Niech dany będzie ciąg nieskończony $\left(a_n\right)$. Powiemy, że liczba $g\in \mathrm{ℝ}$ jest granicą tego ciągu, jeśli dla dowolnej liczby dodatniej $\epsilon >0$ istnieje liczba naturalna $N$ taka, że dla dowolnej liczby naturalnej $n>N$ zachodzi nierówność

Wskażemy wszystkie wyrazy ciągu $a_n=\frac{2n+2}{3n+5}$, które należą do otoczeniaotoczenie punktuotoczenia o promieniu $\frac{1}{20}$ liczby $\frac{2}{3}$?

Rozwiązanie

Będziemy chcieli wskazać takie dodatnie liczby naturalne $n$, dla których zachodzi nierówność: $\left|\frac{2n+2}{3n+5}-\frac{2}{3}\right|<\frac{1}{20}$.

Odejmujemy ułamki po lewej stronie nierówności:

$\left|\frac{-4}{9n+15}\right|<\frac{1}{20}$

Ponieważ $\frac{-4}{9n+15}<0$ dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej $n$, zatem nierówność możemy zapisać w postaci:

$\frac{4}{9n+15}<\frac{1}{20}$

$80<9n+15$

$65<9n$

$\frac{65}{9}<n$

Zatem nierówność $\left|\frac{2n+2}{3n+5}-\frac{2}{3}\right|<\frac{1}{20}$ jest prawdziwa dla liczb naturalnych $n\ge 8$.

Zatem do otoczenia o promieniu $\frac{1}{20}$ liczby $\frac{2}{3}$ należą prawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciągu nieskończonegoprawie wszystkie wyrazy ciągu $a_n=\frac{2}{3n+5}$.

Weźmy dowolną liczbę rzeczywistą $\epsilon >0$. Jak dobrać liczbę naturalną $N$, aby dla każdej liczby naturalnej $n>N$ zachodziła nierówność:

$\left|\frac{2n+1}{n+3}-2\right|<\epsilon$?

Rozwiązanie

Zapiszmy wyrażenie z nierówności:

$\frac{2n+1}{n+3}-2=\frac{2n+1-2n-6}{n+3}=\frac{-5}{n+3}$

Ponieważ $\frac{-5}{n+3}<0$ dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej $n$, zatem nierówność z zadania możemy zapisać w postaci:

$\frac{5}{n+3}<\epsilon$

Stąd otrzymujemy:

$\frac{5}{\epsilon }<n+3$

$\frac{5}{\epsilon }-3<n$

Zauważmy, że gdy $\frac{5}{\epsilon }-3\le 0$, to możemy przyjąć, że $N=0$.

Gdy $\frac{5}{\epsilon }-3>0$, wówczas możemy przyjąć, że $N=\left[\frac{5}{\epsilon }-3\right]$, gdzie $\left[x\right]$ jest częścią całkowitą z liczby $x$, czyli największą liczbą całkowitą nie większą od $x$.

Zatem dla dowolnej wartości $\epsilon >0$ dobraliśmy takie $N\in \mathrm{\mathbb{N}}$, że dla dowolnej liczby naturalnej $n>N$, zachodzi nierówność: $\left|\frac{2n+1}{n+3}-2\right|<\epsilon$.

Udowodnimy, że granicą ciągu $a_n=\frac{2n-13}{2n-7}$ jest liczba $1$.

Rozwiązanie

Aby udowodnić, że granicą ciągu $a_n=\frac{2n-13}{2n-7}$ jest liczba $1$ pokażemy, że dla dowolnej wartości $\epsilon >0$ dobierzemy taką liczbę $N\in \mathrm{\mathbb{N}}$, że dla dowolnej liczby naturalnej $n>N$ będzie zachodzić nierówność: $\left|\frac{2n-13}{2n-7}-1\right|<\epsilon$.

Zapiszmy $\left|\frac{2n-13}{2n-7}-1\right|=\left|\frac{-6}{2n-7}\right|$.

Zauważmy, że wyrażenie $\left|\frac{-6}{2n-7}\right|$ jest równe$\frac{6}{2n-7}$ dla liczb naturalnych $n>3$.

