Załóżmy, że punkt $A$ jest wierzchołkiem kątów przyległych $KAL$ i $MAL$. Niech $\sphericalangle KAL=\alpha$ oraz $\sphericalangle MAL=\beta$.

R1IOnvTvt0GXF

Rysunek przedstawia ukośną prostą, na której wyróżniono trzy punkty. Od góry są to punkty: $M, A, K$. Punkt $A$ jest wierzchołkiem dwóch kątów: rozwartego kąta $\beta$ oraz ostrego kąta $\alpha$. Kąty te są przyległe, czyli ich suma to kąt półpełny oraz mają one jedno wspólne ramię. Na rysunku ramię to jest półprostą $AL$. Kąt $\beta$ jest rozpięty między półprostymi $AM$ oraz $AL$, a jego dwusieczna to półprosta $AQ$. Między półprostymi $AQ$ i $AL$ zaznaczono kąt $\frac{\beta }{2}$. Kąt $\alpha$ jest rozpięty między półprostymi $AL$ oraz $AK$, a jego dwusieczna to półprosta $AP$. Między półprostymi $AP$ i $AL$ zaznaczono kąt $\frac{\alpha }{2}$.

Z twierdzenia o kątach przyległych otrzymujemy równość $\alpha +\beta =180°$. Poprowadźmy dwusieczne $AP$ i $AQ$ kątów odpowiednio $KAL$ i $MAL$. Z definicji dwusieczniej wynika, że $\sphericalangle PAL=\frac{\alpha }{2}$ oraz $\sphericalangle LAQ=\frac{\beta }{2}$. Zatem kąt między dwusiecznymi $AP$ i $AQ$ jest równy $\sphericalangle PAQ=\sphericalangle PAL+\sphericalangle LAQ=\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2}=\frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{180°}{2}=90°$. Zatem dwusieczne te są prostopadłe. To kończy dowód.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R1P0z1e7O1SS5

Rysunek przedstawia trójkąt $ABC$. Przy każdym z wierzchołków zaznaczono kąty. Przy wierzchołku $C$ zaznaczono kąt $\gamma$, przez wierzchołek $B$ poprowadzono dwusieczną i zaznaczono przy nim dwa kąty $\beta$. Przez wierzchołek $A$ również poprowadzono dwusieczną i zaznaczono przy nim dwa kąty $\alpha$. Obie dwusieczne przecinają się wewnątrz trójkąta w punkcie $P$ pod rozwartym kątem $\phi$.

Z twierdzenia o sumie kątów trójkąta zastosowanego dla trójkatów $ABC$ i $ABP$ otrzymujemy $2\alpha +2\beta +\gamma =180°$ oraz $\alpha +\beta +\phi =180°$. Z pierwszej równości otrzymujemy $\alpha +\beta =90°-\frac{\gamma }{2}$. Stąd i z drugiej równości mamy więc $90°-\frac{\gamma }{2}+\phi =180°$, skąd $\phi =90°+\frac{\gamma }{2}>90°$. To kończy dowód.

Konstrukcja

R7WyCIvfelwZx

W prawej górnej części rysunku poglądowo narysowano odcinek $c$, poniżej odcinek $d_{\alpha }$, a poniżej kąt $\beta$. W zasadniczej części rysunku (lewa i środkowa część) przedstawiono ukośną prostą $k$, na której zaznaczono punkt $A$. Na prostej $k$ odłożono odcinek $AB$ o długości $c$, który wyróżniono kolorem. Następnie odłożono kąt $ABM$ o rozwartości $\beta$ i zakreślono łuk okręgu o środku w punkcie $A$ i promieniu równym $d_{\alpha }$ tak, że przeciął on półprostą $BM$ w punktach $D_1$ i $D_2$. Następnie odłożono kąt $D_{1}A{C}_1$ równy kątowi $D_{1}AB$ oraz kąt $D_{2}A{C}_2$ równy kątowi $D_{2}AB$. Na rysunku zaznaczono miary poszczególnych kątów. Kąty $C_{2}A{D}_2$ oraz $D_{2}AB$ mają miarę $\frac{{\alpha }_2}{2}$. Kąty $C_{1}A{D}_1$ oraz $D_{1}AB$ mają miarę $\frac{{\alpha }_1}{2}$. Na rysunku kolorem wyróżniono dwa odcinki o długości $d_{\alpha }$ wyznaczające kąt $D_{2}A{D}_1$. Trójkąty $AB{C}_1$ oraz $AB{C}_2$ to rozwiązania naszej konstrukcji.

Opis konstrukcji:

• rysujemy prostą $k$ i zaznaczamy na niej punkt $A$,

• na prostej $k$ odkładamy odcinek $AB$ o długości $c$,

• odkładamy kąt $ABM$ o rozwartości $\beta$,

• zakreślamy łuk o środku $A$ i promieniu $d_{\alpha }$ tak, żeby przeciął półprostą $BM$ w punktach $D_1$ i $D_2$,

• odkładamy kąt $D_{1}A{C}_1$ równy kątowi $D_{1}AB$ oraz kąt $D_{2}A{C}_2$ równy kątowi $D_{2}AB$,

• trójkąty $AB{C}_1$ oraz $AB{C}_2$ to rozwiązania naszej konstrukcji.

Uzasadnienie poprawności konstrukcji

Poprawność konstrukcji jest oczywista.

Analiza rozwiązań konstrukcji

Konstrukcja ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy łuk o środku $A$ i promieniu $d_{\alpha }$ ma z półprostą $BM$ co najmniej jeden punkt wspólny. Tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy $d_{\alpha }\ge c·\sin \beta$. Istotnie, wystarczy w tym celu zauważyć, że odcinek $d_{\alpha }$ musi być co najmniej równy odległości punktu $A$ od półprostej $BM$. Odległość ta jest długością przyprostokątnej $AN$ trójkąta prostokątnego $ABN$, którego wierzchołek $N$ leży na półprostej $BM$. Gdy $d_{\alpha }=\left|AN\right|$ lub $d_{\alpha }>c$, to konstrukcja ma tylko jedno rozwiązanie, czyli istnieje tylko jeden trójkąt o zadanych własnościach, a gdy $d_{\alpha }>\left|AN\right|$ i jednocześnie $d_{\alpha }<c$, to konstrukcja ma dwa rozwiązania. Taka sytuacja występuje na zamieszczonym rysunku.