Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Oceń projekt

Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych, a następnie wykonaj ćwiczenia zamieszczone pod nią.

R19Ei5XWrJ43l
Ilustracja pierwsza przedstawia wyznaczenie ekstremów następującej funkcji: fx=x3−2x2+x−3. Rozwiązanie brzmi: Dziedziną funkcji jest zbiór Df=ℝ. Funkcja f jako wielomian jest różniczkowalna w całej dziedzinie. W celu wyznaczenia ekstremów sprawdzimy, czy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji.
1

1. {audio}Funkcja f jako wielomian jest różniczkowalna w całej dziedzinie. W celu wyznaczenia ekstremów sprawdzimy, czy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji.

RjNoayP3C8EBP
Ilustracja druga przedstawia twierdzenie, które przypomni nam warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji. Zatem: jeśli funkcja fx jest różniczkowalna w punkcie x0 i ma w tym punkcie ekstremum, to f'x0=0. Punkty, w których pochodna funkcji jest równa zeru nazywamy punktami stacjonarnymi.
1

1. {audio}Przypomnijmy warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji.

RtuK2p8GJKUoE
Ilustracja interaktywna 1. {audio}Wyznaczmy pochodną funkcji f.
1

1. {audio}Wyznaczmy pochodną funkcji f.

RLunGkUcIGe4E
Ilustracja czwarta zawiera kontynuację przykładu. Zatem musimy rozwiązać równanie kwadratowe. Policzmy wyróżnik tego równania, a następnie miejsca zerowe. Mamy równanie 3x2−4x+1=0, wyróżnik jest następujący: ∆=−42−4⋅3⋅1=16−12=4, zatem x1=4−22⋅3=13 oraz x2=4+22⋅3=1.
1

1. {audio}Zatem musimy rozwiązać równanie kwadratowe. Policzmy wyróżnik tego równania, a następnie miejsca zerowe.

RpOIthCBXMSEp
Ilustracja piąta przedstawia sprawdzenie czy spełniony jest warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji. Zaczynamy od punktu a: Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w przedziale a,b i f'x<0 dla x∈a,x0 oraz f'x>0 dla x∈x0,b to funkcja ma w punkcie x0 minimum. Punkt b: Jeśli funkcji f jest różniczkowalna w przedziale a,b i f'x>0 dla x∈a,x0 oraz f'x<0 dla x∈x0,b to funkcja ma w punkcie x0 maksumum. Inaczej mówiąc jeżeli x0 jest miejscem zerowym pochodnej funkcji f ( czyli jest spełniony warunek konieczny istnienia ekstremum) i przy przejściu przez punkt x0 pochodna funkcji zmienia znak, to w punkcie x0 funkcja ma ekstremum, przy czym w punkcie x0 jest: punkt a: maksimum, gdy znak pochodnej funkcji f zmienia się z plus na minus, punkt b: minimum, gdy znak pochodnej funkcji f zmienia się z minus na plus.
R1Si0LhXMzlFc
Ilustracja szósta, tutaj wyznaczymy ekstrema następującej funkcji: fx=x3−2x2+x−3, rozwiązanie: Dziedziną funkcji jest zbiór Df=ℝ, poniżej znajduje się rysunek przedstawiający układ współrzędnych z poziomą osią x od minus jeden do dwa i pionową osią y od minus jeden do dwa. W układzie zaznaczono wykres f' o kształcie paraboli, której wierzchołek znajduje się w czwartej ćwiartce układu współrzędnych, a ramiona są skierowane do góry. Lewe ramię przecina oś y w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu, a prawe ramię przecina oś x w punkcie nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Sprawdzając warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji posłużymy się wykresem pochodnej.
1

1. {audio}Sprawdzając warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji posłużymy się wykresem pochodnej.

Rldh4TKZRqUjd
Ilustracja siódma zawiera kontynuację rozwiązania. Z wykresu jasno wynika, że w otoczeniu punktów stacjonarnych pochodna zmienia znak, czyli jest spełniony warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji. W otoczeniu punktu stacjonarnego jedna trzecia pochodna zmienia znak z plusa na minus, czyli w tym punkcie ma maksimum. W otoczeniu punktu stacjonarnego jeden pochodna zmienia znak z minusa na plus, zatem w tym punkcie mamy minimum. Zatem f'x>0 dla x∈∞,31∪1,∞ natomiast f'x<0 dla x∈−13,1.
1

1. {audio}Z wykresu jasno wynika, że w otoczeniu punktów stacjonarnych pochodna zmienia znak, czyli jest spełniony warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji. W otoczeniu punktu stacjonarnego 13 pochodna zmienia znak z plusa na minus, czyli w tym punkcie ma maksimum. W otoczeniu punktu stacjonarnego 1 pochodna zmienia znak z minusa na plus, zatem w tym punkcie mamy minimum.

RVc47XqmbBN21
Ilustracja ósma również zawiera kontynuację rozwiązania. Obliczmy wartości ekstremalne, podstawiając do wzoru funkcji wartości punktów stacjonarnych. Otrzymujemy minimum równe -2,85 oraz maksimum równe -3. Zatem fmin13=−22327 oraz fmax1=−3.
1

1. {audio}Obliczmy wartości ekstremalne, podstawiając do wzoru funkcji wartości punktów stacjonarnych. Otrzymujemy minimum równe -2,85 oraz maksimum równe -3.

Polecenie 2
R1c61NZ8jZ3IP
Łączenie par. Na podstawie informacji zawartych w filmie zaznacz czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.. Aby wyznaczyć ekstremum funkcji wystarczy sprawdzić czy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Aby wyznaczyć ekstremum funkcji należy sprawdzić czy spełniony jest warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum funkcji.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Aby wyznaczyć ekstremum funkcji wystarczy sprawdzić czy spełniony jest warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Na podstawie informacji zawartych w filmie zaznacz czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.

Zdanie Prawda Fałsz
Aby wyznaczyć ekstremum funkcji wystarczy sprawdzić dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość zero. □ □
Aby wyznaczyć ekstremum funkcji należy sprawdzić czy spełniony jest warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum funkcji. □ □
Aby wyznaczyć ekstremum funkcji wystarczy sprawdzić czy jej pochodna przy przejściu przez pewien argument zmienia znak. □ □
Polecenie 3

Wyznaczymy ekstrema funkcji fx=x4-4x3+4x2.

Przeczytaj
Sprawdź się