Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RjUQ1Ws6Vav7L11

Ćwiczenie 1

Każda z poniższych funkcji jest różniczkowalna w swojej dziedzinie. Połącz w pary nazwę z funkcją. Pochodna funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sinus indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, x. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery sinus indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, x kosinus x, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sto nawias, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziewięćdziesiąt dziewięć, koniec indeksu górnego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, 7. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 8. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, plus, jeden Pochodna funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sto, koniec indeksu górnego. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery sinus indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, x kosinus x, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sto nawias, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziewięćdziesiąt dziewięć, koniec indeksu górnego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, 7. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 8. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, plus, jeden Pochodna funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x koniec pierwiastka. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery sinus indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, x kosinus x, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sto nawias, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziewięćdziesiąt dziewięć, koniec indeksu górnego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, 7. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 8. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, plus, jeden Pochodna funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm naturalny z początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery sinus indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, x kosinus x, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sto nawias, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziewięćdziesiąt dziewięć, koniec indeksu górnego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, 7. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 8. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, plus, jeden Pochodna funkcji wewnętrznej funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sinus indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, x. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery sinus indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, x kosinus x, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sto nawias, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziewięćdziesiąt dziewięć, koniec indeksu górnego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, 7. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 8. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, plus, jeden Pochodna funkcji wewnętrznej funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sto, koniec indeksu górnego. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery sinus indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, x kosinus x, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sto nawias, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziewięćdziesiąt dziewięć, koniec indeksu górnego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, 7. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 8. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, plus, jeden Pochodna funkcji wewnętrznej funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x koniec pierwiastka. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery sinus indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, x kosinus x, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sto nawias, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziewięćdziesiąt dziewięć, koniec indeksu górnego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, 7. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 8. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, plus, jeden Pochodna funkcji wewnętrznej funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm naturalny z początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka. Możliwe odpowiedzi: 1. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, 2. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, x, plus, jeden, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x koniec pierwiastka, koniec ułamka, 3. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery sinus indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, x kosinus x, 4. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sto nawias, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dziewięćdziesiąt dziewięć, koniec indeksu górnego, 5. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus x, 6. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa, 7. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, 8. f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x, plus, jeden

R82PIih74jClm11

Ćwiczenie 2

Łączenie par. Zaznacz czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.. Funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu jest złożeniem trzech funkcji: u nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, v nawias, u, zamknięcie nawiasu, równa się, kosinus u, w nawias, v, zamknięcie nawiasu, równa się, v indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Stąd jej pochodna jest równa f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, osiem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, sinus nawias, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x nawias, dwa x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pięćdziesiąt, koniec indeksu górnego jest złożeniem trzech funkcji: u nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x, plus, dziewięć, v nawias, u, zamknięcie nawiasu, równa się, u indeks górny, pięćdziesiąt, koniec indeksu górnego, w nawias, v, zamknięcie nawiasu, równa się, v, razy, x. Stąd jej pochodna jest równa f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, sto dwa x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, indeks górny, czterdzieści dziewięć, koniec indeksu górnego.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm naturalny z indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu jest złożeniem trzech funkcji: u nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, v nawias, u, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm naturalny z u, w nawias, v, zamknięcie nawiasu, równa się, v indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Stąd jej pochodna jest równa f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwanaście x, mianownik, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, koniec ułamka, logarytm naturalny z nawias, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa, zamknięcie nawiasu.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, sinus nawias, logarytm naturalny z nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu jest złożeniem trzech funkcji: u nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, jeden, v nawias, u, zamknięcie nawiasu, równa się, logarytm naturalny z u, w nawias, v, zamknięcie nawiasu, równa się, sinus v. Stąd jej pochodna jest równa f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, jeden, koniec ułamka, kosinus nawias, logarytm naturalny z nawias, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Rm8ifSGpOI3g01

