Poniższa infografika pokazuje w jaki sposób można wykorzystać definicję Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie do wykazania, że dana liczba jest granicą funkcji wymiernej. Zapoznaj się z przedstawioną metodą a następnie wykonaj polecenia znajdujące się poniżej.
RXWT35CnCDCHA
Ilustracja przedstawia dowód na to, że liczba minus 8 jest granicą funkcji podanej w przykładzie. Celem tego przykładu jest wykazanie, że limes, x, strzałka w prawo, minus, jeden, początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, minus, sześć, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, minus, osiem. Zatem weźmy dowolną liczbę EPSILON, większy niż, zero i połóżmy DELTA, równa się, początek ułamka, EPSILON, mianownik, dwa, koniec ułamka. Wiedząc, że wartość bezwzględna z, x, minus, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, wartość bezwzględna z, x, minus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec wartości bezwzględnej, równa się, wartość bezwzględna z, x, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej oraz wiedząc, że f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, minus, sześć, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, g, równa się, minus, osiem. Zgodnie z definicją Cauchy’ego wykażemy, że jeżeli zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, to wartość bezwzględna z, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, minus, g, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, EPSILON. Następnie zapisujemy wartość bezwzględna z, początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, minus, sześć, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, plus, osiem, koniec wartości bezwzględnej. Kolejno sprowadzamy sumę do wspólnego mianownika i otrzymujemy wartość bezwzględna z, początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, plus, dwa, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, koniec wartości bezwzględnej. W kolejnym kroku sprowadzamy licznik do postaci iloczynowej i upraszczamy ułamek. Otrzymujemy dwa wartość bezwzględna z, x, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej. Korzystamy z nierówności wartość bezwzględna z, x, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA. Dzięki czemu wiemy, że dwa wartość bezwzględna z, x, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, dwa DELTA. W tym miejscu widzimy, że aby uzyskać na końcu EPSILON, to za DELTA trzeba przyjąć początek ułamka, EPSILON, mianownik, dwa, koniec ułamka. I wynikiem naszego wywodu jest EPSILON.
Ilustracja przedstawia dowód na to, że liczba minus 8 jest granicą funkcji podanej w przykładzie. Celem tego przykładu jest wykazanie, że limes, x, strzałka w prawo, minus, jeden, początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, minus, sześć, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, równa się, minus, osiem. Zatem weźmy dowolną liczbę EPSILON, większy niż, zero i połóżmy DELTA, równa się, początek ułamka, EPSILON, mianownik, dwa, koniec ułamka. Wiedząc, że wartość bezwzględna z, x, minus, x indeks dolny, zero, koniec indeksu dolnego, koniec wartości bezwzględnej, równa się, wartość bezwzględna z, x, minus, nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec wartości bezwzględnej, równa się, wartość bezwzględna z, x, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej oraz wiedząc, że f nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, minus, sześć, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, g, równa się, minus, osiem. Zgodnie z definicją Cauchy’ego wykażemy, że jeżeli zero, mniejszy niż, wartość bezwzględna z, x, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA, to wartość bezwzględna z, f nawias, x, zamknięcie nawiasu, minus, g, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, EPSILON. Następnie zapisujemy wartość bezwzględna z, początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, cztery x, minus, sześć, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, plus, osiem, koniec wartości bezwzględnej. Kolejno sprowadzamy sumę do wspólnego mianownika i otrzymujemy wartość bezwzględna z, początek ułamka, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery x, plus, dwa, mianownik, x, plus, jeden, koniec ułamka, koniec wartości bezwzględnej. W kolejnym kroku sprowadzamy licznik do postaci iloczynowej i upraszczamy ułamek. Otrzymujemy dwa wartość bezwzględna z, x, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej. Korzystamy z nierówności wartość bezwzględna z, x, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, DELTA. Dzięki czemu wiemy, że dwa wartość bezwzględna z, x, plus, jeden, koniec wartości bezwzględnej, mniejszy niż, dwa DELTA. W tym miejscu widzimy, że aby uzyskać na końcu EPSILON, to za DELTA trzeba przyjąć początek ułamka, EPSILON, mianownik, dwa, koniec ułamka. I wynikiem naszego wywodu jest EPSILON.
Dana jest funkcja
.
Polecenie 2
W dowolny znany Ci sposób oblicz granicę funkcji w punkcie .
.
Polecenie 3
Korzystając z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie, wykaż, że wyznaczona w poprzednim poleceniu liczba jest granicą funkcji w punkcie .
Weźmy dowolną liczbę i połóżmy . Wykażemy, że jeśli , to . Mamy