Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

W ramach semestralnej klasyfikacji uczniów wychowawca umieścił na wykresie, dla każdego ucznia, liczbę opuszczonych godzin lekcyjnych (oś odciętych) oraz średnią jego ocen (oś rzędnych).

R2zVT8CR5baqg

Na rysunku widoczny jest układ współrzędnych narysowany czarnymi strzałkami, w którym na osi wartości zaznaczona został średnia ocen od trzy do cztery i pół co pół. Na osi poziomej skierowanej w prawo zaznaczono opuszczone godziny nauki od zera do stu. Na wykresie widoczne są niebieskie rozrzucone punkty, których wartość nieregularnie maleje wraz z ilością opuszczonych godzin nauki. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Przedstaw i zapisz krótką analizę ułożenia punktów, która rozstrzygnie, czy występuje korelacja pomiędzy tymi cechami oraz czy jest ona dodatnia czy ujemna. Porównaj swój opis z wzorcowym wyjaśnieniem.

Problem nie należy do łatwych. Na pierwszy rzut oka można nawet odnieść wrażenie, że korelacja pomiędzy tymi wielkościami nie występuje, choć na pewno nie jest dodatnia. Taki wniosek, bez analizy ilościowej, byłby w jakimś stopniu uprawniony. Przemawia za nim ta część chmury punktów, która dotyczy absencji poniżej 30‑40 godzin lekcyjnych (ok. 60% stanu klasy).
Daje się jednak zauważyć, że uczniowie o absencji od 40 godzin wzwyż mają nieco gorsze średnie ocen niż reszta. Dlatego najlepszym rozstrzygnięciem jawi się stwierdzenie, że pomiędzy liczbą opuszczonych godzin a średnią ocen występuje niewielka korelacja ujemna.

RiVL9yvZM7mUz

Prosta najlepszego dopasowania, uzyskana metodą najmniejszych kwadratów, potwierdza to rozstrzygnięcie. Ma ona nachylenie ujemne, ale jej współczynnik kierunkowy a jest równy minus cztery tysięczne na opuszczoną godzinę.

a = -0, 004 \frac{1}{godz}

Oznacza to, że opuszczenie dziesięciu godzin lekcyjnych w semestrze powoduje w tej klasie, średnio rzecz biorąc, obniżenie średniej ocen o 0,04.

Zainteresuj się, jak taka korelacja wygląda u Ciebie w klasie. To na pewno ciekawy temat na godzinę wychowawczą, nie sądzisz?

R9LvCP4kzwxBe

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

RdtvGxepLeCcE

Do wyznaczenia parametrów prostej: $y = a \cdot x + b$ wystarczą dwa punkty o współrzędnych $(x_{1}, y_{1})$ i $(x_{2}, y_{2})$ . Masz dwa punkty o współrzędnych: (2, 3) i (6, 11). Wyznacz parametry prostej przechodzącej przez te punkty.

Odpowiedź: $a$ = ............, $b$ = ............

Skoro prosta przechodzi przez te punkty, to prawdą jest, że:

y_{1} = a x_{1} + b

oraz

y_{2} = a x_{2} + b

Rozwiąż tak powstały układ równań względem a oraz b.

Rozwiązaniem układu równań jest:

$a = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ , $b = y - a \cdot x$ .

Podstawiając wartości liczbowe mamy: $a = \frac{11 - 3}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$ .

Dla wyznaczenia $b$ bierzemy dane dla pierwszego punktu: $b = y_{1} - a \cdot x_{1} = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = - 1$

Sprawdź, we własnym zakresie, że uwzględnienie drugiego punktu dałoby ten sam wynik.

Ćwiczenie 3

RqOa0LylvnLVw

Wykonałeś pomiary i uzyskałeś następujące wyniki w postaci wartości $(x, y)$ : {(1,0), (2,2), (3,7), (4,8)}.

Narysuj prostą, $y = a \cdot x + b$ , która wizualnie najlepiej pasuje do tych wyników.

Na tej podstawie rozstrzygnij:
a) Czy wartość współczynnika $a$ jest większa od 1? {#TAK} / {NIE},
b) Współczynnik $b$ jest {dodatni} / {#ujemny}.

Wykres z punktami i dopasowaną wizualnie prostą jest przedstawiony poniżej. Prosta została doprowadzona do punktu jej przecięcia z osią OY.

