Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RBguzguqh1tBH

Ćwiczenie 1

Jeżeli odcinek Eulera w pewnym trójkącie jest średnicą okręgu dziewięciu punktów, to ten trójkąt jest:

równoboczny
równoramienny, ale nie prostokątny
prostokątny
o różnych kątach

R1RyV3r6kdGr3

Ćwiczenie 2

Jeżeli odcinek Eulera w pewnym trójkącie jest jednym punktem, to ten trójkąt jest:

równoboczny
równoramienny, ale nie prostokątny
prostokątny
o różnych bokach

R1c5pstoNISPQ

Ćwiczenie 3

Jeżeli jeden z końców odcinka Eulera w pewnym trójkącie leży na okręgu dziewięciu punktów i jednocześnie w środku okręgu opisanego na tym trójkącie, to ten trójkąt jest:

równoboczny
równoramienny o kącie przy podstawie $45 °$
prostokątny, ale nie równoramienny
równoramienny o kącie przy podstawie $30 °$

R1dBQuHxqfRCB

Ćwiczenie 4

Jeżeli ortocentrum pewnego trójkąta leży wewnątrz okręgu dziewięciu punktów w pewnym trójkącie, to ten trójkąt jest:

równoboczny
prostokątny
równoramienny o kącie rozwartym
ostrokątny

R1OD4qjjPlnBw2

Ćwiczenie 5

Ocen prawdziwość zdań.

	Prawda	Fałsz
Okrąg dziewięciu punktów dla trójkąta jest okręgiem opisanym na trójkącie środkowym tego trójkąta.	□	□
Okrąg dziewięciu punktów dla trójkąta jest okręgiem wpisanym w trójkąt o wierzchołkach w spodkach wysokości tego trójkąta.	□	□
Promień okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta jest dwukrotnie mniejszy od promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.	□	□
Pole okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta jest dwukrotnie mniejsze od pola okręgu opisanego na tym trójkącie.	□	□

Ćwiczenie 6

Uzupełnij luki.

RsQGoO3gzzuoP

połowie, dwóch trzecich, jednej trzeciej

1. Środek okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta leży w .............................. odcinka łączącego ortocentrum ze środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

RZoz0b9CYwF98

środki odcinków łączących środek ciężkości trójkąta z wierzchołkami trójkąta, środki odcinków łączących ortocentrum trójkąta z wierzchołkami trójkąta, środki odcinków łączących środek okręgu wpisanego w trójkąt z wierzchołkami trójkąta

2. Na okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta leżą .....................................................................................................................................................................................................

R1PZEflOL8WZj

Uzupełnij luki. Środek okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta leży w 1. jednej trzeciej, 2. punkty styczności okręgu wpisanego w trójkąt z jego bokami, 3. środki odcinków łączących środek ciężkości trójkąta z wierzchołkami trójkąta, 4. środki odcinków łączących środek okręgu wpisanego w trójkąt z wierzchołkami trójkąta, 5. połowie, 6. środki boków trójkąta, 7. dwóch trzecich, 8. spodki wysokości trójkąta, 9. środki odcinków łączących ortocentrum trójkąta z wierzchołkami trójkąta, 10. środki odcinków łączących ortocentrum trójkąta z wierzchołkami trójkąta odcinka łączącego ortocentrum i środek okręgu opisanego na tym trójkącie.

Na okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta leżą 1. jednej trzeciej, 2. punkty styczności okręgu wpisanego w trójkąt z jego bokami, 3. środki odcinków łączących środek ciężkości trójkąta z wierzchołkami trójkąta, 4. środki odcinków łączących środek okręgu wpisanego w trójkąt z wierzchołkami trójkąta, 5. połowie, 6. środki boków trójkąta, 7. dwóch trzecich, 8. spodki wysokości trójkąta, 9. środki odcinków łączących ortocentrum trójkąta z wierzchołkami trójkąta, 10. środki odcinków łączących ortocentrum trójkąta z wierzchołkami trójkąta.

