Dla dowolnej wartości $\epsilon >0$ dobierzemy taką liczbę naturalną $N\in \mathrm{\mathbb{N}}$, że dla dowolnej liczby naturalnej $n>N$ będzie zachodzić nierówność: $|\frac{3n+2}{n+5}-3|<\epsilon$.

Zapiszmy $|\frac{3n+2}{n+5}-3|=\left|\frac{-13}{n+5}\right|$.

Zauważmy, że $\left|\frac{-13}{n+5}\right|$ jest równe$\frac{13}{n+5}$ dla liczb naturalnych $n$.

Zatem dla dowolnej wartości $ϵ>0$ dobierzemy takie $N\in \mathrm{\mathbb{N}}$, że dla dowolnej liczby naturalnej $n>N$ będzie zachodzić nierówność: $\frac{13}{n+5}<\epsilon$.

$\frac{13}{\epsilon }<n+5$

$\frac{13}{\epsilon }-5<n$

Zatem dla dowolnej wartości $\epsilon >0$ dobraliśmy takie $N=max\{[\frac{13}{\epsilon }-5],0\}$, że dla dowolnej liczby naturalnej $n>N$, zachodzi nierówność: $|\frac{3n+2}{n+5}-3|<\epsilon$.

To oznacza, że granicą ciągu $a_n=\frac{3n+2}{n+5}$ jest liczba $3$.