Film samouczek

Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższym filmem, a następnie wykonaj kolejne polecenia.

R12BcrFpf7OI3

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DtkhY569C

Film nawiązujący do treści materiału dotyczący rozwiązywania równań z tangensem.

Polecenie 2

RaWTIJHhVH7Xi

Polecenie 3

Rozwiąż równanie: ${tg}^{3} x + 4 {tg}^{2} x + 7 tg x + 4 = 0$ .

Podstawmy: $t = tg x$ . Wówczas otrzymujemy równanie wielomianowe:

$t^{3} + 4 t^{2} + 7 t + 4 = 0$ .

Korzystając z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych, pierwiastkami wymiernymi tego równania mogą być tylko: $1, - 1, 2, - 2, 4, - 4$ . Po sprawdzeniu okazuje się, że pierwiastkiem jest $- 1$ .

Zatem równanie $t^{3} + 4 t^{2} + 7 t + 4 = 0$ możemy zapisać w postaci: $(t + 1) (t^{2} + 3 t + 4) = 0$ .

Równanie $t^{2} + 3 t + 4 = 0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdyż $Δ = - 7 < 0$ .

Zatem jedynym rozwiązaniem równania $t^{3} + 4 t^{2} + 7 t + 4 = 0$ jest $t = - 1$ , czyli rozwiązaniem równania ${tg}^{3} x + 4 {tg}^{2} x + 7 tg x + 4 = 0$ są takie liczby $x$ , że $tg x = - 1$ .

Odpowiedź: $x = - \frac{π}{4} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przeczytaj

Sprawdź się