Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RjUQ1Ws6Vav7L11

Ćwiczenie 1

Każda z poniższych funkcji jest różniczkowalna w swojej dziedzinie. Połącz w pary nazwę z funkcją. Pochodna funkcji

f (x) = \sin^{4} x

. Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = \frac{- 1}{x^{2}}

, 2.

f (x) = \frac{x + 1}{2 \sqrt{\frac{1}{2} x^{2} + x}}

, 3.

f (x) = 4 \sin^{3} x \cos x

, 4.

f (x) = 100 (4 x^{3} + 2) {(x^{4} + 2 x - 1)}^{99}

, 5.

f (x) = \cos x

, 6.

f (x) = 4 x^{3} + 2

, 7.

f (x) = \frac{- 1}{x}

, 8.

f (x) = x + 1

Pochodna funkcji

f (x) = {(x^{4} + 2 x - 1)}^{100}

. Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = \frac{- 1}{x^{2}}

, 2.

f (x) = \frac{x + 1}{2 \sqrt{\frac{1}{2} x^{2} + x}}

, 3.

f (x) = 4 \sin^{3} x \cos x

, 4.

f (x) = 100 (4 x^{3} + 2) {(x^{4} + 2 x - 1)}^{99}

, 5.

f (x) = \cos x

, 6.

f (x) = 4 x^{3} + 2

, 7.

f (x) = \frac{- 1}{x}

, 8.

f (x) = x + 1

Pochodna funkcji

f (x) = \sqrt{\frac{1}{2} x^{2} + x}

. Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = \frac{- 1}{x^{2}}

, 2.

f (x) = \frac{x + 1}{2 \sqrt{\frac{1}{2} x^{2} + x}}

, 3.

f (x) = 4 \sin^{3} x \cos x

, 4.

f (x) = 100 (4 x^{3} + 2) {(x^{4} + 2 x - 1)}^{99}

, 5.

f (x) = \cos x

, 6.

f (x) = 4 x^{3} + 2

, 7.

f (x) = \frac{- 1}{x}

, 8.

f (x) = x + 1

Pochodna funkcji

f (x) = \ln \frac{1}{x}

. Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = \frac{- 1}{x^{2}}

, 2.

f (x) = \frac{x + 1}{2 \sqrt{\frac{1}{2} x^{2} + x}}

, 3.

f (x) = 4 \sin^{3} x \cos x

, 4.

f (x) = 100 (4 x^{3} + 2) {(x^{4} + 2 x - 1)}^{99}

, 5.

f (x) = \cos x

, 6.

f (x) = 4 x^{3} + 2

, 7.

f (x) = \frac{- 1}{x}

, 8.

f (x) = x + 1

Pochodna funkcji wewnętrznej funkcji

f (x) = \sin^{4} x

. Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = \frac{- 1}{x^{2}}

, 2.

f (x) = \frac{x + 1}{2 \sqrt{\frac{1}{2} x^{2} + x}}

, 3.

f (x) = 4 \sin^{3} x \cos x

, 4.

f (x) = 100 (4 x^{3} + 2) {(x^{4} + 2 x - 1)}^{99}

, 5.

f (x) = \cos x

, 6.

f (x) = 4 x^{3} + 2

, 7.

f (x) = \frac{- 1}{x}

, 8.

f (x) = x + 1

Pochodna funkcji wewnętrznej funkcji

f (x) = {(x^{4} + 2 x - 1)}^{100}

. Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = \frac{- 1}{x^{2}}

, 2.

f (x) = \frac{x + 1}{2 \sqrt{\frac{1}{2} x^{2} + x}}

, 3.

f (x) = 4 \sin^{3} x \cos x

, 4.

f (x) = 100 (4 x^{3} + 2) {(x^{4} + 2 x - 1)}^{99}

, 5.

f (x) = \cos x

, 6.

f (x) = 4 x^{3} + 2

, 7.

f (x) = \frac{- 1}{x}

, 8.

f (x) = x + 1

Pochodna funkcji wewnętrznej funkcji

f (x) = \sqrt{\frac{1}{2} x^{2} + x}

. Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = \frac{- 1}{x^{2}}

, 2.

f (x) = \frac{x + 1}{2 \sqrt{\frac{1}{2} x^{2} + x}}

, 3.

f (x) = 4 \sin^{3} x \cos x

, 4.

f (x) = 100 (4 x^{3} + 2) {(x^{4} + 2 x - 1)}^{99}

, 5.

f (x) = \cos x

, 6.

f (x) = 4 x^{3} + 2

, 7.

f (x) = \frac{- 1}{x}

, 8.

f (x) = x + 1

Pochodna funkcji wewnętrznej funkcji

f (x) = \ln \frac{1}{x}

. Możliwe odpowiedzi: 1.

f (x) = \frac{- 1}{x^{2}}

, 2.

f (x) = \frac{x + 1}{2 \sqrt{\frac{1}{2} x^{2} + x}}

, 3.

f (x) = 4 \sin^{3} x \cos x

, 4.

f (x) = 100 (4 x^{3} + 2) {(x^{4} + 2 x - 1)}^{99}

, 5.

f (x) = \cos x

, 6.

f (x) = 4 x^{3} + 2

, 7.

f (x) = \frac{- 1}{x}

, 8.

f (x) = x + 1

Każda z poniższych funkcji jest różniczkowalna w swojej dziedzinie. Połącz w pary nazwę z funkcją.

