Imię i nazwisko autora: Jacek Człapiński

Przedmiot: Matematyka

Temat zajęć: Zastosowanie twierdzenia sinusów w dowodeniu twierdzeń

Grupa docelowa: III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa

VII. Trygonometria

Uczeń

2) znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub kalkulatora;

5) stosuje twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wzór na pole trójkąta $P_{\Delta }=\frac{1}{2}ab·\sin \gamma$

6) oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty)

VIII. Planimetria

2) rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok;

7) stosuje twierdzenia: Talesa, odwrotne do twierdzenia Talesa, o dwusiecznej kąta oraz o kącie między styczną a cięciwą

Kształtowane kompetencje kluczowe:

• kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

• kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

• kompetencje cyfrowe

• kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

• bada zależności między bokami i kątami w trójkącie i formułuje hipotezy dotyczące tych zależności

• dowodzi twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

• stosuje twierdzenie sinusów do wyznaczania zależności miarowych w trójkącie

• stosuje twierdzenie sinusów do badania istnienia trójkątów o danych własnościach

• buduje model geometryczny do badania zależności trygonometrycznych

Strategie i metody nauczania:

• konstruktywizm.

• dyskusja

• rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych

Formy zajęć:

• praca indywidualna

• praca w grupach

• praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

• komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każda grupa uczniów miała do dyspozycji komputer. Lekcję tę można przeprowadzić, mając do dyspozycji jeden komputer z rzutnikiem multimedialnym.

Przebieg lekcji:

Faza wprowadzająca

1. Nauczyciel prosi uczniów o przypomnienie twierdzenia Snelliusa.

2.Nauczyciel prosi uczniów o przypomnienie pojęcia sinusa kąta w trójkącie prostokątnym oraz ortocentrum trójkąta.

3. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna

1.Nauczyciel formułuje problem związany z dwusieczną kąta i prosi uczniów o sformułowanie hipotezy. Następnie formułują i dowodzą twierdzenie.

2. Uczniowie, pracując w grupach, wykorzystują animację  i wykonują odpowiednie polecenia.

3. Nauczyciel w rozmowie z każdą grupą lub cała klasą sugeruje (w razie potrzeby) wykorzystanie twierdzenia sinusów. W zależności od tempa pracy poszczególnych grup, nauczyciel może udzielać wskazówek lub zakończyć ten etap lekcji, gdy nie wszystkie długości będą wyznaczone.

4. Uczniowie wykonują zaproponowane ćwiczenia interaktywne, wykorzystując umiejętności z różnych działów matematyki.

Faza podsumowująca

Nauczyciel prosi wybranych uczniów o przedstawienie najważniejszych elementów, jakie były omawiane w trakcie lekcji. Nauczyciel inicjuje dyskusję na temat modelowania matematycznego i zastosowania modelu opisanego w animacji.

Praca domowa:

Nauczyciel poleca, aby uczniowie wykonali w domu ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane w czasie zajęć.

Materiały pomocnicze:

• O twierdzeniu Snelliusa, czyli rozwiązywaniu trójkątów dowolnych

• Zastosowanie twierdzenia sinusów do obliczania miar kątów w wielokątach

Wskazówki metodyczne:

Można zastosować do dowodzenia różnych zależności trygonometrycznych, w szczególności wzorów na funkcje trygonometryczne sumy argumentów.