Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RyuzvMKoMAtdt1

Ćwiczenie 1

Oceń prawdziwość każdego zdania.
Spodek wysokości ostrosłupa trójkątnego jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę. Z tego wynika, że:

Zdanie	Prawda	Fałsz
Wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.	□	□
Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.	□	□
Ostrosłup jest prosty.	□	□
Ostrosłup jest prawidłowy.	□	□

Ruc3gsL8dHFlS1

Ćwiczenie 2

Wskaż prawidłową odpowiedź.
Ostrosłup jest prosty, a w podstawie ma trójkąt prostokątny. Spodek wysokości ostrosłupa jest:

środkiem przeciwprostokątnej trójkąta w podstawie
środkiem ciężkości trójkąta w podstawie
środkiem okręgu wpisanego w podstawę
wierzchołkiem kąta prostego trójkąta w podstawie

R1RmWEP9hZkU02

Ćwiczenie 3

Zaznacz poprawne odpowiedzi.
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnej długości $6 cm$ . Wysokość ostrosłupa ma długość $8 cm$ , a jej spodek wysokości jest wierzchołkiem kąta prostego.

$P_{p} = 18 {cm}^{2}$
$P_{b} = 48 + 6 \sqrt{41} {cm}^{2}$
najdłuższa krawędź ostrosłupa ma długość $12 cm$
najdłuższa krawędź ostrosłupa ma długość $10 cm$

R13IXm8B6lOS82

Ćwiczenie 4

Podstawą ostrosłupa prostego jest trójkąt prostokątny równoramienny o przeciwprostokątnej długości

10 cm

. Krawędzie boczne mają długość

13 cm

.
Zdecyduj, które odpowiedzi są poprawne, a które nie, przeciągając je do odpowiedniej grupy. Prawda Możliwe odpowiedzi: 1.

P_{b} = 60 + 5 \sqrt{313}

{cm}^{2}

, 2.

P_{p} = 25 {cm}^{2}

, 3.

P_{p} = 25 \sqrt{2}

{cm}^{2}

, 4.

P_{b} = 60 + 25 \sqrt{31}

{cm}^{2}

Fałsz Możliwe odpowiedzi: 1.

P_{b} = 60 + 5 \sqrt{313}

{cm}^{2}

, 2.

P_{p} = 25 {cm}^{2}

, 3.

P_{p} = 25 \sqrt{2}

{cm}^{2}

, 4.

P_{b} = 60 + 25 \sqrt{31}

{cm}^{2}

Zdecyduj, które odpowiedzi są poprawne, a które nie.
Podstawą ostrosłupa prostego jest trójkąt prostokątny równoramienny o przeciwprostokątnej długości $10 cm$ . Krawędzie boczne mają długość $13 cm$ .

Prawda
Fałsz

RwpqO5xBIewjC2

Ćwiczenie 5

W tym ćwiczeniu wybierz właściwą odpowiedź.
W pewnym ostrosłupie trójkątnym wszystkie krawędzie mają taką samą długość, równą $3 cm$ . Pole powierzchni całkowitej wynosi:

$P = 9 \sqrt{3}$ ${cm}^{2}$
$P = \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ${cm}^{2}$
$P = 6 \sqrt{3}$ ${cm}^{2}$
$P = \frac{7}{4} \sqrt{3}$ ${cm}^{2}$

R164qNFb5Z1FI2

Ćwiczenie 6

Zaznacz poprawną odpowiedź.
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny równoramienny. Spodek wysokości ostrosłupa jest wierzchołkiem kąta prostego podstawy. Jedna ze ścian bocznych tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $45 °$ i jej pole powierzchni wynosi $P = 36 \sqrt{2}$ . Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi:

$P = 36 + 72 \sqrt{2}$
$P = 72 + 36 \sqrt{2}$
$P = 72 \sqrt{2}$
$P = 108 \sqrt{2}$