Pochodna funkcji $f (x) = \sin^{4} x$ .
Pochodna funkcji $f (x) = {(x^{4} + 2 x - 1)}^{100}$ .
Pochodna funkcji $f (x) = \sqrt{\frac{1}{2} x^{2} + x}$ .
Pochodna funkcji $f (x) = \ln \frac{1}{x}$ .
Pochodna funkcji wewnętrznej funkcji $f (x) = \sin^{4} x$ .
Pochodna funkcji wewnętrznej funkcji $f (x) = {(x^{4} + 2 x - 1)}^{100}$ .
Pochodna funkcji wewnętrznej funkcji $f (x) = \sqrt{\frac{1}{2} x^{2} + x}$ .
Pochodna funkcji wewnętrznej funkcji $f (x) = \ln \frac{1}{x}$ .

R82PIih74jClm11

Ćwiczenie 2

Łączenie par. Zaznacz czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.. Funkcja

f (x) = \cos^{2} (2 x^{2} + 1)

jest złożeniem trzech funkcji:

u (x) = 2 x^{2} + 1

v (u) = \cos u

w (v) = v^{2}

. Stąd jej pochodna jest równa

f' (x) = - 8 x^{2} \cos^{2} (2 x^{2} + 1) \sin (2 x^{2} + 1)

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja

f (x) = x {(2 x + 9)}^{50}

jest złożeniem trzech funkcji:

u (x) = 2 x + 9

v (u) = u^{50}

w (v) = v \cdot x

. Stąd jej pochodna jest równa

f' (x) = (102 x + 9) {(2 x + 9)}^{49}

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja

f (x) = \ln^{2} (3 x^{2} + 2)

jest złożeniem trzech funkcji:

u (x) = 3 x^{2} + 2

v (u) = \ln u

w (v) = v^{2}

. Stąd jej pochodna jest równa

f' (x) = \frac{12 x}{3 x^{2} + 2} \ln (3 x^{2} + 2)

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja

f (x) = \sin (\ln (x^{4} + 1))

jest złożeniem trzech funkcji:

u (x) = x^{4} + 1

v (u) = \ln u

w (v) = \sin v

. Stąd jej pochodna jest równa

f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1} \cos (\ln (x^{4} + 1))

.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Zaznacz czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.

Zdanie	Prawda	Fałsz
Funkcja $f (x) = \cos^{2} (2 x^{2} + 1)$ jest złożeniem trzech funkcji: $u (x) = 2 x^{2} + 1$ , $v (u) = \cos u$ , $w (v) = v^{2}$ . Stąd jej pochodna jest równa $f' (x) = - 8 x^{2} \cos^{2} (2 x^{2} + 1) \sin (2 x^{2} + 1)$ .	□	□
Funkcja $f (x) = x {(2 x + 9)}^{50}$ jest złożeniem trzech funkcji: $u (x) = 2 x + 9$ , $v (u) = u^{50}$ , $w (v) = v \cdot x$ . Stąd jej pochodna jest równa $f' (x) = (102 x + 9) {(2 x + 9)}^{49}$ .	□	□
Funkcja $f (x) = \ln^{2} (3 x^{2} + 2)$ jest złożeniem trzech funkcji: $u (x) = 3 x^{2} + 2$ , $v (u) = \ln u$ , $w (v) = v^{2}$ . Stąd jej pochodna jest równa $f' (x) = \frac{12 x}{3 x^{2} + 2} \ln (3 x^{2} + 2)$ .	□	□
Funkcja $f (x) = \sin (\ln (x^{4} + 1))$ jest złożeniem trzech funkcji: $u (x) = x^{4} + 1$ , $v (u) = \ln u$ , $w (v) = \sin v$ . Stąd jej pochodna jest równa $f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1} \cos (\ln (x^{4} + 1))$ .	□	□

Rm8ifSGpOI3g01

Ćwiczenie 3

Dostępne opcje do wyboru:

2 x {(1 - 4 x + x^{2})}^{30}

30 x^{29}

, o pochodnej funkcji złożonej, o pochodnej funkcji zewnętrzną,

ℝ

h (x) = {(1 - 4 x + x^{2})}^{30}

g' (f (x_{0}))

h (x) = 30 {(1 - 4 x + x^{2})}^{29}

30 x^{30}

{(1 - 4 x + x^{2})}^{29}

, o pochodnej niewłaściwej,

h' (x) = g' (f (x)) f' (x)

g' (x_{0})

. Polecenie: Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwy wyraz lub wzór. Znajdziemy wzór określający pochodną funkcji luka do uzupełnienia . Funkcja

h

jest złożeniem funkcji

f (x) = 1 - 4 x + x^{2}

, która jest funkcją wewnętrzną funkcji

h

oraz funkcji

g (x) = x^{30}

, która jest funkcją zewnętrzną funkcji

h

. Każda z tych funkcji jest różniczkowalna w zbiorze luka do uzupełnienia , wobec tego w myśl twierdzenia luka do uzupełnienia pochodna funkcji

h

jest określona wzorem luka do uzupełnienia . Ponieważ

g' (x) =

luka do uzupełnienia oraz

f' (x) = 2 x - 4

, więc

h' (x) = 30 (2 x - 4) \cdot

luka do uzupełnienia .

Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwy wyraz lub wzór.

$30 x^{30}$ , $g' (x_{0})$ , o pochodnej funkcji złożonej, ${(1 - 4 x + x^{2})}^{29}$ , $h' (x) = g' (f (x)) f' (x)$ , $30 x^{29}$ , $2 x {(1 - 4 x + x^{2})}^{30}$ , o pochodnej niewłaściwej, $h (x) = 30 {(1 - 4 x + x^{2})}^{29}$ , o pochodnej funkcji zewnętrzną, $h (x) = {(1 - 4 x + x^{2})}^{30}$ , $g' (f (x_{0}))$ , $ℝ$

Znajdziemy wzór określający pochodną funkcji . Funkcja $h$ jest złożeniem funkcji $f (x) = 1 - 4 x + x^{2}$ , która jest funkcją wewnętrzną funkcji $h$ oraz funkcji $g (x) = x^{30}$ , która jest funkcją zewnętrzną funkcji $h$ . Każda z tych funkcji jest różniczkowalna w zbiorze , wobec tego w myśl twierdzenia pochodna funkcji $h$ jest określona wzorem . Ponieważ $g' (x) =$ oraz $f' (x) = 2 x - 4$ , więc $h' (x) = 30 (2 x - 4) \cdot$ .

Ćwiczenie 4

Wyznacz pochodną funkcji określonej wzorem $f (x) = \cos^{3} 2 x$ .

Funkcja $f (x) = \cos^{3} 2 x$ jest złożeniem trzech funkcji: $u (x) = 2 x$ , $v (u) = \cos u$ , $w (v) = v^{3}$ .

Stąd jej pochodna jest równa $f' (x) = - 6 \sin 2 x \cos 2 x$ .

Ćwiczenie 5

Wyznacz pochodną funkcji określonej wzorem $f (x) = (2 x^{2} + 1) \sin 3 x$ .

Zgodnie z regułą wyznaczania pochodnej funkcji złożonej oraz pochodnej iloczynu dwóch funkcji mamy

$f' (x) = \underset{(2 x^{2} + 1)'}{\underset{⏟}{4 x}} \cdot \sin 3 x + (2 x^{2} + 1) \cdot \underset{(\sin 3 x)'}{\underset{⏟}{3 \cdot \cos 3 x}} = 4 x \sin 3 x + 3 (2 x^{2} + 1) \cos 3 x$ .

Ćwiczenie 6

Wyznacz pochodną funkcji określonej wzorem $f (x) = lntg \frac{x}{6}$ dla $\frac{x}{6} \neq \frac{π}{2} + k π$ dla każdego całkowitego $k$ oraz $tg \frac{x}{6} > 0$ .

$f' (x) = \underset{(\frac{x}{6})'}{\underset{⏟}{\frac{1}{6}}} \cdot \underset{(tg \frac{x}{6})'}{\underset{⏟}{\overset{pochodna funkcji wewnętrznej}{\overset{⏞}{\frac{1}{\cos^{2} \frac{x}{6}}}}}} \cdot \underset{(\ln tg \frac{x}{6})'}{\underset{⏟}{\overset{pochodna funkcji zewnętrznej}{\overset{⏞}{\frac{1}{tg \frac{x}{6}}}}}} = \frac{1}{3 \sin \frac{x}{3}}$ .

Ćwiczenie 7

Wyznacz pochodną funkcji określonej wzorem $f (x) = tg (\sin x)$ dla $\sin x \neq \frac{π}{2} + k π$ dla każdego całkowitego $k$ .

$f' (x) = \overset{pochodna funkcji wewnętrznej}{\overset{⏞}{\underset{(\sin x)'}{\underset{⏟}{\cos x}}}} \cdot \underset{(tg (\sin x))'}{\overset{pochodna funkcji zewnętrznej}{\overset{⏞}{\underset{⏟}{\frac{1}{\cos^{2} (\sin x)}}}}} = \frac{\cos x}{\cos^{2} (\sin x)}$ .

Ćwiczenie 8

Wyznacz pochodną funkcji określonej wzorem $f (x) = \sin (x^{2} \ln x)$ dla $x > 0$ .

$f' (x) = \underset{(x^{2} \ln x)'}{\underset{⏟}{\overset{pochodna funkcji wewnętrznej}{\overset{⏞}{(2 x \ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x})}}}} \cdot \underset{(\sin (x^{2} \ln x))'}{\overset{pochodna funkcji zewnętrznej}{\overset{⏞}{\underset{⏟}{\cos (x^{2} \ln x)}}}} =$

$= x (2 \ln x + 1) \cos (x^{2} \ln x)$ .

Film samouczek

Dla nauczyciela