Ilustracja przedstawia dowód na to, że liczba minus 8 jest granicą funkcji podanej w przykładzie. Celem tego przykładu jest wykazanie, że $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{2x^2-4x-6}{x+1}=-8$. Zatem weźmy dowolną liczbę $\epsilon >0$ i połóżmy $\delta =\frac{\epsilon }{2}$. Wiedząc, że $\left|x-x_0\right|=\left|x-\left(-1\right)\right|=\left|x+1\right|$ oraz wiedząc, że $f\left(x\right)=\frac{2x^2-4x-6}{x+1}$, $g=-8$. Zgodnie z definicją Cauchy’ego wykażemy, że jeżeli $0<\left|x+1\right|<\delta$, to $\left|f\left(x\right)-g\right|<\epsilon$. Następnie zapisujemy $\left|\frac{2x^2-4x-6}{x+1}+8\right|$. Kolejno sprowadzamy sumę do wspólnego mianownika i otrzymujemy $\left|\frac{2x^2+4x+2}{x+1}\right|$. W kolejnym kroku sprowadzamy licznik do postaci iloczynowej i upraszczamy ułamek. Otrzymujemy $2\left|x+1\right|$. Korzystamy z nierówności $\left|x+1\right|<\delta$. Dzięki czemu wiemy, że $2\left|x+1\right|<2\delta$. W tym miejscu widzimy, że aby uzyskać na końcu $\epsilon$, to za $\delta$ trzeba przyjąć $\frac{\epsilon }{2}$. I wynikiem naszego wywodu jest $\epsilon$.