Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RyuzvMKoMAtdt1

Ćwiczenie 1

Ruc3gsL8dHFlS1

Ćwiczenie 2

R1RmWEP9hZkU02

Ćwiczenie 3

R13IXm8B6lOS82

Ćwiczenie 4

RwpqO5xBIewjC2

Ćwiczenie 5

R164qNFb5Z1FI2

Ćwiczenie 6

RxsO982bKOBIN2

Ćwiczenie 7

RPjXMbge5PJJT3

Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 9

Podstawą ostrosłupa $A B C D$ jest trójkąt równoramienny o podstawie $|A B| = b$ i kącie $α$ pomiędzy ramionami. Krawędź $C D$ jest wysokością ostrosłupa, a kąt nachylenia ściany $A B D$ do podstawy ostrosłupa jest równy $β$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

R2RUaSqYftNWJ

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt A B C, wierzchołek górny podpisano literą D. Odcinek CD jest wysokością ostrosłupa i został podpisany literą wielkie H. Z wierzchołka D na krawędź AB poprowadzono wysokość podpisaną małe h, której spodek podpisano literą E. Kąt ACB podpisano literą alfa, z kolei kąt CED podpisano literą beta.

W trójkącie prostokątnym $A C E$ mamy:

$\frac{|A E|}{|C E|} = tg \frac{α}{2}$ , stąd $|C E| = \frac{\frac{b}{2}}{tg \frac{α}{2}} = \frac{b}{2 tg \frac{α}{2}}$

oraz

$\frac{|A E|}{|C A|} = \sin \frac{α}{2}$ , stąd $|C A| = \frac{\frac{b}{2}}{\sin \frac{α}{2}} = \frac{b}{2 \sin \frac{α}{2}}$

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$P_{p} = \frac{1}{2} \cdot |A B| \cdot |C E| = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{b}{2 tg \frac{α}{2}} = \frac{b^{2}}{4 tg \frac{α}{2}}$

Z trójkąta prostokątnego $D C E$ mamy:

$\frac{|C E|}{|D E|} = \cos β$ , stąd $|D E| = \frac{|C E|}{\cos β} = \frac{\frac{b}{2 tg \frac{α}{2}}}{\cos β} = \frac{b}{2 \cos β \cdot tg \frac{α}{2}}$

oraz

$\frac{|D C|}{|C E|} = tg β$ , stąd $|D C| = |C E| \cdot tg β = \frac{b}{2 tg \frac{α}{2}} \cdot tg β = \frac{b tg β}{2 tg \frac{α}{2}}$

Możemy obliczyć pola ścian bocznych:

$P_{C B D} = P_{C A D} = \frac{1}{2} \cdot |C A| \cdot |D C| = \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{2 \sin \frac{α}{2}} \cdot \frac{b tg β}{2 tg \frac{α}{2}} = \frac{b^{2} tg β}{8 \sin \frac{α}{2} tg \frac{α}{2}}$

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

$P = P_{p} + 2 \cdot P_{C B D} + P_{A B D} = \frac{b^{2}}{4 tg \frac{α}{2}} + \frac{b^{2} tg β}{4 \sin \frac{α}{2} tg \frac{α}{2}} + \frac{b^{2}}{4 \cos β \cdot tg \frac{α}{2}} =$ $= \frac{b^{2}}{4 tg \frac{α}{2}} (1 + \frac{1}{\cos β} + \frac{tg β}{\sin \frac{α}{2}})$

$P = \frac{b^{2}}{4 tg \frac{α}{2}} (1 + \frac{1}{\cos β} + \frac{tg β}{\sin \frac{α}{2}})$

Animacja 3D

Dla nauczyciela