Ilustracja pierwsza przedstawia wyznaczenie ekstremów następującej funkcji: f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, trzy. Rozwiązanie brzmi: Dziedziną funkcji jest zbiór D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste. Funkcja f jako wielomian jest różniczkowalna w całej dziedzinie. W celu wyznaczenia ekstremów sprawdzimy, czy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji.

Ilustracja druga przedstawia twierdzenie, które przypomni nam warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji. Zatem: jeśli funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu jest różniczkowalna w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego i ma w tym punkcie ekstremum, to f prim nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, zero. Punkty, w których pochodna funkcji jest równa zeru nazywamy punktami stacjonarnymi.

Ilustracja interaktywna 1. {audio}Wyznaczmy pochodną funkcji f.

Ilustracja czwarta zawiera kontynuację przykładu. Zatem musimy rozwiązać równanie kwadratowe. Policzmy wyróżnik tego równania, a następnie miejsca zerowe. Mamy równanie trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, plus, jeden, równa się, zero, wyróżnik jest następujący: DELTA, równa się, nawias, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, razy, trzy, razy, jeden, równa się, szesnaście, minus, dwanaście, równa się, cztery, zatem x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, cztery, minus, dwa, mianownik, dwa, razy, trzy, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka oraz x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, początek ułamka, cztery, plus, dwa, mianownik, dwa, razy, trzy, koniec ułamka, równa się, jeden.

Ilustracja piąta przedstawia sprawdzenie czy spełniony jest warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji. Zaczynamy od punktu a: Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale nawias, a, przecinek, b, zamknięcie nawiasu i f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero dla x, należy do, nawias, a, przecinek, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu oraz f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero dla x, należy do, nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, przecinek, b, zamknięcie nawiasu to funkcja ma w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego minimum. Punkt b: Jeśli funkcji f jest różniczkowalna w przedziale nawias, a, przecinek, b, zamknięcie nawiasu i f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero dla x, należy do, nawias, a, przecinek, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu oraz f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero dla x, należy do, nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, przecinek, b, zamknięcie nawiasu to funkcja ma w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego maksumum. Inaczej mówiąc jeżeli x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego jest miejscem zerowym pochodnej funkcji f ( czyli jest spełniony warunek konieczny istnienia ekstremum) i przy przejściu przez punkt x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego pochodna funkcji zmienia znak, to w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego funkcja ma ekstremum, przy czym w punkcie x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego jest: punkt a: maksimum, gdy znak pochodnej funkcji f zmienia się z plus na minus, punkt b: minimum, gdy znak pochodnej funkcji f zmienia się z minus na plus.

Ilustracja szósta, tutaj wyznaczymy ekstrema następującej funkcji: f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, trzy, rozwiązanie: Dziedziną funkcji jest zbiór D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego, równa się, liczby rzeczywiste, poniżej znajduje się rysunek przedstawiający układ współrzędnych z poziomą osią x od minus jeden do dwa i pionową osią y od minus jeden do dwa. W układzie zaznaczono wykres f prim o kształcie paraboli, której wierzchołek znajduje się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych, a ramiona są skierowane do góry. Lewe ramię przecina oś y w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu, a prawe ramię przecina oś x w punkcie nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Sprawdzając warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji posłużymy się wykresem pochodnej.

Ilustracja siódma zawiera kontynuację rozwiązania. Z wykresu jasno wynika, że w otoczeniu punktów stacjonarnych pochodna zmienia znak, czyli jest spełniony warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji. W otoczeniu punktu stacjonarnego jedna trzecia pochodna zmienia znak z plusa na minus, czyli w tym punkcie ma maksimum. W otoczeniu punktu stacjonarnego jeden pochodna zmienia znak z minusa na plus, zatem w tym punkcie mamy minimum. Zatem f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero dla x, należy do, nawias, nieskończoność, przecinek, indeks dolny, trzy, koniec indeksu dolnego, indeks górny, jeden, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, jeden, przecinek, nieskończoność, zamknięcie nawiasu natomiast f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero dla x, należy do, nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, przecinek, jeden, zamknięcie nawiasu.

Ilustracja ósma również zawiera kontynuację rozwiązania. Obliczmy wartości ekstremalne, podstawiając do wzoru funkcji wartości punktów stacjonarnych. Otrzymujemy minimum równe nawias, minus, dwa przecinek osiem pięć, zamknięcie nawiasu oraz maksimum równe nawias, minus, trzy, zamknięcie nawiasu. Zatem f indeks dolny, min, koniec indeksu dolnego, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dwa początek ułamka, dwadzieścia trzy, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka oraz f indeks dolny, max, koniec indeksu dolnego, nawias, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, trzy.