Niech $a\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ oznacza długość krawędzi podstawy rozważanego graniastosłupa, $h\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ – wysokość tego graniastosłupa. Długość przekątnej graniastosłupa wyraża się wzorem $d=\sqrt{2a^2+h^2}$, a jego objętość $V=a^{2}h$. Z treści zadania mamy $a^{2}h=100$, stąd otrzymujemy, że $a^2=\frac{100}{h}$. Podstawiając zależność $a^2=\frac{100}{h}$ do równania $2a^2+h^2=66$ otrzymujemy równanie

$h^2+\frac{200}{h}=66$,

które jest równoważne równaniu $h^3-66h+200=0$. Zauważamy, że $\left(h-4\right)\left(h^2+4h-50\right)=0$, skąd otrzymujemy następujące rozwiązania $h=4\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$, $h=3\sqrt{6}-2\notin {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$, $h=-2-3\sqrt{6}<0$. Zatem $a=5$. Pole powierzchni całkowitej jest równe $P_c=2\cdot 25+4\cdot 4\cdot 5=130$.

RNkJPV1bbSozC

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny, o krawędzi podstawy równej a i wysokości równej h. Zaznaczono także przekątną podstawy, którą oznaczono d, oraz przekątną ściany bocznej, oznaczoną p.

Ponieważ $d=a\sqrt{2}$, to $a=\frac{\sqrt{2}}{2}d$

Mamy:

$h^2=p^2-a^2$

$h^2=p^2-\frac{1}{2}{d}^2$

$h=\sqrt{p^2-\frac{1}{2}{d}^2}$

Zatem:

$P_c=2·\frac{1}{2}{d}^2+4·\frac{\sqrt{2}}{2}d\sqrt{p^2-\frac{1}{2}{d}^2}$

$P_c=d^2+2\sqrt{2}d\sqrt{\frac{2p^2-d^2}{2}}$

$P_c=d^2+2d\sqrt{2p^2-d^2}$

Rozważmy graniastosłup prawidłowy czworokątny przedstawiony na poniższym rysunku.

RciaQaYvfJu1i

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny o objętości równej 45 i polu całkowitym równym siedemdziesiąt osiem. Krawędź podstawy graniastosłupa oznaczono a, natomiast wysokość oznaczono h.

Z warunków zadania mamy:

$45=a^{2}h$

$ah=\frac{45}{a}$

$2a^2+4ah=78$

$2a^2+4·\frac{45}{a}-78=0$

$2a^3-78a+180=0$

$\left(a-3\right)\left(2a^2+6a-60\right)=0$

$a=3\vee a=\frac{-3-\sqrt{129}}{2}\notin \mathbb{Z}\vee a=\frac{-3+\sqrt{129}}{2}\notin \mathbb{Z}$

Zatem $a=3$ oraz $h=\frac{45}{9}=5$.

Rozważmy graniastosłup prawidłowy czworokątny przedstawiony na poniższym rysunku.

RmsmeCeARPd5M

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny o podstawie dolnej $ABCD$, oraz górnej $EFGH$. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek E, nad wierzchołkiem B, wierzchołek F i tak dalej. Przekątną $AG$ graniastosłupa oznaczono d, natomiast przekątna $AC$ ma długość $a\sqrt{2}$. W graniastosłupie zaznaczono trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne stanowią przekątna $AC$ podstawy, krawędź $GC$, natomiast przeciwprostokątną stanowi przekątna d graniastosłupa. $\angle CAG$ w trójkącie oznaczono alfa.

Z trójkąta $ACG$ mamy $\alpha =30°$

Ponieważ $\sin \alpha =\frac{1}{2}=\frac{h}{d}$, to $d=2h$

Ponieważ $\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2h}$, to $a=\frac{h\sqrt{6}}{2}$

Zatem:

$a^{2}h=12000$

$\frac{3}{2}{h}^3=12000$

$h^3=8000$

$h=20$

$a=10\sqrt{6}$

$P_c=2a^2+4ah=1200+800\sqrt{6}$.