Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RuwVUyJkdBlPS

R1MbXVkUwPI4p

Ćwiczenie 2

R1bkecsR1x0WC

Zaznacz poprawną odpowiedź. Liczby $\frac{-11}{\sqrt{5} - 4}$ , $1$ , $- 2 - \sqrt{5}$ , w tej kolejności, są trzema kolejnymi (niekoniecznie początkowymi) wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego nieskończonego. Ten ciąg:

jest ciągiem rosnącym
jest ciągiem malejącym
jest ciągiem stałym
nie jest monotoniczny

Ćwiczenie 3

RsZv7nx4AJJMg

Ciągi arytmetyczne opisane są podanymi wzorami ogólnymi. Przyporządkuj każdemu z ciągów jego rodzaj.

Ciąg rosnący, Ciąg stały, Ciąg malejący

$c_{n} = - 4 n + 19$
$a_{n} = {(n + 1)}^{2} - n^{2}$
$b_{n} = 2 \cdot {(\sqrt{2})}^{n - n}$

Ćwiczenie 4

RrDsAHlRQM5qk

Wpisz brakujące wyrazy ciągów arytmetycznych monotonicznych.

$-$ ............, $- 156$ , $-$ ............, $- 150$

$16$ , ............, ............, $- 14$

$- \sqrt{2}$ , ............, $\sqrt{2}$ , $2 \sqrt{2}$

$7$ , ............, ............, $7$

Ćwiczenie 5

RDaEK2MfGG6Cu

Dostępne opcje do wyboru:

<

<

=

>

. Polecenie: Uzupełnij zdania, przeciągając odpowiednie znaki:

<

>

lub

=

Jeżeli w ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ pierwszy wyraz $a_{1}$ luka do uzupełnienia $0$ , a różnica ciągu $r > a_{1}$ to ciąg jest rosnący.

Jeżeli w ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ pierwszy wyraz $a_{1} > 0$ , różnica ciągu jest równa $r$ i $a_{1} \cdot r$ luka do uzupełnienia $1$ to ciąg jest malejący.

Jeżeli w ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ pierwszy wyraz $a_{1} < 0$ , a różnica ciągu $r$ luka do uzupełnienia $0$ to ciąg jest malejący.

Jeżeli w ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ pierwszy wyraz $a_{1} = - 3$ różnica ciągu $r$ luka do uzupełnienia $0$ to ciąg jest stały.

Uzupełnij zdania, przeciągając odpowiednie znaki: $<$ , $>$ lub $=$ .

$<$ , $>$ , $<$ , $=$

Jeżeli w ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ pierwszy wyraz $a_{1}$ $0$ , a różnica ciągu $r > a_{1}$ to ciąg jest rosnący.

Jeżeli w ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ pierwszy wyraz $a_{1} > 0$ , różnica ciągu jest równa $r$ i $a_{1} \cdot r$ $1$ to ciąg jest malejący.

Jeżeli w ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ pierwszy wyraz $a_{1} < 0$ , a różnica ciągu $r$ $0$ to ciąg jest malejący.

Jeżeli w ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ pierwszy wyraz $a_{1} = - 3$ różnica ciągu $r$ $0$ to ciąg jest stały.

Ćwiczenie 6

RxIv49oORWowh

Łączenie par. W monotonicznym ciągu arytmetycznym

(a_{n})

drugi wyraz jest równy

\frac{1}{2}

, a czwarty wyraz jest równy

1

.
Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.. Ciąg ten nie jest ciągiem stałym.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Pierwszy wyraz tego ciągu jest mniejszy od

1

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Wiadomo, że

a_{6} < 3

zatem ciąg ten jest malejący.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Ponieważ

a_{1} - a_{2} < 0

, więc ciąg ten jest rosnący.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

W monotonicznym ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ drugi wyraz jest równy $\frac{1}{2}$ , a czwarty wyraz jest równy $1$ .
Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe.

	Prawda	Fałsz
Ciąg ten nie jest ciągiem stałym.	□	□
Pierwszy wyraz tego ciągu jest mniejszy od $1$ .	□	□
Wiadomo, że $a_{6} < 3$ zatem ciąg ten jest malejący.	□	□
Ponieważ $a_{1} - a_{2} < 0$ , więc ciąg ten jest rosnący.	□	□

Ćwiczenie 7

Ciąg $(x, y, z)$ jest ciągiem arytmetycznym rosnącym. Suma wyrazów ciągu jest równa $6$ , a ich iloczyn jest równy $(- 24)$ . Znajdź liczby $x$ , $y$ , $z$ .

Oznaczmy:
$r$ – różnica ciągu.

Wtedy:

$y = x + r$

$z = x + 2 r$

Suma liczb $x$ , $y$ , $z$ jest równa $6$ .

$x + y + z = 6$

$x + x + r + x + 2 r = 6$

$3 x + 3 r = 6$

$x + r = 2 \Rightarrow y = 2$

Iloczyn liczb $x$ , $y$ , $z$ jest równy $(- 24)$ .

$x y z = - 24$

$x \cdot 2 \cdot z = - 24 | : 2$

$x z = - 12$

$x (x + 2 r) = - 12$

$(2 - r) (2 + r) = - 12$

$4 - r^{2} = - 12$

$r = - 4$ – nie spełnia warunków zadania, bo ciąg rosnący

$r = 4$

Czyli:

$x = 2 - 4 = - 2$

$z = 2 + 4 = 6$

Odpowiedź:

$x = - 2$ , $y = 2$ , $z = 6$ .

Ćwiczenie 8

Wykaż, że ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ określony wzorem ogólnym $a_{n} = \frac{{(n - 2)}^{2}}{8} - \frac{{(6 - n)}^{2}}{8}$ jest rosnący.

Zapisujemy wzór ciągu w prostszej postaci.

$a_{n} = \frac{n^{2} - 4 n + 4 - 36 + 12 n - n^{2}}{8}$

$a_{n} = n - 4$

Badamy znak różnicy między kolejnymi wyrazami ciągu.

$a_{n + 1} - a_{n} = n + 1 - 4 - n + 4 = 1 > 0$

Różnica ciągu jest dodatnia, zatem ciąg jest rosnący.

Animacja

Dla nauczyciela