\frac{2 a_{2} h}{sin α} + v_{w}^{2}} =

= \sqrt{\frac{2 \cdot 0, 0098 \frac{m}{s^{2}} \cdot 2 m}{\sin 6^{\circ}} + {(-0,13 \frac{m}{s})}^{2}} \approx 0, 5 \frac{m}{s} .

Film samouczek

Dla nauczyciela