Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f$ oraz funkcji logarytmicznej $g$ . Posługując się wykresami zaznacz na rysunku punkt $E (2, (g \circ f) (2))$ .

R1SVHm3bFShsY

R41IwEsTvfmeq

Znajdujemy obraz argumentu $x = 2$ w przekształceniu funkcją $f$ czyli $f (2)$ .

Wartość ta staje się argumentem funkcji $g$ .

W przekształceniu elementu $f (2)$ funkcją $g$ otrzymujemy wartość $g (f (2))$ .

W konsekwencji szukany punkt to $F (2, g (f (2)))$ , który jest punktem krzywej o równaniu $y = g (f (x))$ , niewidocznej na rysunku.

R1PTaY2NqUgm9

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 11 i pionową osią y od minus 4 do dziewięć. W układzie zaznaczono trzy wykresy pierwszy z nich, wykres f, ma kształt paraboli o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie nawias zero średnik cztery zamknięcie nawiasu, jej lewe ramię przechodzi przez punkt nawias minus dwa średnik osiem zamknięcie nawiasu, a prawe ramię przechodzi przez punkt nawias dwa średnik osiem zamknięcie nawiasu. Drugi wykres g pojawia się na wykresie w pierwszej ćwiartce i biegnie wzdłuż osi y, następnie po łuku przechodzi przez punkty nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, nawias cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i nawias osiem średnik minus trzy zamknięcie nawiasu a następnie wychodzi poza płaszczyznę układu w czwartej ćwiartce. Trzeci wykres ma równanie y=x i jest ukośną prostą przechodzącą przez punkty nawias minus trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i nawias dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu. W układzie zaznaczono następujące punkty: A o współrzędnych dwa średnik zero zamknięcie nawiasu, B o współrzędnych nawias dwa średnik osiem zamknięcie nawiasu, C o współrzędnych nawias osiem średnik osiem zamknięcie nawiasu, D o współrzędnych nawias osiem średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, E o współrzędnych nawias dwa średnik minus trzy zamknięcie nawiasu oraz F o współrzędnych nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Punkty A, B C D oraz E połączono linią przerywaną i tworzą one prostokąt. Punkt F połączono poziomą linią przerywaną z punktem E.

R1IPiz8m8G3In2

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawną odpowiedź. Aby obrazem wykresu funkcji $f (x) = - 2 x^{2}$ był wykres funkcji $f_{1} (x) = 2 x^{2} - 4 x + 1$ , należy zastosować przekształcenia:

Translację o wektor $\vec{u} = "["- 1, 1"]"$ , a następnie symetrię osiową względem osi $Y$ .
Translację o wektor $\vec{u} = "["- 1, 1"]"$ , a następnie symetrię osiową względem osi $X$ .
Translację o wektor $\vec{u} = "["1, 1"]"$ , a następnie symetrię osiową względem osi $Y$ .
Translację o wektor $\vec{u} = "["1, 1"]"$ , a następnie symetrię osiową względem osi $X$ .

RSML46J0tGKL32

Ćwiczenie 3

Wiedząc, że $f (x) = 10^{x}$ , $g_{1} (x) = | x |$ , $g_{2} (x) = - x$ , wstaw w luki funkcje tak, by równości były prawdziwe:

$f$ , $f$ , $g_{2}$ , $g_{1}$ , $g_{2}$ , $f$ , $f$ , $g_{1}$

$\circ$ $(x) = 10^{| x |}$
$\circ$ $(x) = {(\frac{1}{10})}^{x}$
$\circ$ $(x) = 10^{x}$
$\circ$ $(x) = - 10^{x}$

Ćwiczenie 4

R188nZOPrCUSZ

RmQ0hmcKSiXDU

Ćwiczenie 5

Na poniższym rysunku przedstawiono funkcję $f$ .

R1bWiML1iS0Eb

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 4 i pionową osia y od minus 20 do dwadzieścia z podziałką co dziesięć. W układzie zaznaczono wykres f, który pojawia się w układzie w drugiej ćwiartce i biegnie po łuku przez punkt nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, w trzeciej ćwiartce na wysokości wartości minus 10 zmienia swój bieg i biegnie dalej po łuku przez punkt nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej przecina oś y i biegnie po łuku do punktu nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, następnie biegnie również po łuku i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce.

R1U3NtsoRhFg6

RSuHMYOUPVLVc

R7bePHdDdjuLh2

Ćwiczenie 6

Ułóż poniższe funkcje w kolejności składania, zaczynając od funkcji najbardziej zewnętrznej, aby w wyniku składania otrzymać funkcję: $f (x) = | 6^{3 - x} - 6 | - 2$

$h (x) = | x |$
$s (x) = x - 6$
$w (x) = - x$
$u (x) = x + 3$
$g (x) = x - 2$
$t (x) = 6^{x}$

RquSoAAqx1O8Q2

Ćwiczenie 7

Rozważmy funkcje $f (x) = x^{2}$ , $g (x) = | x |$ oraz $h (x) = - x$ . Wskaż wszystkie funkcje, które są równe funkcji $f$ .

$g \circ f$
$h \circ f$
$f \circ g$
$f \circ h$

Ćwiczenie 8

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f (x) = \log_{2} x$ . Rozwiąż graficznie nierówność: $f (x) \leq - f (x + 2) + 3$ .

Rozwiązanie graficzne:

Niech $g (x) = - f (x + 2) + 3$ .

Przekształćmy ten wzór: $g (x) = - [f (x + 2) - 3]$ .

Z tej postaci wnioskujemy, że wykres funkcji $f (x) = \log_{2} x$ został najpierw przekształcony przez translację o wektor $\vec{u} = [- 2, - 3]$ , $f_{1} (x) = f (x + 2) - 3$ , a następnie wykres $f_{1}$ przez symetrię osiową $g (x) = - f_{1} (x)$ względem osi $X$ .

RBZyceO89wiMx

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do dziewięciu oraz pionową osią Y od minus trzech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f, f1, g, oraz poziomą prostą y=1. Wykres funkcji f biegnie od wzdłuż pionowej osi Y, niemal pionowo w górę, następnie przez punkty 1;0 oraz 9;3 do plus nieskończoności. Następnie wykres funkcji f przesunięto o dwie jednostki w dół względem osi X oraz o trzy jednostki w lewo względem osi Y i otrzymano wykres funkcji f1. Zatem wykres funkcji f1 biegnie od minus nieskończoności po łuku, przez punkty 0;-2 oraz 6;0 do plus nieskończoności. Następnie otrzymano wykres funkcji g, poprzez odbicie wykresu funkcji f1 względem osi X. Wykres funkcji g biegnie od minus nieskończoności, przez punkty -1;3, 2;1 oraz 6;0 do plus nieskończoności.

Nierówność $f (x) \leq - f (x + 2) + 3$ jest spełniona dla $x \in (0, 2⟩$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela