Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Funkcja wykładnicza, której wykres przedstawiono na poniższym rysunku, wyraża się wzorem:

RYtOlDks18Bf3

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osia Y od minus jeden do pięciu. W układzie zaznaczono wykres funckji y=fx . Jest to krzywa wykładnicza rosnąca, która unosi się dla argumentów od minus nieskończoności lekko ponad oś X a następnie dla co raz większych argumentów przyjmuje co raz większe wartości tak, że wykres przechodzi przez punkty 0,1 oraz 2,2.

R1SGe3JVlSdvY

Ćwiczenie 2

RTcuUEgapkKtt

Połącz w pary wzór funkcji wykładniczej ze współrzędnymi punktu, który należy do jej wykresu.

$f (x) = {(\sqrt{2} + 1)}^{x}$
$f (x) = {(\sqrt{2})}^{x}$
$f (x) = 2^{x}$
$f (x) = {(\sqrt{2} - 1)}^{x}$

Ćwiczenie 3

RSqbpEEtzG3n2

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem. Własności funkcji określonej wzorem

f (x) = {(\sqrt{3})}^{x}

: Możliwe odpowiedzi: 1. dla argumentów mniejszych od

1

funkcja przyjmuje wartości mniejsze od

3

, 2. dla argumentów większych od

2

funkcja przyjmuje wartości większe od

9

, 3. do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych

(- 3, \frac{\sqrt{3}}{9})

, 4. dla argumentów większych od

2

funkcja przyjmuje wartości większe od

2

, 5. do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych

(- \frac{1}{2}, \sqrt{3})

, 6. dla argumentów mniejszych od

4

funkcja przyjmuje wartości mniejsze od

9

Własności funkcji określonej wzorem

f (x) = 3^{x}

: Możliwe odpowiedzi: 1. dla argumentów mniejszych od

1

funkcja przyjmuje wartości mniejsze od

3

, 2. dla argumentów większych od

2

funkcja przyjmuje wartości większe od

9

, 3. do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych

(- 3, \frac{\sqrt{3}}{9})

, 4. dla argumentów większych od

2

funkcja przyjmuje wartości większe od

2

, 5. do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych

(- \frac{1}{2}, \sqrt{3})

, 6. dla argumentów mniejszych od

4

funkcja przyjmuje wartości mniejsze od

9

Pogrupuj elementy, zgodnie z podanym opisem.

dla argumentów mniejszych od <math><mn>4</mn></math> funkcja przyjmuje wartości mniejsze od <math><mn>9</mn></math>, dla argumentów większych od <math><mn>2</mn></math> funkcja przyjmuje wartości większe od <math><mn>9</mn></math>, do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych <span aria-label="nawias, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, przecinek, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu" role="math"><math><mfenced><mrow><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>,</mo><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>3</mn></mfrac></mrow></mfenced></math>, do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych <math><mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>9</mn></mfrac></mrow></mfenced></math>, dla argumentów mniejszych od <math><mn>1</mn></math> funkcja przyjmuje wartości mniejsze od <math><mn>3</mn></math>, dla argumentów większych od <math><mn>2</mn></math> funkcja przyjmuje wartości większe od <math><mn>2</mn></math>

Własności funkcji wykładniczej określonej wzorem $f (x) = {(\sqrt{3})}^{x}$ :
Własności funkcji wykładniczej określonej wzorem $f (x) = 3^{x}$ :

Ćwiczenie 4

R5DaPpo6hfoE0

Zaznacz zdania, które są prawdziwe.

Funkcja określona wzorem $f (x) = {(\frac{1}{\sqrt{3} - 1})}^{x}$ jest rosnąca.
Dla $a > 0$ funkcja określona wzorem $f (x) = a^{x}$ jest rosnąca.
Do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = {(\sqrt{5})}^{x}$ należy punkt o współrzędnych $(3, \sqrt{5})$ .
Do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = {(\frac{5}{2})}^{x}$ należy punkt o współrzędnych $(- 3, \frac{8}{125})$ .

Ćwiczenie 5

R1X1NregfXG4A

Wstaw w tekst odpowiednie liczby.

$1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\sqrt{2} - 2$ , $2$ , $3$ , mniejsze, większe

Funkcja określona wzorem $f (x) = {(\sqrt{6})}^{x}$ dla argumentów mniejszych od ................ przyjmuje wartości mniejsze od $6$ .
Funkcja określona wzorem $f (x) = 5^{x}$ przyjmuje wartości ................ od $1$ dla argumentów mniejszych od $0$ .
Wartość funkcji $f (x) = {(\sqrt{2} + 2)}^{x}$ dla argumentu $(- 1)$ wynosi .................

Ćwiczenie 6

RV9sRjRYYl5No

Uzupełnij tekst odpowiednimi liczbami.

Dana jest funkcja określona wzorem $f (x) = {(\sqrt{5})}^{x}$ .
Wówczas:
$f (2) =$ ............
$f (4) =$ ............
$f (0) =$ ............
$f (8) =$ ............

Ćwiczenie 7

Wyznacz, dla jakich wartości parametru $m$ funkcja wykładnicza określona wzorem $f (x) = {(6 m^{2} + m)}^{x}$ jest rosnąca.

Funkcja wykładnicza określona wzorem $f (x) = a^{x}$ jest rosnąca, gdy $a > 1$ .

Ponieważ $a = 6 m^{2} + m$ , zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy nierówność:

$6 m^{2} + m > 1$ .

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór $m \in (- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$ , wobec tego funkcja jest rosnąca dla wszystkich wartości parametru $m$ , należących do tego zbioru.

Ćwiczenie 8

Określmy funkcję wykładniczą $f$ wzorem $f (x) = {(m - 1)}^{x}$ .

Wyznacz wartość parametru $m$ , jeżeli do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(2, 5)$ .

Dla funkcji wykładniczej określonej wzorem $f (x) = a^{x}$ podstawa $a > 0$ , zatem $m - 1 > 0$ , czyli $m > 1$ .

Ponieważ punkt o współrzędnych $(2, 5)$ należy do wykresu tej funkcji, zatem do wyznaczenia wartości $m$ rozwiązujemy równanie:

${(m - 1)}^{2} = 5$ .

Wobec tego $m - 1 = \sqrt{5}$ lub $m - 1 = - \sqrt{5}$ .

Rozwiązaniami równań są odpowiednio liczby $m = \sqrt{5} + 1$ oraz $m = - \sqrt{5} + 1$ .

Z dziedziny otrzymaliśmy, że $m > 1$ , zatem $m = \sqrt{5} + 1$ .

Aplet

Dla nauczyciela