Prosta $l$ przechodzi przez punkty o współrzędnych $(0,4)$ i $(-2,8)$, zatem nie jest równoległa do osi $Y$. Stąd wniosek, że można ją opisać równaniem postaci

Po podstawieniu współrzędnych punktów $A$ i $B$ do tego równania, otrzymujemy układ równań pozwalający wyznaczyć współczynniki $a_1$ i $b_1$:

Zatem równanie prostej $l$ to

Ponieważ prosta $k$ przecina oś $Y$ w punkcie $(0,4)$, więc jej równanie jest postaci

.

Wiemy ponadto, że prosta $k$ jest prostopadła do prostej $l$, zatem iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$. Stąd

Zatem prosta $k$ ma równanie

Najpierw wyznaczymy równania prostych $AB$ i $BC$ zawierających boki trójkąta $ABC$. Ponieważ żadne dwie odcięte punktów$A, B, C$ nie są równe, to proste zawierające boki trójkąta nie są równoległe do osi $Y$, czyli można je opisać równaniami postaci $y=ax+b$.

Aby wyznaczyć równanie prostej $AB$, wystarczy rozwiązać układ równań:

Zatem równanie prostej $AB$ to

Aby wyznaczyć równanie prostej $BC$ wystarczy rozwiązać układ równań:

Zatem równanie prostej $BC$ to

Następnie wyznaczymy równania prostych przechodzących przez wierzchołki $A$ i $C$, zawierających wysokości tego trójkąta.

Współczynnik kierunkowy prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z punktu $A$ to $-\frac{1}{2}$ (bo jest ona prostopadła do prostej zawierającej bok $BC$ o równaniu $y=2x-12$).

Zatem prosta ta ma równanie postaci

i przechodzi przez punkt $A\left(0,2\right)$, więc równanie tej prostej to

Analogicznie wyznaczamy równanie prostej pokrywającej się z wysokością opuszczoną z punktu $C$:

Aby wyznaczyć współrzędne ortocentrum wystarczy rozwiązać układ równań opisujących proste zawierające wysokości.

Zatem ortocentrum tego trójkąta ma współrzędne $\left(\frac{12}{7},\frac{8}{7}\right)$.

Szkicujemy opisaną sytuację.

RulvKyhxZwSuT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ oraz z pionową osią $Y$. Na płaszczyźnie narysowany jest prostokąt. Zaznaczono jego wierzchołki o następujących współrzędnych: $A=\left(1;7\right)$, $B=\left(-4;-3\right)$, $C=\left(1;-5,5\right)$, $D=\left(6;4,5\right)$. Na płaszczyźnie naarysowane są rownież trzy proste. Dwie z nich pokrywają się z dwoma bokami prostokąta. To prosta $AB$ i prosta $BC$. Trzecia prosta przecina figurę wzdłuż na pół. Narysowano również przekątną prostokąta, czyli odcinek $BD$ i zaznaczono jej punkt przecięcia z prostą dzielącą prostokąt na pół wzdłuż. Punkt przecięcia oznaczono jako $S$.

Wyznaczmy najpierw równanie prostej $AB$ (przy oznaczeniach z powyższego rysunku). Ponieważ jest równoległa do osi symetrii, więc szukamy prostej w postaci $y=2x+b$. Podstawiamy współrzędne punktu $A$

Prosta $AB$ ma więc równanie

Wyznaczymy teraz równanie prostej $BC$. Ponieważ jest ona prostopadła do prostej $AB$, jej równanie jest więc postaci

Podstawiamy współrzędne punktu $C$

Prosta $BC$ ma więc równanie

Szukamy teraz punktu wspólnego $B$ prostych $AB$ i $BC$.

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

Stąd

i 

Współrzędne punktu $D$ wyznaczamy analogicznie – pisząc równania prostych $AD$ i $CD$. Otrzymujemy punkt o współrzędnych

.