Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na rysunku przedstawiono siatkę pewnego stożka.

R9x6aTxgXI5A3

Ilustracja przedstawia siatkę stożka o promieniu podstawy o długości r, tworząca stożka o długości l oraz kątem rozwarcia wynoszącym 135 stopni. Siatka stożka składa się z okręgu oraz z wycinka koła.

R1S09Vvwk7q8G

Pole powierzchni wycinka koła, będącego powierzchnią boczną stożka wynosi $24 π$ . Zatem objętość tego stożka wynosi:

$3 π \sqrt{55}$
$4 π \sqrt{55}$
$3 π \sqrt{73}$

Ćwiczenie 2

R15ZutiCkE7V2

Zaznacz zdania, które są prawdziwe.

Aby obliczyć objętość stożka, wystarczy znać promień jego podstawy i kąt rozwarcia.
Jeżeli długość promienia podstawy i wysokości jednego stożka jest dwa razy większa niż długość promienia podstawy i wysokości w drugim stożku, to stosunek objętości tych stożków wynosi $2$ lub $\frac{1}{2}$ .
Objętość dowolnego walca jest dziewięć razy większa od objętości stożka o tej samej podstawie i wysokości.
W każdym stożku tworzące oraz średnica podstawy tworzą trójkąt równoramienny.

Ćwiczenie 3

R1Ct3GehBn0iR

Rvq2xMmovchyg

Połącz w pary objętości z opisami.

V = 3 π

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości h, promieniem podstawy stożka o długości 4 oraz tworzącą stożka o długości 3 razy h., 2. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości 2 razy r, promieniem podstawy stożka o długości r oraz tworzącą stożka o długości 5, 3. Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości 3, promieniem podstawy stożka o długości r oraz tworzącą stożka o długości 2 razy r.

V = \frac{10}{3} \sqrt{5} π

V = \frac{16}{3} \sqrt{2} π

Ćwiczenie 4

Na rysunkach 1 i 2 przedstawiono stożki.

R1TqGXqXn7H54

Pojawiają się dwie ilustracje, pierwsza przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości x dodać 5, promieniem podstawy stożka o długości x oraz tworzącą stożka o długości x dodać 10, druga ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości x, promieniem podstawy stożka o długości x minus 2 oraz tworzącą stożka o długości x dodać 2,

RvFQhYr55kNPb

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem.

wysokość stożka jest równa <math><mn>8</mn></math>, objętość stożka wynosi <math><mn>96</mn><mi>π</mi></math>, wysokość stożka jest równa <math><mn>20</mn></math>, promień podstawy stożka ma długość <math><mn>6</mn></math>, objętość stożka wynosi <math><mn>1500</mn><mi>π</mi></math>, promień podstawy stożka ma długość <math><mn>15</mn></math>

Wartości dla stożka z rysunku 1:
Wartości dla stożka z rysunku 2:

Ćwiczenie 5

R1GhUi7FsMTr7

Wstaw w tekst odpowiednie liczby.

$24 π$ , $192 π$ , $64 π$ , $27 \sqrt{3} π$ , $72 π$ , $9 \sqrt{3} π$

Objętość stożka:
- o promieniu podstawy $r = 2 \sqrt{2}$ i wysokości $h = 9$ wynosi ............,
- o promieniu podstawy $r = 3$ i tworzącej $l = 6$ wynosi ............,
- o wysokości $h = 4$ i tworzącej $l = 8$ wynosi .............

Ćwiczenie 6

Oblicz objętość stożka, jeżeli wiadomo, że jego kąt rozwarcia ma miarę $90 °$ , a pole trójkąta, którego dwa boki są tworzącymi stożka, a trzeci bok jest średnicą podstawy wynosi $P$ .

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RkHBtjkyqwpPN

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości h, tworząca stożka o długości l, promieniem podstawy stożka o długości r.

Zauważmy, że omawiany trójkąt jest prostokątny równoramienny.

Jeżeli pole tego trójkąta jest równe $P$ , to $P = \frac{1}{2} \cdot l^{2}$ .

Zatem $l = \sqrt{2 P}$ .

Zauważmy, że $r = \frac{l \sqrt{2}}{2}$ , czyli $r = \frac{\sqrt{2 P} \cdot \sqrt{2}}{2} = \sqrt{P}$ .

Długość wysokości tego stożka obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$h^{2} + r^{2} = l^{2}$

$h^{2} + {(\sqrt{P})}^{2} = {(\sqrt{2 P})}^{2}$ , więc $h = \sqrt{P}$ .

Objętość tego stożka jest równa:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(\sqrt{P})}^{2} \cdot \sqrt{P} = \frac{P \sqrt{P}}{3} π$ .

Ćwiczenie 7

Promień podstawy stożka jest równy $r$ . Tworząca stożka jest cztery razy dłuższa od promienia podstawy. Wyznacz objętość tego stożka.

Narysujmy stożek i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RvzJq79nYSSGM

Z treści zadania wiadomo, że $l = 4 r$ .

Długość wysokości $h$ stożka obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$h^{2} + r^{2} = l^{2}$

$h^{2} + r^{2} = {(4 r)}^{2}$

$h^{2} = 16 r^{2} - r^{2}$

$h^{2} = 15 r^{2}$

$h = \sqrt{15} r$ .

Wobec tego objętość stożka jest równa:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot \sqrt{15} r = \frac{\sqrt{15}}{3} π r^{3}$ .

Ćwiczenie 8

Dany jest stożek o polu powierzchni bocznej $16 π \sqrt{2}$ i polu powierzchni całkowitej $16 π \sqrt{2} + 8 π$ . Oblicz objętość tego stożka.

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

R1HtiCdXCVrSK

Pole powierzchni całkowitej obliczamy ze wzoru:

$P_{c} = P_{p} + P_{b} = π r^{2} + π r l$ .

Ponieważ $P_{c} = 16 π \sqrt{2} + 8 π$ oraz $P_{b} = 16 π \sqrt{2}$ , zatem:

$P_{p} = 16 π \sqrt{2} + 8 π - 16 \sqrt{2} π = 8 π$ .

Jeżeli wykorzystamy wzór na pole powierzchni podstawy stożka, to długość promienia podstawy stożka wyznaczymy z równania:

$8 π = π r^{2}$

$r = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .

Wiadomo, że pole powierzchni bocznej stożka obliczamy ze wzoru $P_{b} = π r l$ , zatem:

$π \cdot 2 \sqrt{2} \cdot l = 16 π \sqrt{2}$ , czyli $l = 8$ .

Długość wysokości stożka obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$h^{2} + r^{2} = l^{2}$

$h^{2} = 56$ , czyli $h = 2 \sqrt{14}$

Wobec tego objętość stożka jest równa:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(2 \sqrt{2})}^{2} \cdot 2 \sqrt{14} = \frac{16}{3} π \sqrt{14}$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela