Wykaż, że dwusieczne kątów przyległych są prostopadłe.
Załóżmy, że punkt jest wierzchołkiem kątów przyległych i . Niech oraz .
R1IOnvTvt0GXF
Z twierdzenia o kątach przyległych otrzymujemy równość . Poprowadźmy dwusieczne i kątów odpowiednio i . Z definicji dwusieczniej wynika, że oraz . Zatem kąt między dwusiecznymi i jest równy . Zatem dwusieczne te są prostopadłe. To kończy dowód.
3
Ćwiczenie 7
Wykaż, że jeżeli dwusieczne kątów i trójkąta przecinają się w punkcie , to kąt jest rozwarty.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
R1P0z1e7O1SS5
Z twierdzenia o sumie kątów trójkąta zastosowanego dla trójkatów i otrzymujemy oraz . Z pierwszej równości otrzymujemy . Stąd i z drugiej równości mamy więc , skąd . To kończy dowód.
3
Ćwiczenie 8
Skonstruuj trójkąt , mając następujące dane: odcinek o długości , odcinek o długości , gdzie to punkt przecięcia dwusiecznej kąta z bokiem oraz kąt .
Konstrukcja
R7WyCIvfelwZx
Opis konstrukcji:
rysujemy prostą i zaznaczamy na niej punkt ,
na prostej odkładamy odcinek o długości ,
odkładamy kąt o rozwartości ,
zakreślamy łuk o środku i promieniu tak, żeby przeciął półprostą w punktach i ,
odkładamy kąt równy kątowi oraz kąt równy kątowi ,
trójkąty oraz to rozwiązania naszej konstrukcji.
Uzasadnienie poprawności konstrukcji
Poprawność konstrukcji jest oczywista.
Analiza rozwiązań konstrukcji
Konstrukcja ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy łuk o środku i promieniu ma z półprostą co najmniej jeden punkt wspólny. Tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy . Istotnie, wystarczy w tym celu zauważyć, że odcinek musi być co najmniej równy odległości punktu od półprostej . Odległość ta jest długością przyprostokątnej trójkąta prostokątnego , którego wierzchołek leży na półprostej . Gdy lub , to konstrukcja ma tylko jedno rozwiązanie, czyli istnieje tylko jeden trójkąt o zadanych własnościach, a gdy i jednocześnie , to konstrukcja ma dwa rozwiązania. Taka sytuacja występuje na zamieszczonym rysunku.