Narysujmy graniastosłup prawidłowy trójkątny, odpowiedni przekrój płaszczyzną i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

R1HdwMDOVhOX0

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny. W graniastosłupie zaznaczono płaszczyznę w kształcie trapezu. Dłuższa podstawa tego trapezu pokrywa się z krawędzią dolnej podstawy graniastosłupa, górna podstawa trapezu przechodzi przez środek ciężkości górnej podstawy i jest podpisana literą b. Ramiona trapezu leżą w płaszczyznach ścian bocznych graniastosłupa i są podpisane literą c. Krawędzie podstawy graniastosłupa podpisane są literami a. Krawędź boczna graniastosłupa jest podpisana literą h. Wysokość trapezu będącego przekrojem graniastosłupa podpisano literą t i opuszczono ją na jedną z podstaw graniastosłupa.

Zauważmy, że otrzymany przekrój jest trapezem równoramiennym. Z treści zadania wynika, że $a=8$ oraz $h=12$.

Wiadomo, że $x=\frac{1}{2}·a=4$ oraz $b=\frac{1}{2}·a=4$.

Zatem do wyznaczenia długości $c$ ramienia trapezu, rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$c^2=x^2+h^2$

$c^2=4^2+{12}^2$

$c^2=160\Rightarrow c=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$

Wobec tego do wyznaczenia długości $t$ będącej wysokością rozpatrywanego trapezu, rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$t^2+2^2={\left(4\sqrt{10}\right)}^2$

$t^2=156$

$t=2\sqrt{39}$

Zatem pole trapezu jest równe:

$P=\frac{\left(8+4\right)·2\sqrt{39}}{2}=12\sqrt{39}$.

Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia:

R1adQkRXupFQL

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny. W graniastosłupie zaznaczono przekrój w kształcie trójkąta. Jeden z wierzchołków pokrywa się z wierzchołkiem dolnej podstawy, drugi pokrywa się z wierzchołkiem górnej podstawy, a ostatni leży na środku krawędzi bocznej graniastosłupa. Wszystkie boki trójkąta leżą w płaszczyźnie innej ściany bocznej. Krawędzi podstawy graniastosłupa mają długość 6, krawędzie boczne mają długość 4. Bok przekroju będący przekątną jednej ze ścian bocznych podpisano literą x. pozostałe ramiona podpisano y oraz z.

Długość zaznaczonych odcinków obliczamy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

$x^2=6^2+4^2$

$x^2=36+16$

$x^2=52$

$x=2\sqrt{13}$

Zauważmy, że odcinki o długościach $y$ i $z$ są równe.

Zatem

$y^2=6^2+2^2$

$y^2=36+4$

$y^2=40$

$y=2\sqrt{10}$

Wobec tego rozpatrywany trójkąt jest równoramienny.

Niech $h$ będzie długością wysokości tego trójkąta tak, jak na rysunku.

RMyUcJmBlZKTc

Ilustracja przedstawia trójkąt, którego podstawa ma długość $2\sqrt{13}$, jego ramiona mają długość $2\sqrt{10}$. W trójkącie zaznaczono jego wysokość h, którą opuszczono na podstawę o długości $2\sqrt{13}$.

Wobec tego:

$h^2+{\left(\sqrt{13}\right)}^2={\left(2\sqrt{10}\right)}^2$

$h^2+13=40\Rightarrow h^2=27\Rightarrow h=3\sqrt{3}$

Zatem pole omawianego przekroju graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe:

$P=\frac{1}{2}·2\sqrt{13}·3\sqrt{3}=3\sqrt{39}$.

Zauważmy, że otrzymany przekrój jest trójkątem równoramiennym.

Wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku:

RvYgxHzuSCaWB

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy trójkątny. W graniastosłupie zaznaczono płaszczyznę w kształcie trójkąta. Jeden z boków trójkąta pokrywa się z krawędzią dolnej podstawy, pozostałe boki leżą w płaszczyźnie ścian bocznych, a łączący je wierzchołek leży w wierzchołku górnej podstawy naprzeciwległym do boku będącego krawędzią podstawy. Każda z krawędzi graniastosłupa ma długość a. Wysokość podstawy graniastosłupa zaznaczono literą y. Boki przekroju leżące w płaszczyznach ścian bocznych podpisano literami x. Wysokość tego trójkąta opuszczoną na krawędź a podpisano literą h.

Ponieważ wszystkie krawędzie graniastosłupa są jednakowej długości, to:

$x=a\sqrt{2}$

$y=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Wobec tego do wyznaczenia długości $h$, będącej wysokością przekroju korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

$h^2=a^2+y^2$

$h^2=a^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2$

$h^2=a^2+\frac{3a^2}{4}=\frac{7}{4}{a}^2\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{7}}{2}$

$L=a+2x=a+2·a\sqrt{2}=a·\left(1+2\sqrt{2}\right)$

$P=\frac{1}{2}·a·\frac{a\sqrt{7}}{2}=\frac{a^2\sqrt{7}}{4}$.