Jeśli funkcja $f\left(x\right)$ jest różniczkowalna w punkcie $x_0$ i ma w tym punkcie ekstremum, to

1. Jeśli funkcja $f$ jest różniczkowalna w  przedziale $\left(a, b\right)$ i $f\text{'}\left(x\right)<0$ dla $x\in \left(a, x_0\right)$ oraz $f\text{'}\left(x\right)>0$ dla $x\in \left(x_0, b\right)$, to funkcja ma w punkcie $x_0$ minimum.

2. Jeśli funkcja $f$ jest różniczkowalna w przedziale $\left(a, b\right)$ i $f\text{'}\left(x\right)>0$ dla $x\in \left(a, x_0\right)$ oraz $f\text{'}\left(x\right)<0$ dla $x\in \left(x_0, b\right)$, to funkcja ma w punkcie $x_0$ maksimum.

Wyznaczymy ekstrema lokalne następującej funkcji $f\left(x\right)=x^3-9x^2+15x+1$.

Rozwiązanie:

Funkcja $f\left(x\right)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $D_f=\mathrm{ℝ}$. Jej pochodna dana jest wzorem

$f\text{'}\left(x\right)=3x^2+18x+15$, $D_f=D_{f\text{'}}$.

Na mocy pierwszego Twierdzenia o warunku koniecznym istnienia ekstremum, funkcja różniczkowalnafunkcja różniczkowalnafunkcja różniczkowalna $f\left(x\right)$ może mieć ekstremum w punkcie, wtedy i tylko, gdy jej pochodna jest w tym punkcie jest równa zeru.

Sprawdźmy, kiedy pochodna $f\text{'}\left(x\right)=0$.

Otrzymujemy kolejno:

$f\text{'}\left(x\right)=0$, gdy $3x^2-18x+15=0$, czyli $x=1$ lub $x=5$.

Sprawdzamy warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji.

Badamy zmianę znaku pochodnej w otoczeniu punktów stacjonarnych korzystając z jej wykresu.

R1YVai82qcGYG

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 do 7 i pionową osią y od minus 12 do dziewięć. W płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji $f\text{'}$, o kształcie paraboli, której ramiona skierowane są do góry. Wierzchołek paraboli jest w punkcie nawias trzy średnik minus dwanaście zamknięcie nawiasu, jej ramiona przecinają oś x w punktach: nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu oraz nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu.

W otoczeniu punktu $x=1$ pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, zatem w tym punkcie funkcja ma maksimum równe $f_{\text{max}}\left(1\right)=8$.

W otoczeniu punktu $x=5$ pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, zatem w tym punkcie funkcja ma minimum równe $f_{\text{min}}\left(5\right)=-24$.

Wyznaczymy ekstrema lokalne następującej funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2}{x-1}$ dla $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{1\right\}$.

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{1\right\}$.

Funkcja $f\left(x\right)$ jako funkcja wymierna jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Jej pochodna dana jest wzorem

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x\left(x-1\right)-x^2}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x}{{\left(x-1\right)}^2}$, $D_f=D_{f\text{'}}$.

Sprawdzamy, kiedy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum, czyli kiedy pochodna $f\text{'}\left(x\right)=0$.

Otrzymujemy kolejno:

$f\text{'}\left(x\right)=0$, gdy $\frac{x^2-2x}{{\left(x-1\right)}^2}=0$, czyli $x^2-2x=0$, stąd $x=0$ lub $x=2$.

Sprawdzamy warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji.

Badamy zmianę znaku pochodnej w otoczeniu punktów stacjonarnych korzystając z jej wykresu.

R1NInLsk0kBAm

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 4 i pionową osią y od minus 2 do dwa. W płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji $f\text{'}$, o kształcie hiperboli, której asymptotą pionową jest prosta o równaniu $x=1$, a pozioma asymptota ma równanie $y=1$. Lewa część wykresu przechodzi przez środek układu współrzędnych. Prawa część wykresu przecina oś x w punkcie nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu.

W otoczeniu punktu $x=0$ pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, zatem w tym punkcie funkcja ma maksimum równe $f_{\text{max}}\left(0\right)=0$.

W otoczeniu punktu $x=2$ pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, zatem w tym punkcie funkcja ma minimum równe $f_{\text{min}}\left(2\right)=4$.

Uwaga:

Dla rozważanej funkcji $f\left(x\right)$ badanie znaku pochodnej można ograniczyć do badania znaku funkcji znajdującej się w liczniku pochodnej

R1BPAs3MjFeVx

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 4 i pionową osią y od minus 2 do trzy. W płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji z licznika pochodnej, o kształcie paraboli, której ramiona skierowane są do góry. Wierzchołek paraboli jest w punkcie nawias jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, jej ramiona przecinają oś x w punktach: nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu oraz nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu.

