Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Definicja Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie

Definicja Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie jest definicją typowo arytmetyczną i wykorzystuje pojęcia otoczeniaotoczenie punktuotoczenia oraz sąsiedztwasąsiedztwo punktusąsiedztwa punktu. Spójrzmy jak ona brzmi.

Granica funkcji w punkcie według Cauchy'ego
Definicja: Granica funkcji w punkcie według Cauchy'ego

Liczbę nazywamy granicą funkcji w punkcie , jeśli dla dowolnej liczby istnieje liczba taka, że dla każdego argumentu funkcji należącego do sąsiedztwa punktu o promieniu , wartość funkcji w tym argumencie należy do otoczenia liczby o promieniu .

Powyższą definicję można intuicyjnie rozumieć w następujący sposób: biorąc  otoczenieotoczenie punktuotoczenie liczby rzeczywistej o dowolnym promieniu znajdziemy sąsiedztwosąsiedztwo punktusąsiedztwo punktu takie, że wartości funkcji w każdym argumencie należącym do znalezionego sąsiedztwa należeć będą do wziętego wcześniej otoczenia liczby . Na poniższym rysunku przedstawiona została interpretacja geometryczna definicji granicy funkcji w punkcie według Cauchy'ego.

R17IADcfYQ4uv

Jak korzystać z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie?

Zaletą definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie jest fakt, że nie wykorzystuje ona innych pojęć matematycznych takich jak np. granica ciągu nieskończonego. Bazuje jedynie na zwykłej arytmetyce. Wadą jest jednak to, że korzystając z definicji Cauchy'ego na ogół nie jesteśmy w stanie obliczyć granicy funkcji w zadanym punkcie. Definicja służy przede wszystkim do wykazywania, że dana z góry liczba rzeczywista jest granicą funkcji w zadanym punkcie. Poniższe przykłady pokazują w jaki sposób możemy tego dokonać.

Przykład 1

Wykażemy, że

Zgodnie z definicją Cauchy'ego bierzemy dowolną liczbę . Musimy wybrać liczbę rzeczywistą tak, aby dla wszystkich argumentów funkcji spełniających nierówności prawdziwa była nierówność . Spróbujmy przekształcić lewą stronę ostatniej nierówności podstawiając w miejsce wzór naszej funkcji

Otrzymany wynik sugeruje aby przyjąć , gdyż wówczas dla każdego takiego, że otrzymamy

co na mocy definicji Cauchy'ego dowodzi, że

Przykład 2

Wykażemy, że

Weźmy dowolną liczbę . Dobierzemy liczbę tak, aby dla wszystkich argumentów funkcji spełniających nierówności prawdziwa była nierówność . Przekształćmy lewą stronę ostatniej nierówności.

Ponieważ wiemy, że więc . Jeśli zatem przyjmiemy , to otrzymamy

Z powyższego oraz z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie wnioskujemy, że

Przykład 3

Wykażemy, że

Weźmy dowolną liczbę . Dobierzemy liczbę tak, aby dla wszystkich argumentów funkcji spełniających nierówności prawdziwa była nierówność . Przekształćmy lewą stronę ostatniej nierówności.

Ponieważ więc . Jeśli zatem przyjmiemy , to otrzymamy

Z powyższego oraz z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie wynika, że

Przykład 4

Wykażemy, że

Weźmy dowolną liczbę . Dobierzemy liczbę tak, aby dla wszystkich argumentów funkcji spełniających nierówności prawdziwa była nierówność . Przekształćmy lewą stronę ostatniej nierówności.

Ponieważ więc podnosząc nierówność stronami do kwadratu oraz dodając stronami otrzymamy . Stąd

Zauważmy, że do wybranej wcześniej utalonej liczby musimy dobrać liczbę , tak aby . Chcemy zatem wybrać liczbę dodatnią tak aby spełniona była nierówność . Wybierając liczbę dodatnią dostatecznie bliską zeru, wyrażenie także przyjmie wartość na tyle bliską zeru aby spełniona była nierówność . Stąd, dla tak dobranej liczby z wcześniejszych obliczeń wynika, że dla wszystkich takich, że

Zatem udowodniliśmy, że

Związek definicji Cauchy'ego z definicją Heinego.

Okazuje się, że istnieje silny związek pomiędzy definicjami granicy funkcji w punkcie według Heinego oraz według Cauchy'ego. Mianowicie definicje te są równoważne. Mówi o tym poniższe twierdzenie.

Związek pomiędzy definicją Cauchy'ego oraz Heinego granicy funkcji w punkcie
Twierdzenie: Związek pomiędzy definicją Cauchy'ego oraz Heinego granicy funkcji w punkcie

Liczba jest granicą funkcji w punkcie według Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona granicą funkcji w punkcie według Heinego.

Słownik

otoczenie punktu
otoczenie punktu

Otoczeniem punktu x0 o promieniu ε>0 nazywamy zbiór

U(x0,ε)={x:|xx0|<ε}
sąsiedztwo punktu
sąsiedztwo punktu

Sąsiedztwo punktu x0 o promieniu nazywamy zbiór