RxsO982bKOBIN2

Ćwiczenie 7

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny o ramieniu długości $10$ i podstawie długości $12$ . Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają długość $7$ . Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa wynosi:

$P_{b} = 6 \sqrt{13} + 20 \sqrt{6}$
$P_{b} = 20 \sqrt{13} + 13 \sqrt{6}$
$P_{b} = 20 \sqrt{6} + 6$
$P_{b} = 6 \sqrt{13} + 20$

RPjXMbge5PJJT3

Ćwiczenie 8

W dowolnym ostrosłupie prawidłowym trójkątnym stosunek pola podstawy ostrosłupa do pola powierzchni bocznej jest równy:

cosinusowi kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
tangensowi kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
sinusowi kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
nie ma związku z kątem nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy

Ćwiczenie 9

Podstawą ostrosłupa $A B C D$ jest trójkąt równoramienny o podstawie $|A B| = b$ i kącie $α$ pomiędzy ramionami. Krawędź $C D$ jest wysokością ostrosłupa, a kąt nachylenia ściany $A B D$ do podstawy ostrosłupa jest równy $β$ . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

R2RUaSqYftNWJ

Ilustracja przedstawia ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt A B C, wierzchołek górny podpisano literą D. Odcinek CD jest wysokością ostrosłupa i został podpisany literą wielkie H. Z wierzchołka D na krawędź AB poprowadzono wysokość podpisaną małe h, której spodek podpisano literą E. Kąt ACB podpisano literą alfa, z kolei kąt CED podpisano literą beta.

W trójkącie prostokątnym $A C E$ mamy:

$\frac{|A E|}{|C E|} = tg \frac{α}{2}$ , stąd $|C E| = \frac{\frac{b}{2}}{tg \frac{α}{2}} = \frac{b}{2 tg \frac{α}{2}}$

oraz

$\frac{|A E|}{|C A|} = \sin \frac{α}{2}$ , stąd $|C A| = \frac{\frac{b}{2}}{\sin \frac{α}{2}} = \frac{b}{2 \sin \frac{α}{2}}$

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$P_{p} = \frac{1}{2} \cdot |A B| \cdot |C E| = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{b}{2 tg \frac{α}{2}} = \frac{b^{2}}{4 tg \frac{α}{2}}$

Z trójkąta prostokątnego $D C E$ mamy:

$\frac{|C E|}{|D E|} = \cos β$ , stąd $|D E| = \frac{|C E|}{\cos β} = \frac{\frac{b}{2 tg \frac{α}{2}}}{\cos β} = \frac{b}{2 \cos β \cdot tg \frac{α}{2}}$

oraz

$\frac{|D C|}{|C E|} = tg β$ , stąd $|D C| = |C E| \cdot tg β = \frac{b}{2 tg \frac{α}{2}} \cdot tg β = \frac{b tg β}{2 tg \frac{α}{2}}$

Możemy obliczyć pola ścian bocznych:

$P_{C B D} = P_{C A D} = \frac{1}{2} \cdot |C A| \cdot |D C| = \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{2 \sin \frac{α}{2}} \cdot \frac{b tg β}{2 tg \frac{α}{2}} = \frac{b^{2} tg β}{8 \sin \frac{α}{2} tg \frac{α}{2}}$

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

$P = P_{p} + 2 \cdot P_{C B D} + P_{A B D} = \frac{b^{2}}{4 tg \frac{α}{2}} + \frac{b^{2} tg β}{4 \sin \frac{α}{2} tg \frac{α}{2}} + \frac{b^{2}}{4 \cos β \cdot tg \frac{α}{2}} =$ $= \frac{b^{2}}{4 tg \frac{α}{2}} (1 + \frac{1}{\cos β} + \frac{tg β}{\sin \frac{α}{2}})$

$P = \frac{b^{2}}{4 tg \frac{α}{2}} (1 + \frac{1}{\cos β} + \frac{tg β}{\sin \frac{α}{2}})$

Animacja 3D

Dla nauczyciela