Zmiana znaku funkcji z licznika wpływa na znak całej pochodnej.

Wyznaczymy ekstrema lokalne następującej funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^2-3x+2}{x^2}$ dla $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Funkcja $f\left(x\right)$ jako funkcja wymierna jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Jej pochodna dana jest wzorem

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(2x-3\right)·x^2-\left(x^2-3x+2\right)·2x}{x^4}=\frac{3x-4}{x^3}$

dla każdego argumentu ze zbioru $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Sprawdzamy, kiedy spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum, czyli kiedy pochodna $f\text{'}\left(x\right)=0$.

Otrzymujemy kolejno:

$f\text{'}\left(x\right)=0$, gdy $\frac{3x-4}{x^3}=0$, czyli $3x-4=0$, stąd $x=\frac{4}{3}$.

Sprawdzamy warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji.

Badamy zmianę znaku pochodnej w otoczeniu punktów stacjonarnych.

Otrzymujemy kolejno

$\frac{3x-4}{x^3}>0$,

$x\left(3x-4\right)>0$,

$x\in \left(-\infty , 0\right)\cup \left(\frac{4}{3}, \infty \right)$.

$\frac{3x-4}{x^3}<0$,

$x\left(3x-4\right)<0$,

$x\in \left(0, \frac{4}{3}\right)$.

W otoczeniu punktu $x=\frac{4}{3}$ pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, zatem w tym punkcie funkcja ma minimum równe $f_{\text{min}}\left(\frac{4}{3}\right)=-0,125$.

Punkt $x=0$ nie należy do dziedziny funkcji (ani pochodnej) zatem funkcja nie może mieć w nim ekstremum.

Sprawdzimy, ile ekstremów posiada funkcja $f\left(x\right)=x^3+ax+2$ w zależności od wartości parametru $a$.

Rozwiązanie:

Funkcja $f\left(x\right)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $\mathrm{ℝ}$. Jej pochodna dana jest wzorem

$f\text{'}\left(x\right)=3x^2+a$.

Otrzymujemy kolejno

• dla $a>0$ pochodna $f\text{'}\left(x\right)>0$ dla każdego argumentu z dziedziny funkcji. Zatem dla żadnego punktu z dziedziny nie jest spełniony warunek konieczny, ani wystarczający istnienia ekstremum funkcji. Funkcja nie ma ekstremum.

• dla $a=0$ pochodna $f\text{'}\left(x\right)\ge 0$ dla każdego argumentu z dziedziny funkcji. Istnieją zatem punkty, dla których spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji, ale nie jest spełniony warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji, pochodna nie zmienia znaku. Zatem funkcja nie ma ekstremum.

• dla $a<0$ pochodna $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-a$ dla każdego argumentu z dziedziny funkcji. Pochodna jest funkcją kwadratową, której wyróżnik $\Delta >0$ dla $a<0$. Stąd wynika, że pochodna ma dwa miejsca zerowe. Z własności funkcji kwadratowej posiadającej dwa miejsca zerowe wynika, że w otoczeniu tych miejsc pochodna zmienia znak. Zatem funkcja ma dwa ekstrema.

O funkcji $f\left(x\right)=a{x}^3+bx+2$ wiadomo, że w punkcie $x=-1$ posiada ekstremum równe $4$. Znajdziemy wartości współczynników $a$ i $b$ oraz pozostałe ekstrema funkcji (jeśli je posiada).

Rozwiązanie:

Funkcja $f\left(x\right)$ jako wielomian jest różniczkowalna w zbiorze $\mathrm{ℝ}$. Jej pochodna dana jest wzorem

$f\text{'}\left(x\right)=3a{x}^2+b$.

Na mocy Twierdzenia o warunku koniecznym istnienia ekstremum funkcji wiemy, że funkcja ma punkty stacjonarne, wtedy i tylko wtedy, gdy $f\text{'}\left(x\right)=0$. Zatem $f\text{'}\left(-1\right)=0$ oraz $f\left(-1\right)=4$.

Otrzymujemy kolejno

$f\left(-1\right)=-a-b+2=4$,

$f\text{'}\left(-1\right)=3a+b=0$,

stad $a=1$, $b=-3$.

Zatem pochodna funkcji $f$ dana jest wzorem $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-3$.

Miejscami zerowymi pochodnej są punkty (warunek koniczny istnienia ekstremum funkcji) $x=1$ i $x=-1$.

Pochodna jest dodatnia dla $x\in \left(-\infty , -1\right)\cup \left(1, \infty \right)$ oraz ujemna dla $x\in \left(-1, 1\right)$.

Zatem funkcja posiada drugie ekstremu w punkcie $x=1$ i jest ono równe $0$.

funkcję nazywamy różniczkowalną jeśli ma pochodną w każdym punkcie dziedziny