Zapiszmy założenia: $\cos 3x\ne 0$, czyli $x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Wprowadźmy podstawienie: $t={\mathrm{tg}}^{2}3x$. Wówczas otrzymujemy równanie kwadratowe:

$t^2+t-12=0$.

Rozwiązujemy je:

$\Delta =1-4·(-12)=49$

$t=3$ lub $t=-4$.

Wracamy do zmiennej $x$:

${\mathrm{tg}}^{2}3x=3$ lub ${\mathrm{tg}}^{2}3x=-4$.

Drugie równanie jest sprzeczne, zatem rozwiązujemy pierwsze z równań:

$\mathrm{tg}3x=\sqrt{3}$ lub $\mathrm{tg}3x=-\sqrt{3}$.

Otrzymujemy wówczas:

$3x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ lub $3x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Po uwzględnieniu założeń dostajemy odpowiedź:

$x=\frac{\pi }{9}+\frac{k\pi }{3}$ lub $x=-\frac{\pi }{9}+\frac{k\pi }{3}$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Zauważmy, że funkcja $y=\left|7\mathrm{tg}\right(3x-1\left)\right|$ przyjmuje wszystkie wartości ze zbioru $⟨0,+\infty )$.

Zatem równanie ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $-a^2+6a-8\ge 0$.

Poszukajmy pierwiastków równania $-a^2+6a-8=0$:

$\Delta =36-4·8=4$,

$a=2$ lub $a=4$.

W tej sytuacji rozwiązaniem nierówności $-a^2+6a-8\ge 0$ jest przedział $⟨2,4⟩$.