Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RBjKmPioA3T8O

R1OepN27N28dE

R1Eo124nkptJ41

Ćwiczenie 2

R1H5dXt6uEPKG2

Ćwiczenie 3

R167arvnoLgAK2

Ćwiczenie 4

Przenieś w puste miejsca właściwe wyrażenia. Korzystając z definicji Cauchy'ego wykażemy, że <limes, x, strzałka w prawo, trzy, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, osiem. Weźmy dowolną liczbę EPSILON, większy niż, zero. Niech DELTA, równa się 1. DELTA, równa się, EPSILON, 2. linia pionowa, x, minus, trzy, linia pionowa, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. linia pionowa, x, plus, trzy, linia pionowa, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. EPSILON, 5. DELTA indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, EPSILON, 6. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 7. pierwiastek kwadratowy z EPSILON koniec pierwiastka, 8. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, plus, osiem, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 9. EPSILON indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Wówczas dla wszystkich x, należy do, D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego takich, że 1. DELTA, równa się, EPSILON, 2. linia pionowa, x, minus, trzy, linia pionowa, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. linia pionowa, x, plus, trzy, linia pionowa, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. EPSILON, 5. DELTA indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, EPSILON, 6. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 7. pierwiastek kwadratowy z EPSILON koniec pierwiastka, 8. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, plus, osiem, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 9. EPSILON indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego mamy

wartość bezwzględna z, f nawias x zamknięcie nawiasu, minus, g, koniec wartości bezwzględnej, równa się wartość bezwzględna z, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, plus, dziewięć, koniec wartości bezwzględnej, równa się 1. DELTA, równa się, EPSILON, 2. linia pionowa, x, minus, trzy, linia pionowa, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. linia pionowa, x, plus, trzy, linia pionowa, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. EPSILON, 5. DELTA indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, EPSILON, 6. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 7. pierwiastek kwadratowy z EPSILON koniec pierwiastka, 8. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, plus, osiem, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 9. EPSILON indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego mniejszy niż1. DELTA, równa się, EPSILON, 2. linia pionowa, x, minus, trzy, linia pionowa, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 3. linia pionowa, x, plus, trzy, linia pionowa, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, 4. EPSILON, 5. DELTA indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, EPSILON, 6. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, minus, trzy, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 7. pierwiastek kwadratowy z EPSILON koniec pierwiastka, 8. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, plus, osiem, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 9. EPSILON indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego

Ćwiczenie 5

R1bF6jFNtEGzd

RMVu5eEjB3RVl

R1NMp47RjinYK2

Ćwiczenie 6

Przenieś w puste miejsca właściwe wyrażenia. Korzystając z definicji Cauchy'ego wykażemy, że limes, x, strzałka w prawo, minus, dwa, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery, mianownik, x, plus, dwa, koniec ułamka, równa się, minus, cztery. Weźmy dowolną liczbę EPSILON, większy niż, zero. Niech DELTA, równa się 1. DELTA, równa się, EPSILON, 2. dwa EPSILON, 3. EPSILON, 4. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 5. dwa, wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, 6. początek ułamka, EPSILON, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 8. wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, 9. wartość bezwzględna z, x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej. Wówczas dla wszystkich x, należy do, D indeks dolny, f, koniec indeksu dolnego takich, że 1. DELTA, równa się, EPSILON, 2. dwa EPSILON, 3. EPSILON, 4. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 5. dwa, wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, 6. początek ułamka, EPSILON, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 8. wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, 9. wartość bezwzględna z, x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej mamy

wartość bezwzględna z, f nawias x zamknięcie nawiasu, plus, cztery, koniec wartości bezwzględnej, równa się1. DELTA, równa się, EPSILON, 2. dwa EPSILON, 3. EPSILON, 4. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 5. dwa, wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, 6. początek ułamka, EPSILON, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 8. wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, 9. wartość bezwzględna z, x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej mniejszy niż1. DELTA, równa się, EPSILON, 2. dwa EPSILON, 3. EPSILON, 4. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 5. dwa, wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, 6. początek ułamka, EPSILON, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, 8. wartość bezwzględna z, x, plus, dwa, koniec wartości bezwzględnej, 9. wartość bezwzględna z, x, minus, dwa, koniec wartości bezwzględnej

Ćwiczenie 7

Korzystając z definicji Cauchy'ego, udowodnij, że $\lim_{x \to \frac{1}{2}} (4 x^{2} - 4 x) = - 1$ .

Weźmy dowolną liczbę $ε > 0$ oraz niech $δ = \frac{\sqrt{ε}}{2}$ . Wówczas dla wszystkich $x \in D_{f}$ takich, że $0 < |x - \frac{1}{2}| < δ$ mamy

|4 x^{2} - 4 x - (- 1)| = |{(2 x - 1)}^{2}| = 4 {|x - \frac{1}{2}|}^{2} < 4 δ^{2} = ε

Z powyższego oraz z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie wnioskujemy, że

\lim_{x \to \frac{1}{2}} (4 x^{2} - 4 x) = - 1

Ćwiczenie 8

Korzystając z definicji Cauchy'ego, udowodnij, że $\lim_{x \to - 1} (2 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 4) = 2$ .

Weźmy dowolną liczbę $ε > 0$ oraz niech $δ = \sqrt[3]{\frac{ε}{2}}$ . Wówczas dla wszystkich $x \in D_{f}$ takich, że $0 < |x + 1| < δ$ mamy

|2 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 4 - 2| = 2 {|x + 1|}^{3} = 2 δ^{3} = ε

Z powyższego oraz z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie wnioskujemy, że

\lim_{x \to - 1} (2 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 4) = 2

Infografika

Dla nauczyciela