Zagadnienie: Udowodnimy, że dla a większych od jeden zachodzi: $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a}=1$. Dowód: Dla dowolnej wartości epsilon większej od zera dobierzemy takie N naturalne, aby dla dowolnej liczby naturalnej n większej od N zachodziła nierówność: $\left|\sqrt[n]{a}-1\right|<\epsilon$. Ponieważ a jest większe od jeden, zatem $\sqrt[n]{a}>1$. Więc nierówność $\left|\sqrt[n]{a}>1\right|-\epsilon$ sprowadza się do postaci: $\sqrt[n]{a}<\epsilon +1$. Skorzystamy z nierówności Bernulliego Jeżeli $x\ge -1$ i $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$, to ${\left(1+x\right)}^n\ge 1+nx$. Zapiszmy zatem następującą nierówność: $1+n\epsilon \le {\left(1+\epsilon \right)}^n$. Jeżeli zachodzi nierówność $a<1+n\epsilon$, to zachodzi także nierówność $a<1+n\epsilon \le {\left(1+\epsilon \right)}^n$. Nierówność $a<1+n\epsilon$ zachodzi dla $n>\frac{a-1}{\epsilon }$, a zatem $N=\left[\frac{a-1}{\epsilon }\right]+1$. Zatem dla dowolnej wartości epsilon większej od zera dobraliśmy takie $N=\left[\frac{a-1}{\epsilon }\right]+1$, że dla dowolnej liczby naturalnej n większej od N zachodzi nierówność $\left|\sqrt[n]{a}-1\right|<\epsilon$.