Zatem dla dowolnej wartości $\epsilon >0$ dobierzemy taką liczbę $N\in \mathrm{\mathbb{N}}$ i $N\ge 3$, że dla dowolnej liczby naturalnej $n>N$ będzie zachodzić nierówność: $\frac{6}{2n-7}<\epsilon$.

Przekształćmy zatem tę ostatnią nierówność:

$\frac{6}{2n-7}<\epsilon$

$\frac{6}{\epsilon }<2n-7$

$\frac{6}{\epsilon }+7<2n$

$\frac{3}{\epsilon }+\frac{7}{2}<n$

Zatem dla dowolnej wartości $\epsilon >0$ dobraliśmy takie $N=max\left\{[\frac{3}{\epsilon }+\frac{7}{2}],3\right\}$, że dla dowolnej liczby naturalnej $n>N$ zachodzi nierówność: $\left|\frac{2n-13}{2n-7}-1\right|<\epsilon$.

To oznacza, że granicą ciągu $a_n=\frac{2n-13}{2n-7}$ jest liczba $1$.

Udowodnimy, że granicą ciągu $a_n=\frac{2n^3+3n}{n^3-7n-5}$ jest liczba $2$.

Rozwiązanie

Aby udowodnić, że granicą ciągu $a_n=\frac{2n^3+3n}{n^3-7n-5}$ jest liczba $2$ wykażemy, że dla dowolnej wartości $\epsilon >0$ dobierzemy taką liczbę $N\in \mathrm{\mathbb{N}}$, że dla dowolnej liczby naturalnej $n>N$ będzie zachodzić nierówność: $\left|\frac{2n^3+3n}{n^3-7n-5}-2\right|<\epsilon$.

Przekształćmy lewą stronę nierówności $\left|\frac{2n^3+3n}{n^3-7n-5}-2\right|=\left|\frac{2n^3+3n}{n^3-7n-5}-\frac{2\left(n^3-7n-5\right)}{n^3-7n-5}\right|=\left|\frac{17n+10}{n^3-7n-5}\right|$.

Zauważmy, że dla $n>7$ wyrażenie $\frac{17n+10}{n^3-7n-5}$ przyjmuje wartości dodatnie.

Wówczas możemy wyrażenie zapisać następująco: $\left|\frac{2n^3+3n}{n^3-7n-5}-2\right|=\frac{17n+10}{n^3-7n-5}$.

Dla $n>7$ prawdziwa jest nierówność $17n+10<20n$ oraz $n^3-7n-5>\frac{1}{2}{n}^3$.

Stąd dla $n>7$ prawdziwa jest nierówność

$\frac{17n+10}{n^3-7n-5}<\frac{20n}{\frac{1}{2}{n}^3}$,

czyli $\frac{17n+10}{n^3-7n-5}<\frac{40}{n^2}$.

Zauważmy, że dla dowolnej dodatniej liczby $\epsilon$ nierówność $\frac{40}{n^2}<\epsilon$ jest prawdziwa dla $n>\sqrt{\frac{40}{\epsilon }}$.

Zatem dla dowolnej wartości $\epsilon >0$ dobraliśmy takie $N=max\left\{\left[\sqrt{\frac{40}{\epsilon }}\right],7\right\}$, że dla dowolnej liczby naturalnej $n>N$, zachodzi nierówność: $\frac{17n+10}{n^3-7n-5}<\epsilon$.

Ostatecznie: dla dowolnej wartości $\epsilon >0$ dobraliśmy takie $N=max\left\{\left[\sqrt{\frac{40}{\epsilon }}\right],7\right\}$, że dla dowolnej liczby naturalnej $n>N$, zachodzi nierówność: $\left|\frac{2n^3+3n}{n^3-7n-5}-2\right|<\epsilon$, co oznacza, że granicą ciągu $a_n=\frac{2n^3+3n}{n^3-7n-5}$ jest liczba $2$.

wszystkie wyrazy ciągu poza co najwyżej ich skończoną ilością

otoczeniem punktu $x_0$ o promieniu $\epsilon >0$ nazywamy zbiór