• Wzór funkcji: $f\left(x\right)=a{x}^2+3$. Własność: funkcja nie posiada ekstremów.
  Funkcja $f\left(x\right)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $\mathrm{ℝ}$. Jej pochodna dana jest wzorem $f\text{'}\left(x\right)=2ax$. Funkcja nie będzie miała ekstremum dla $a=0$.

• Wzór funkcji: $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+ax+a$. Własność: funkcja posiada dwa ekstrema.
  Funkcja $f\left(x\right)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $\mathrm{ℝ}$. Jej pochodna dana jest wzorem $f\text{'}\left(x\right)=3x^2+2ax+a$. Funkcja będzie miała dwa ekstrema, jeśli jej pochodna będzie miała dwa miejsca zerowe oraz w otoczeniu tych miejsc będzie zmieniała znak. Mamy zatem:
  $\Delta =4a\left(a-3\right)>0$
  dla $a\in \left(-\infty , 0\right)\cup \left(3, \infty \right)$. Zatem funkcja $f$ ma dwa ekstrema dla $a\in \left(-\infty , 0\right)\cup \left(3, \infty \right)$ (funkcja kwadratowa, ramiona skierowane do góry).

• Wzór funkcji: $f\left(x\right)=x^4+a{x}^2+a$. Własność: funkcja posiada jedno ekstremum.
  Funkcja $f\left(x\right)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $\mathrm{ℝ}$. Jej pochodna dana jest wzorem $f\text{'}\left(x\right)=4x^3+2ax=2x\left(2x^2+a\right)$. Funkcja będzie miała jedno ekstremum, jeśli jej pochodna będzie miała jedno miejsce zerowe oraz w otoczeniu tego miejsca będzie zmieniała znak. Zatem $a\in \left.⟨0,\infty \right)$.

Funkcja $f\left(x\right)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $\mathrm{ℝ}$. Jej pochodna dana jest wzorem

$f\text{'}\left(x\right)=2x^4-3x^2-2$.

Sprawdzamy, kiedy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum, czyli kiedy pochodna $f\text{'}\left(x\right)=0$.

Otrzymujemy kolejno:

$f\text{'}\left(x\right)=0$, gdy $2x^4-3x^2-2=0$, czyli $x=-\sqrt{2}$, $x=\sqrt{2}$.

Sprawdzamy warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji. Badamy zmianę znaku pochodnej w otoczeniu punktów stacjonarnych korzystając z jej wykresu.

R1UHEZq9blFE5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus trzy do jeden i pionową osią y od minus dwa do dwa. W układzie zaznaczono wykres $f\text{'}$, który jest krzywą o następującym kształcie: wykres pojawia się w drugiej ćwiartce układu następnie przecina oś y w okolicach wartości minus jeden i pół następnie biegnie do do punktu znajdującego się w trzeciej ćwiartce układu, gdzie zmienia swój bieg i biegnie po łuku to punktu nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie do punktu znajdującego się poniżej punktu,w którym wykres przecina oś y i znajdującego się w czwartej ćwiartce układu, dalej wykres biegnie po lekkim łuku, przecina oś y i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce. Wykres jest symetryczny względem osi y.

W otoczeniu punktu $x=-\sqrt{2}$ pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, zatem w tym punkcie funkcja ma maksimum równe $f_{\text{max}}\left(-\sqrt{2}\right)=2,4\sqrt{2}+1$.

W otoczeniu punktu $x=\sqrt{2}$ pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, zatem w tym punkcie funkcja ma minimum równe $f_{\text{min}}\left(\sqrt{2}\right)=-2,4\sqrt{2}+1$.

Dziedziną funkcji jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}$.

Funkcja $f\left(x\right)$ jako funkcja wymierna jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Jej pochodna dana jest wzorem

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x\left(x^2+1\right)-2x\left(x^2-4\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{10x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$, $D_{f\text{'}}=D_f$.

Sprawdzamy, kiedy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum, czyli kiedy pochodna $f\text{'}\left(x\right)=0$.

Otrzymujemy kolejno:

$f\text{'}\left(x\right)=0$, gdy $\frac{10x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=0$, czyli $x=0$.

Sprawdzamy warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji.

Badamy zmianę znaku pochodnej w otoczeniu punktu stacjonarnego.

Mamy

$f\text{'}\left(x\right)>0$, $\frac{10x}{{\left(x^2+1\right)}^2}>0$, $10x>0$, czyli $x>0$,

$f\text{'}\left(x\right)<0$, $\frac{10x}{{\left(x^2+1\right)}^2}<0$, $10x<0$, czyli $x<0$.

W otoczeniu punktu $x=0$ pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, zatem w tym punkcie funkcja ma minimum dla $x=0$ równe $f_{min}(0)=-4$.

Funkcja $f\left(x\right)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $\mathrm{ℝ}$. Jej pochodna dana jest wzorem

$f\text{'}\left(x\right)=a{x}^2-\left(3a+1\right)x+3$.

Sprawdzamy, kiedy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum, czyli kiedy pochodna $f\text{'}\left(x\right)=0$.

Otrzymujemy kolejno:

$f\text{'}\left(x\right)=0$, gdy $a{x}^2-\left(3a+1\right)x+3=0$.

Przeanalizujemy wartości wyróżnika kwadratowego dla pochodnej.

Mamy:

$\Delta ={\left(3a+1\right)}^2-4·3·a=9a^2-6a+1={\left(3a-1\right)}^2$.

Pochodna będzie posiadała pierwiastki (punkty stacjonarne) wówczas, gdy $\Delta \ge 0$, czyli $a\in \mathrm{ℝ}$.

Sprawdzamy warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji.

Jeśli $\Delta =0$ pochodna posiada jeden pierwiastek, ale nie jest spełniony warunek wystarczający istnienia ekstremu, pochodna nie zmienia znaku.

Zatem funkcja nie posiada ekstremum dla $a=\frac{1}{3}$.

Dla $a\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{\frac{1}{3}\right\}$ pochodna posiada dwa pierwiastki (dwa punkty stacjonarne) oraz zmienia swój znak w otoczeniu tych punktów (co wynika z własności funkcji kwadratowej), zatem posiada dwa ekstrema.

Ostatecznie, funkcja nie posiada ekstremów dla $a=\frac{1}{3}$.

Dziedziną funkcji jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}$.

Funkcja $f\left(x\right)$ jako funkcja wymierna jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Jej pochodna dana jest wzorem

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{a\left(x^2+4\right)-ax·2x}{{\left(x^2+4\right)}^2}=\frac{-a\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{{\left(x^2+4\right)}^2}$.

Sprawdzamy, kiedy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum, czyli kiedy pochodna $f\text{'}\left(x\right)=0$.

Otrzymujemy kolejno:

$f\text{'}\left(x\right)=0$, gdy $\frac{-a\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{{\left(x^2+4\right)}^2}=0$, czyli $x=2$ lub $x=-2$, dla $a\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Dla $a\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$ pochodna posiada dwa pierwiastki (dwa punkty stacjonarne) oraz zmienia swój znak w otoczeniu tych punktów (co wynika z własności funkcji kwadratowej), zatem posiada dwa ekstrema.