R1eyaCEXWzNqF

Na ilustracji widoczny jest prostokątny układ współrzędnych narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa, skierowana w górę, opisana jest małą literą y. Na tej osi zaznaczono wartości od minus cztery do osiem co dwa. Oś pozioma, skierowana w prawo, opisana jest jako mała litera x. Na tej osi zaznaczono wartości od zera do czterech, co jeden. Na wykresie widoczne są cztery czarne punkty, których współrzędne wynoszą: mała litera x równa się jeden i mała litera y równa się zero, mała litera x równa się dwa i mała litera y równa się dwa, mała litera x równa się trzy i mała litera y równa się siedem i mała litera x równa się cztery i mała litera y równa się osiem. Pomiędzy punktami przechodzi rosnąca funkcja liniowa w postaci czerwonej linii. Początek funkcji widoczny jest w punkcie mała litera x równa się zero i mała litera y równa się minus cztery. Funkcja nie przechodzi przez żaden z punktów. Jest to najlepiej dopasowana funkcja liniowa do punktów na wykresie. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

a) Wartość współczynnika $a$ musi być większa od 1, bo w chmurze punktów $x$ zmienia się od 1 do 4, a $y$ od 0 do 8.
Metodą najmniejszych kwadratów otrzymuje się wartość $a = 2,90$ .

b) Wartość współczynnika $b$ musi być mniejsza od zera, gdyż punkt przecięcia prostej z osią OY przypada na rzędną równą -4.
Wyznaczona metodą najmniejszych kwadratów wartość $b = -3$ .

Ćwiczenie 4

R1ZU43Gc2BKLt

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

R11sGBfhG5JOr

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

R1LieDKwp1G0G

Rozpatrujemy sytuację opisaną w poprzednim zadaniu. Zdarzyło się, że skoczkowie uzyskali tę samą odległość w drugim skoku, a zdobyli różne ilości punktów.
Wskaż prawdziwe opinie na ten temat.

Opisana sytuacja jest niemożliwa w rzeczywistości; przedstawione dane musiały zostać specjalnie spreparowane.
Przy konstrukcji wykresów funkcji obowiązuje zasada, że na jednej pionowej linii nie można stawiać więcej niż jednego punktu.
Opisana sytuacja nie powinna więc być przedstawiana na wykresie, gdyż jest ona przykładem funkcji.
Niezależnie jednak od tego, wynik badania zależności pomiędzy cechami układu nie musi mieć postaci funkcji.
Opisana sytuacja przeczy istnieniu korelacji pomiędzy długością skoku a łączną punktacją.
Opisana sytuacja potwierdza, że na łączną punktację składa się więcej czynników, niż tylko wynik skoku w drugiej serii.

Ćwiczenie 6

Zasady punktacji skoków obowiązujące na skoczniach takich, jak Wielka Krokiew przewidują, że za każdy metr długości skoku (ponad umowny „punkt zerowy”) zawodnicy otrzymują dokładnie 1,8 pk (punktu konkursowego) do łącznej punktacji.
Stwierdziliśmy, że dwie rozpatrywane cechy zawodów: d - długość skoku w drugiej serii i p - łączna punktacja w zawodach są ze sobą skorelowane dodatnio. Ustaliliśmy także, że gdy d rośnie o 1 m, to średnio rzecz biorąc rośnie także p, o około 3,4 pk. Jest to więcej, niż owe 1,8 pk za każdy metr.

Przygotuj i zapisz kilkuzdaniową wypowiedź, w której w sposób umotywowany rozstrzygniesz, czy te dwie informacje są ze sobą sprzeczne (wykluczają się wzajemnie), czy mogą być spójne (można je ze sobą pogodzić).

Przytoczone informacje są ze sobą powiązane i spójne. Wynika to z następującego rozumowania.

1. Zasady punktacji przewidują, że zawodnik uzyskuje punkty konkursowe za różne cechy oddanych skoków, m. in. za długości dIndeks dolny 1 i dIndeks dolny 2 każdego skoku oraz za styl, w jakim każdy skok został oddany.

2. Punkty z tych źródeł są przyznawane niezależnie - jest to element obiektywizmu w sporcie. Sędziowie powinni przyznawać noty za styl niezależnie od długości oddanego skoku. A długość pierwszego skoku nie powinna bezpośrednio wpływać na wynik pomiaru długości drugiego skoku.

3. Nie wyklucza to istnienia korelacji pomiędzy dowolną parą tych wyników. Przykładowo, rozsądne jest przypuszczenie, że długości dIndeks dolny 1 i dIndeks dolny 2 są skorelowane dodatnio - im zawodnik oddał dłuższy skok w pierwszej serii, tym średnio rzecz biorąc oddał też dłuższy skok w drugiej. Przecież na długość skoku ma wpływ forma zawodnika - ta rzadko zmienia się od serii do serii.

4. W efekcie, gdy zawodnik zdobywa ponadprzeciętną liczbę punktów za drugi skok, to możemy się spodziewać, że za pierwszy skok też zdobył ich więcej, niż średnio. Dlatego właśnie z każdym dodatkowym metrem długości drugiego skoku wiąże się więcej niż nominalne 1,8 pk w punktacji łącznej.

5. Czy mogłoby być odwrotnie? Tak. Na przykład w sytuacji, gdyby długość skoku wykazywała ujemne skorelowanie z notą za styl. Wtedy za każdy dodatkowy metr długości skoku zawodnik powinien mieć, średnio rzecz biorąc, mniej niż 1,8 pk w łącznej punktacji.

