Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1QFk2CTIbOeR

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Z górnego wierzchołka C poprowadzono odcinek C S, przy czym koniec S znajduje się na podstawie A B. Z wierzchołka B poprowadzono odcinek B R, gdzie punkt R znajduje się na boku A C. Z wierzchołka A poprowadzono odcinek A Q, gdzie punkt Q znajduje się na boku B C. Odcinki A Q, B R oraz C S przecinają się wewnątrz trójkąta w punkcie O. Przy wierzchołkach oznaczono kąty: przy wierzchołku A kąt alfa, przy B kąt beta, przy C kąt gamma. Na rysunku zapisano następujące zależności: AB=sinγ, AC=sinβ, BC=sinα, BO=cosβ, OS=cosα·cosβ oraz BS=sinα·cosβ.

Korzystając z modelu opisanego na powyższym rysunku i oznaczeń tam przyjętych, wyznacz długość odcinka $A O$ , a następnie wykaż, że w dowolnym trójkącie o kątach $α$ , $β$ , $γ$ zachodzi nierówność $\cos α + \cos β > \sin γ$ .

Uzupełnij puste pola, dobierając odpowiedni tekst (oznaczenia) spośród podanych niżej.

Rz36SPcxhwYdP

Ponieważ $|∢ A O S| = β$ , więc $\cos β = \frac{|O S|}{|A O|}$ .
Stąd $|A O| = \frac{|O S|}{\cos β} = \frac{\cos α \cdot \cos β}{\cos β} = \cos α$ .
Ale z nierówności trójkąta (dla trójkąta $A O B$ ) mamy w szczególności, że $|A O| + |B O| > |A B|$ , a stąd wynika teza.

Ćwiczenie 2

RoeNuiTooYBLL

Wiedząc, że dla dowolnego kąta $δ$ prawdziwy jest wzór $\cos (180 ° - δ) = - \cos δ$ oraz korzystając z modelu opisanego na rysunku i oznaczeń tam przyjętych, wyznacz długość odcinków $O R$ oraz $B R$ , a następnie wykaż, że w dowolnym trójkącie o kątach $α$ , $β$ , $γ$ zachodzi równość $\cos (α + γ) = \cos α \cdot \cos γ - \sin α \cdot \sin γ$ .

Zapisz dowód modyfikując kolejność poniższych sformułowań.

R1I0Ts2lxH5y6

Ćwiczenie 3

Udowodnij, że jeśli w trójkącie rozwartokątnym kąty mają miary $α$ , $β$ , $γ$ i $γ$ jest kątem o największej mierze, to $\sin^{2} α + \sin^{2} β < \sin^{2} γ$ . Wskazówka: zauważ, że boki dowolnego trójkąta wpisanego w okrąg o średnicy 1 mają długości równe sinusom kątów leżących naprzeciwko tych boków.

Wiemy, że trójkąt jest rozwartokątny, tylko wtedy, gdy kwadrat długości największego boku jest większy od sumy kwadratów długości boków pozostałych. Ponadto dowolny trójkąt o kątach $α$ , $β$ , $γ$ jest podobny do trójkąta o tych samych kątach, wpisanego w okrąg o średnicy $1$ .

Jeśli skalę tego podobieństwa oznaczylibyśmy, przez $k$ , to długości boków byłyby równe: $k \cdot \sin α$ , $k \cdot \sin β$ , $k \cdot \sin γ$ . Stąd $k^{2} \cdot \sin^{2} α + k^{2} \cdot \sin^{2} β < k^{2} \cdot \sin^{2} γ$ . Dzieląc równość przez $k^{2}$ otrzymujemy tezę.

RGeyF8gEi8Vbp2

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Udowodnij, że w trójkącie ostrokątnym, w którym kąty mają miary $α$ , $β$ , $γ$ , prawdziwa jest nierówność $\sin α + \cos α > 1$ .

Skorzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.
Wtedy przy „klasycznych” oznaczeniach mamy: $\sin α = \frac{a}{c}$ , $\cos α = \frac{b}{c}$ , gdzie $c$ jest długością przeciwprostokątnej, a $a$ , $b$ to długości dwóch przyprostokątnych.

Wtedy zadana nierówność przyjmuje postać: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} > 1$ , czyli $\frac{a + b}{c} > 1$ .
Prowadzi to do oczywistej nierówności trójkąta: $a + b > c$ .

Co kończy dowód.

Ćwiczenie 6

Punkt $O$ jest ortocentrum trójkąta ostrokątnego $A B C$ . Udowodnij, że promień okręgu opisanego na trójkącie $A B C$ jest równy promieniowi okręgu opisanego na trójkącie $A B O$ .

Oznaczmy kąty przy wierzchołkach $A$ , $B$ , $C$ odpowiednio przez $α$ , $β$ , $γ$ , a promień okręgu opisanego na trójkącie $A B C$ oznaczmy przez $R$ .

Wtedy $\frac{|A B|}{\sin γ} = 2 R$ . Zauważmy, że przy przyjętych oznaczeniach, $|∢ A O B| = α + β = 180 ° - γ$ . Zatem: $γ = 180 ° - α - β$ .

Stosując twierdzenie sinusów dla trójkąta $A B O$ mamy w szczególności, że $\frac{|A B|}{\sin (∢ A O B)} = \frac{|A B|}{\sin γ}$ . Stąd teza.

Ćwiczenie 7

W danym trójkącie, dwusieczna jednego z jego kątów podzieliła bok przeciwległy na odcinki o długościach $4$ i $5$ . Uzasadnij, ze żaden z boków tego trójkąta nie może mieć długości $3$ .

Przypuśćmy, że taki trójkąt istnieje i oznaczmy przez $x$ długość trzeciego z jego boków.
Z twierdzenia o dwusiecznej mielibyśmy $\frac{4}{3} = \frac{5}{x}$ albo $\frac{5}{3} = \frac{4}{x}$ .
Z pierwszej równości otrzymalibyśmy, że $x = 3, 75$ , z drugiej $x = 2, 4$ .

W żadnym z tych przypadków nie jest spełniony warunek trójkąta. Otrzymana sprzeczność dowodzi tezy.

R1JNLVOqHlo0H3

Ćwiczenie 8

Animacja

Dla nauczyciela