Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta o wierzchołkach A równe cztery i trzy, Be równe jeden i minus cztery, Ce równe minus pięć i minus dwa poprowadzonej z wierzchołka A.

Wybierz jedno nowe słowo poznane podczas dzisiejszej lekcji i ułóż z nim zdanie.

Dany jest trójkąt o wierzchołkach $A=\left(-5;2\right)$, $B=\left(1;4\right)$, $C=\left(1;-2\right)$. Wyznacz współrzędne ortocentrum tego trójkąta. Uporządkuj poniższe wypowiedzi, aby otrzymać rozwiązanie zadania. Elementy do uszeregowania: 1. Z powyższego układu wynika równanie $2=-3x+1$, którego rozwiązaniem jest ${\displaystyle x=-\frac{1}{3}}$., 2. Aby wyznaczyć równanie prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka $C$, potrzebny nam będzie współczynnik kierunkowy prostej $AB$: ${\displaystyle \frac{4-2}{1-\left(-5\right)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}}$., 3. Równanie szukanej prostej to $y-\left(-2\right)=-3\left(x-1\right)$, czyli $y=-3x+1$., 4. Zatem współrzędne ortocentrum są równe ${\displaystyle \left(-\frac{1}{3};2\right)}$., 5. Aby wyznaczyć współrzędne ortocentrum trójkąta $ABC$, wystarczy rozwiązać układ równań $\left\{\begin{array}{l}y=2\\ y=-3x+1\end{array}\right.$., 6. Łatwo zauważyć, że równanie prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka $A$ to $y=2$., 7. Zatem współczynnik kierunkowy szukanej prostej to $-3$., 8. Zaczniemy od wyznaczenia równań prostych zawierających wysokości poprowadzone z wierzchołków $A$ i $C$ (w tej kolejności).

Punkty $A=\left(-1;2\right)$ i $C=\left(2;28\right)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego, w którym $\left|AC\right|=\left|BC\right|$. Prosta zawierająca wysokość opuszczoną z wierzchołka $C$ ma równanie $2y+x=58$. Oblicz pole trójkąta $ABC$. Uporządkuj poniższe wypowiedzi, aby otrzymać rozwiązanie zadania. Elementy do uszeregowania: 1. Zatem współrzędne punktu $D$ są równe $\left(10;24\right)$., 2. Możemy teraz wyznaczyć $\left|CD\right|$ i $\left|AB\right|$ (w tej kolejności)., 3. Ponieważ trójkąt $ABC$ jest równoramienny, więc $\left|AB\right|=2\left|AD\right|=2\sqrt{{\left(10-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(24-2\right)}^2}=2\sqrt{{11}^2+{22}^2}=22\sqrt{5}$., 4. Korzystając ze wzoru na długość odcinka, otrzymujemy $\left|CD\right|=\sqrt{{\left(10-2\right)}^2+{\left(24-28\right)}^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$., 5. Zaczniemy od wyznaczenia współrzędnych punktu $D$ będącego spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka $C$., 6. Zatem współrzędne punktu $D$ możemy otrzymać, rozwiązując układ $\left\{\begin{array}{l}{\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+29}\\ y=2x+4\end{array}\right.$., 7. Zatem pole trójkąta $ABC$ jest równe ${\displaystyle \frac{1}{2}·4\sqrt{5}·22\sqrt{5}=220}$., 8. Zatem współczynnik kierunkowy prostej $AB$ jest równy $2$., 9. Współrzędne tego punktu możemy obliczyć, rozwiązując układ równań: prostej $AB$ i prostej zawierającej wysokość opuszczoną z wierzchołka $C$., 10. Rozwiązaniem powyższego układu jest para liczb $x=10$ i $y=24$., 11. Równanie prostej zawierającej wysokość opuszczoną z wierzchołka $C$ przekształćmy do postaci kierunkowej ${\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+29}$. Równanie prostej $AB$ możemy wyznaczyć, korzystając z zależności między prostymi prostopadłymi., 12. Ponadto przechodzi ona przez punkt $A$, więc jej równanie to $y-2=2\left(x+1\right)$, czyli $y=2x+4$.