Algorytm szukania rozwiązań równania $\mathrm{tg}x=a$:

Znajdujemy jedno rozwiązanie $x_0$ takie, że $\mathrm{tg}{x}_0=a$. Zapisujemy wszystkie rozwiązaania równania $\mathrm{tg}x=a$: $x=x_0+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy równanie: $\frac{tgx}{\cos x-1}=0$.

Rozwiązanie:

Zapiszmy założenia: $\cos x\ne 1$, $\cos x\ne 0$.

Zatem: $x\ne 2k\pi$ i  $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Aby lewa strona równania była równa $0$, licznik musi być równy $0$:

$tgx=0$, gdy $x=\pi k$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Po uwzględnieniu założeń otrzymujemy odpowiedź: $x=\pi +2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy równanie: $\sin x=\cos x$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że funkcje $y=\sin x$ i $y=\cos x$ nie mogą jednocześnie przyjmować wartości $0$. Zatem w tym równaniu $\sin x\ne 0$ i $\cos x\ne 0$.

Wobec tego możemy równanie $\sin x=\cos x$ podzielić stronami przez $\cos x$. Otrzymujemy wówczas równoważne mu równanie:

$\mathrm{tg}x=1$.

Stąd otrzymujemy odpowiedź: $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy równanie: $\sin 2x\cos 3x+\sin 3x\cos 2x=0$.

Rozwiązanie:

Zapiszmy równanie w postaci równoważnej: $\sin 2x\cos 3x=-\sin 3x\cos 2x$.

Zauważmy, że funkcje $y=\sin x$ i $y=\cos x$ nie mogą jednocześnie przyjmować wartości $0$. Zatem w tym równaniu nie może zdarzyć się, aby jednocześnie $\sin 2x=0$ i $\cos 2x=0$ oraz nie może zdarzyć się, aby jednocześnie $\sin 3x=0$ i $\cos 3x=0$. Sprawdźmy przypadek, gdy jednocześnie $\cos 2x=0$ i $\cos 3x=0$.

Wówczas $\cos 2x=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $2x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Zatem $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

$\cos 3x=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $3x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Zatem $x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Okazuje się, że warunki $\cos 2x=0$ i $\cos 3x=0$ nie mogą zajść jednocześnie. Możemy wobec tego przyjąć, że $\cos 2x\ne 0$ i $\cos 3x\ne 0$.

Podzielmy stronami równanie $\sin 2x\cos 3x=-\sin 3x\cos 2x$ przez wyrażenie: $\cos 2x\cos 3x$.

Otrzymujemy: $\mathrm{tg}2x=-\mathrm{tg}3x$, czyli na podstawie nieparzystości funkcji tangens $\mathrm{tg}2x=\mathrm{tg}(-3x)$.

Korzystając z metody porównywania dla równań z tangensemmetoda porównywania dla równań z tangensemmetody porównywania dla równań z tangensem zapiszemy rozwiązania:

$2x=-3x+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$,

czyli

$5x=k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Odpowiedź: $x=\frac{k\pi }{5}$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Rozwiążemy równanie: ${\sin }^{2}x-(\sqrt{3}+1)\sin x\cos x+\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0$.

Rozwiązanie:

Rozważmy przypadek, gdy $\cos x=0$. Wóczas równanie ma postać ${\sin }^{2}x=0$, czyli $\sin x=0$.

Zauważmy, że funkcje $y=\sin x$ i $y=\cos x$ nie mogą jednocześnie przyjmować wartości $0$, czyli te argumenty $x$, dla których $\cos x=0$ nie spełniają równania.

Zatem możemy przyjąć, że $\cos x\ne 0$ i równanie ${\sin }^{2}x-(\sqrt{3}+1)\sin x\cos x+\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0$ możemy podzielić stronami przez ${\cos }^{2}x$. Otrzymujemy wówczas równanie postaci:

${\mathrm{tg}}^{2}x-(\sqrt{3}+1)\mathrm{tg}x+\sqrt{3}=0.$

Podstawmy: $t=\mathrm{tg}x$.

Wówczas otrzymujemy równanie kwadratowe:

$t^2-(\sqrt{3}+1)t+\sqrt{3}=0$.

Obliczamy:

$\Delta =(-(\sqrt{3}+1){)}^2-4\sqrt{3}=4+2\sqrt{3}-4\sqrt{3}=(\sqrt{3}-1{)}^2$.

Wobec tego: $\sqrt{\Delta }=\sqrt{3}-1$.

Rozwiązaniami równania $t^2-(\sqrt{3}+1)t+\sqrt{3}=0$ są:

$t=\sqrt{3}$ lub $t=1$,

czyli: $\mathrm{tg}x=\sqrt{3}$ lub $\mathrm{tg}x=1$.

Rozwiązaniami równania ${\sin }^{2}x-(\sqrt{3}+1)\sin x\cos x+\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0$ są zatem

$x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ lub $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

równanie $\mathrm{tg}x=\mathrm{tg}y$ jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy $x=y+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$