Do zbioru dziewięciu charakterystycznych punktów dla okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta nie należą 1. jednej trzeciej, 2. punkty styczności okręgu wpisanego w trójkąt z jego bokami, 3. środki odcinków łączących środek ciężkości trójkąta z wierzchołkami trójkąta, 4. środki odcinków łączących środek okręgu wpisanego w trójkąt z wierzchołkami trójkąta, 5. połowie, 6. środki boków trójkąta, 7. dwóch trzecich, 8. spodki wysokości trójkąta, 9. środki odcinków łączących ortocentrum trójkąta z wierzchołkami trójkąta, 10. środki odcinków łączących ortocentrum trójkąta z wierzchołkami trójkąta.

środki boków trójkąta, punkty styczności okręgu wpisanego w trójkąt z jego bokami, spodki wysokości trójkąta

3. Do zbioru dziewięciu charakterystycznych punktów dla okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta nie należą .................................................................................................................................

Ćwiczenie 7

Dany jest trójkąt o bokach $5$ , $5$ , $8$ . Wyznacz długość promienia okręgu dziewięciu punktów.

Skorzystamy z własności, że promień okręgu dziewięciu punktów jest połową promienia $R$ okręgu opisanego na trójkącie. Korzystamy ze wzoru $R = \frac{a b c}{4 P}$ , oraz ze wzoru Herona $P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , gdzie $p$ jest połową obwodu trójkąta.

Wtedy $p = \frac{5 + 5 + 8}{2} = 9$ , $P = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 1} = 12$ .

Stąd $R = \frac{5 \cdot 5 \cdot 8}{4 \cdot 12} = \frac{25}{6}$ .

Ostatecznie, promień okręgu dziewięciu punktów ma długość $\frac{R}{2} = \frac{25}{12}$ .

Promień okręgu dziewięciu punktów ma długość $\frac{25}{12}$ .

Ćwiczenie 8

Ortocentrum trójkąta $A B C$ leży w odległości $4$ od wierzchołka $C$ i w odległości $13$ od spodka wysokości opuszczonej na bok $A B$ . Odległość spodka wysokości opuszczonej na bok $A B$ od środka tego boku wynosi $4$ . Wyznacz długość promienia okręgu dziewięciu punktów.

Wyznaczymy długość średnicy okręgu dziewięciu punktów i skorzystamy z własności, że średnicą okręgu dziewięciu punktów dla trójkąta $A B C$ jest każdy z odcinków $A' S_{A}$ , $B' S_{B}$ , $C' S_{C}$ . Z danych podanych w zadaniu, będziemy mogli wyznaczyć długość odcinka $C' S_{C}$ .

R1QGD3mIxdOEY

Niech $O$ oznacza ortocentrum tego trójkąta.

Z treści zadania wynika, że mamy trójkąt prostokątny $C' H_{C} S_{C}$ o długościach przyprostokątnych $|C' H_{C}| = 4$ , $|H_{C} S_{C}| = |H_{C} O| + \frac{|O C|}{2} = 13 + 2 = 15$ . Wierzchołki tego trójkąta leżą na okręgu dziewięciu punktów, a ponieważ trójkąt jest prostokątny, to jego przeciwprostokątna jest średnicą okręgu dziewięciu punktów.

Wyznaczamy jej długość z twierdzenia Pitagorasa ${|C' S_{C}|}^{2} = 4^{2} + 15^{2} = 241$ .

Stąd długość promienia okręgu dziewięciu punktów wynosi $\frac{\sqrt{241}}{2}$ .

Długość promienia okręgu dziewięciu punktów wynosi $\frac{\sqrt{241}}{2}$ .

Ćwiczenie 9

W trójkącie $A B C$ środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest odległy od środka ciężkości tego trójkąta o $1$ . Jaka jest odległość środka okręgu dziewięciu punktów od ortocentrum tego trójkąta?

Środek ciężkości trójkąta dzieli odcinek Eulera w stosunku $1 : 2$ i leży bliżej środka okręgu opisanego niż ortocentrum. Stąd odcinek Eulera ma długość $3$ .

Środek okręgu dziewięciu punktów leży w połowie odcinka Eulera, więc jest odległy od ortocentrum o $\frac{3}{2}$ .

Odległość ta wynosi $\frac{3}{2}$ .

Aplet

Dla nauczyciela