Wyzwania do dalszych Twoich dociekań, a może wspólnych z koleżanką czy kolegą:
1. W konkursie są dwie serie skoków. Współczynnik kierunkowy prostej najlepszego dopasowania jest mniejszy niż 2 x 1,8 pk/m. Czy to świadczy o ujemnej korelacji not za styl z długością skoku?
2. Wyszukaj w internecie szczegółowe wyniki tego właśnie lub innego konkursu skoków i zbadaj korelację pomiędzy długością skoku i notami za styl. Jak można byłoby uzasadnić ewentualną korelację ujemną? Czy taka ujemna korelacja zdarza się częściej u pań czy u panów?

Ćwiczenie 7

W swoim ogrodzie podlewam rośliny deszczówką, która zapełnia zbiornik o pojemności 1000 l. Po długim okresie suszy, przy zerowym stanie wodowskazu w beczce, zapowiedziano do dwóch tygodni deszczowej pogody. Przez ponad tydzień sprawdzałem rano stan wodowskazu - wyniki zapisałem w tabelce.

czas pomiaru t (dni)	stan wodowskazu V (litry)
0	0
1	160
2	260
3	390
4	500
5	570
6	640
7	700
8	750

Zamiarem moim jest przewidzenie, czy do końca zapowiadanej deszczowej pogody mogę liczyć na napełnienie beczki. W rodzinie zdania są podzielone:

Tabela pokazuje regularny wzrost stopnia napełnienia beczki. Trzeba więc zrobić wykres zależności V(t), dopasować prostą do punktów pomiarowych i zobaczyć, w jakim - mniej więcej - dniu osiągnie ona wartość 1000 l.
Nie trzeba rysować żadnego wykresu - wystarczy ułożyć proporcję. Skoro przez osiem dni napełniło się trzy czwarte beczki, to pozostała jedna czwarta beczki napełni się po ... No właśnie - to trzeba obliczyć i będzie wiadomo, po jakim czasie - mniej więcej - będzie pełna beczka.
Ja sobie narysowałem, gdzieś na boku, ten wykres. Żadna z tych propozycji mi się nie podoba, ale nie wiem, co zaproponować w zamian.

Doradź mi, jak mam wykorzystać zebrane dane. Narysuj wykres i odnieś się do tych propozycji. Zapisz swoje rady i uwagi w przygotowanym polu i porównaj z wzorcowym wyjaśnieniem.

RryCsfUqe5yAc

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Uczniowie w grupach wykonali pomiar kąta załamania światła $β$ dla różnych wartości kąta padania światła $α$ na granicę pomiędzy ośrodkami. Zebrane wyniki pomiarów całej klasy przedstawia wykres. Do punktów pomiarowych dopasowano prostą, metodą najmniejszych kwadratów.

R1POddALgW3Qb

Na ilustracji widoczny jest wykres przedstawiający kąt załamania światła małą grecka litera beta w funkcji kąta padania mała grecka litera alfa promienia padającego na granicę dwóch ośrodków. Kąty wyrażone są w stopniach. Na osi wartości zaznaczono kąt załamania mała grecka litera beta i w nawiasie kwadratowym napis stopnie. Na osi zaznaczono wartości od zera do czterdziestu co dziesięć. Oś pozioma skierowana jest w prawo i opisuje kąta padania promienia na granicą dwóch ośrodków mała grecka litera alfa i w nawiasie kwadratowym napis stopnie. Na wykresie widoczne są zielone punkty, które są rozrzucone ale układają się w linową funkcję rosnącą. Na wykresie widoczna jest również rosnąca funkcja liniowa dopasowana do danych na wykresie. Współczynnik kierunkowy funkcji wynosi około siedmiu dziesiątych. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

RlbWVvLhnPnPi

Uzupełnij ocenę przebiegu oraz interpretację tego wykresu. Ułożenie punktów pomiarowych wskazuje na silną dodatnią korelację słabą dodatnią korelację brak korelacji słabą ujemną korelację silną ujemną korelację pomiędzy

β

α

.
To ułożenie pozwala przewidywać, że zależność pomiędzy tymi kątami będzie miała postać funkcji proporcjonalnej

\frac{β}{α} = const

funkcji liniowej

β (α)= a⋅x +b

taką, jak w prawie Snelliusa:

\frac{sin α}{sin β} = n

funkcji nieliniowej o trudnym do określenia równaniu.

Uzupełnij ocenę przebiegu oraz interpretację tego wykresu.

Ułożenie punktów pomiarowych wskazuje na {#silną dodatnią korelację} {słabą dodatnią korelację} {brak korelacji} {słabą ujemną korelację} {silną ujemną korelację} pomiędzy $β$ i $α$ .
To ułożenie pozwala przewidywać, że zależność pomiędzy tymi kątami będzie miała postać {funkcji proporcjonalnej $\frac{β}{α} = const$ }
{funkcji liniowej $β (α)= a⋅x +b$ }
{taką, jak w prawie Snelliusa: $\frac{sin α}{sin β} = n$ }
{#funkcji nieliniowej o trudnym do określenia równaniu}.

R1DXxQouonazH

Ćwiczenie 8

Film samouczek

Dla nauczyciela