Ćwiczenie 3

Dostępne opcje do wyboru: dwa x nawias, jeden, minus, cztery x, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego, trzydzieści x indeks górny, dwadzieścia dziewięć, koniec indeksu górnego, o pochodnej funkcji złożonej, o pochodnej funkcji zewnętrzną, liczby rzeczywiste, h nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, jeden, minus, cztery x, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego, g prim nawias, f nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, h nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzydzieści nawias, jeden, minus, cztery x, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwadzieścia dziewięć, koniec indeksu górnego, trzydzieści x indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego, nawias, jeden, minus, cztery x, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwadzieścia dziewięć, koniec indeksu górnego, o pochodnej niewłaściwej, h prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, g prim nawias, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, g prim nawias, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu. Polecenie: Uzupełnij podany tekst przeciągając w odpowiednie miejsca właściwy wyraz lub wzór. Znajdziemy wzór określający pochodną funkcji luka do uzupełnienia . Funkcja h jest złożeniem funkcji f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, minus, cztery x, plus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, która jest funkcją wewnętrzną funkcji h oraz funkcji g nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, trzydzieści, koniec indeksu górnego, która jest funkcją zewnętrzną funkcji h. Każda z tych funkcji jest różniczkowalna w zbiorze luka do uzupełnienia , wobec tego w myśl twierdzenia luka do uzupełnienia pochodna funkcji h jest określona wzorem luka do uzupełnienia . Ponieważ g prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się luka do uzupełnienia oraz f prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, dwa x, minus, cztery, więc h prim nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzydzieści nawias, dwa x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, razy luka do uzupełnienia .

Ćwiczenie 4

Wyznacz pochodną funkcji określonej wzorem $f (x) = \cos^{3} 2 x$ .

Funkcja $f (x) = \cos^{3} 2 x$ jest złożeniem trzech funkcji: $u (x) = 2 x$ , $v (u) = \cos u$ , $w (v) = v^{3}$ .

Stąd jej pochodna jest równa $f' (x) = - 6 \sin 2 x \cos 2 x$ .

Ćwiczenie 5

Wyznacz pochodną funkcji określonej wzorem $f (x) = (2 x^{2} + 1) \sin 3 x$ .

Zgodnie z regułą wyznaczania pochodnej funkcji złożonej oraz pochodnej iloczynu dwóch funkcji mamy

$f' (x) = \underset{(2 x^{2} + 1)'}{\underset{⏟}{4 x}} \cdot \sin 3 x + (2 x^{2} + 1) \cdot \underset{(\sin 3 x)'}{\underset{⏟}{3 \cdot \cos 3 x}} = 4 x \sin 3 x + 3 (2 x^{2} + 1) \cos 3 x$ .

Ćwiczenie 6

Wyznacz pochodną funkcji określonej wzorem $f (x) = lntg \frac{x}{6}$ dla $\frac{x}{6} \neq \frac{π}{2} + k π$ dla każdego całkowitego $k$ oraz $tg \frac{x}{6} > 0$ .

$f' (x) = \underset{(\frac{x}{6})'}{\underset{⏟}{\frac{1}{6}}} \cdot \underset{(tg \frac{x}{6})'}{\underset{⏟}{\overset{pochodna funkcji wewnętrznej}{\overset{⏞}{\frac{1}{\cos^{2} \frac{x}{6}}}}}} \cdot \underset{(\ln tg \frac{x}{6})'}{\underset{⏟}{\overset{pochodna funkcji zewnętrznej}{\overset{⏞}{\frac{1}{tg \frac{x}{6}}}}}} = \frac{1}{3 \sin \frac{x}{3}}$ .

Ćwiczenie 7

Wyznacz pochodną funkcji określonej wzorem $f (x) = tg (\sin x)$ dla $\sin x \neq \frac{π}{2} + k π$ dla każdego całkowitego $k$ .

$f' (x) = \overset{pochodna funkcji wewnętrznej}{\overset{⏞}{\underset{(\sin x)'}{\underset{⏟}{\cos x}}}} \cdot \underset{(tg (\sin x))'}{\overset{pochodna funkcji zewnętrznej}{\overset{⏞}{\underset{⏟}{\frac{1}{\cos^{2} (\sin x)}}}}} = \frac{\cos x}{\cos^{2} (\sin x)}$ .

Ćwiczenie 8

Wyznacz pochodną funkcji określonej wzorem $f (x) = \sin (x^{2} \ln x)$ dla $x > 0$ .

$f' (x) = \underset{(x^{2} \ln x)'}{\underset{⏟}{\overset{pochodna funkcji wewnętrznej}{\overset{⏞}{(2 x \ln x + x^{2} \cdot \frac{1}{x})}}}} \cdot \underset{(\sin (x^{2} \ln x))'}{\overset{pochodna funkcji zewnętrznej}{\overset{⏞}{\underset{⏟}{\cos (x^{2} \ln x)}}}} =$

$= x (2 \ln x + 1) \cos (x^{2} \ln x)$ .

Film samouczek

Dla nauczyciela