Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Rz3MgKdtiSxeP1

Ćwiczenie 1

Liczby $x$ , $y$ , $z$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny rosnący. Suma tych liczb jest równa $15$ . Liczby $x$ , $y - 2$ , $z$ w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Zaznacz każde stwierdzenie prawdziwe.

Różnica ciągu arytmetycznego jest równa $4$ .
Iloraz utworzonego ciągu geometrycznego jest równy $\frac{1}{3}$ .
Liczby $x$ , $y + 1$ , $z + 2$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.
Liczby $x$ , $y + 1$ , $3 z$ w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.

R6SQ15mpSWlE21

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawną odpowiedź. Liczby dodatnie $1$ , $a$ , $b$ , $c$ , $16$ w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich. Liczby $a$ , $b + x$ , $c$ , w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny. Liczba $x$ jest równa:

$- 2$
$- 1$
$1$
$2$

RtFlcWMQdqSY82

Ćwiczenie 3

Ciąg

(3, y, x)

jest ciągiem arytmetycznym. Ciąg

(3, y - 6, x)

jest ciągiem geometrycznym. Znajdź różnicę tego ciągu arytmetycznego.
Uzupełnij rozwiązanie zadania, wpisując odpowiednie liczby naturalne. Z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, wynika, że:

y = (3 + x) : (

Tu uzupełnij

)

. Zatem

x = 2 y -

Tu uzupełnij. Z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego wynika, że:

{(y - 6)}^{2} =

Tu uzupełnij

\cdot x

Po podstawieniu wyznaczonego

x

z pierwszej z zapisanych równości do drugiej i po przekształceniach, otrzymujemy równanie kwadratowe.

y^{2} -

Tu uzupełnij

\cdot y +

Tu uzupełnij

= 0

Rozwiązujemy to równanie.

∆ =

Tu uzupełnij

y = 3

lub

y =

Tu uzupełnij Jeśli

y =

Tu uzupełnij to

x = 3

i różnica tego ciągu jest równa Tu uzupełnij. Jeśli

y = 15

x =

Tu uzupełnij i różnica tego ciągu jest równa Tu uzupełnij.

Ciąg $(3, y, x)$ jest ciągiem arytmetycznym. Ciąg $(3, y - 6, x)$ jest ciągiem geometrycznym. Znajdź różnicę tego ciągu arytmetycznego.
Uzupełnij rozwiązanie zadania, wpisując odpowiednie liczby naturalne.

Z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, wynika, że:
$y = (3 + x) : ($ ............ $)$ . Zatem $x = 2 y -$ .............
Z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego wynika, że:
${(y - 6)}^{2} =$ ............ $\cdot x$
Po podstawieniu wyznaczonego $x$ z pierwszej z zapisanych równości do drugiej i po przekształceniach, otrzymujemy równanie kwadratowe.
$y^{2} -$ ............ $\cdot y +$ ............ $= 0$
Rozwiązujemy to równanie.
$∆ =$ ............
$y = 3$ lub $y =$ ............
Jeśli $y =$ ............ to $x = 3$ i różnica tego ciągu jest równa .............
Jeśli $y = 15$ to $x =$ ............ i różnica tego ciągu jest równa .............

RNstfapkaz8Rn2

Ćwiczenie 4

RDNuusLuYTYEO2

Ćwiczenie 5

Dostępne opcje do wyboru:

4

b + c

12

a + d

a - 3 b

c

b^{2}

2

a c

b_{1} = 4

8

. Polecenie: Znajdź liczby

a

b

c

d

, o których wiesz, że:

trzy pierwsze z tych liczb tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny, a trzy ostatnie w podanej kolejności, ciąg arytmetyczny;
suma dwóch skrajnych liczb jest równa $14$ ;
suma dwóch liczb środkowych jest równa $12$ .

Uzupełnij rozwiązanie zadania, przeciągając odpowiednie wyrażenia. Na podstawie treści zadania tworzymy układ równań z czterema niewiadomymi.

14 =

luka do uzupełnienia i

12 =

luka do uzupełnienia i luka do uzupełnienia

= \frac{b + d}{2}

i luka do uzupełnienia

= b^{2}

Jeśli z pierwszego równania wyznaczymy

d

i podstawimy do trzeciego równania układu, a z drugiego równania wyznaczymy

c

i podstawimy do czwartego i trzeciego równania układu, to po przekształceniach otrzymamy układ równań z dwoma niewiadomymi:
luka do uzupełnienia

= - 10

12 a - a b =

luka do uzupełnienia
Z kolei z tego układu otrzymujemy równanie

2 b^{2} - 23 b + 60 = 0

, którego rozwiązaniami są liczby:
luka do uzupełnienia i

b_{2} = 7, 5

.
Otrzymujemy więc dwa ciągi liczb spełniających warunki zadnia:
luka do uzupełnienia , luka do uzupełnienia , luka do uzupełnienia , luka do uzupełnienia oraz

\frac{25}{2}

\frac{15}{2}

\frac{9}{2}

\frac{3}{2}

RDMQ8wPh1yOGH2

Ćwiczenie 6

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy $\frac{x}{x - 2}$ , gdy $x \neq 0$ i $x \neq 2$ . Trzeci wyraz tego ciągu jest równy $\frac{x}{{(x - 2)}^{3}}$ .
Pierwszy wyraz tego ciągu, wyraz drugi i liczba $1$ w podanej kolejności są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Zaznacz równanie, które pozwoli na wyznaczenie liczby $x$ .

$x^{2} - 4 x + 2 = 0$
$x^{2} - 4 x - 2 = 0$
$x^{2} - 3 x + 2 = 0$
$x^{2} + 4 x + 2 = 0$

Ćwiczenie 7

Znajdź taką liczbę $x$ , dla której ciąg $(7 x - 2, 3 x, x + 1)$ jest ciągiem geometrycznym i jednocześnie jest ciągiem arytmetycznym.

Ciąg ma być arytmetyczny, zatem $3 x = \frac{7 x - 2 + x + 1}{2}$ .

Czyli $x = \frac{1}{2}$ .

Wyrazy ciągu są wtedy równe: $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ .

Ciąg jest stały, jest więc ciągiem geometrycznym o ilorazie $1$ .

Zauważmy, że dla $x = 2$ (które to rozwiązanie otrzymalibyśmy jako drugie rozpatrując najpierw ciąg geometryczny) ciąg ma postać $(12, 6, 3)$ jest więc ciągiem geometrycznym, ale nie jest ciągiem arytmetycznym.

Ćwiczenie 8

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli trzecią z tych liczb zwiększymy o kwadrat liczby $8$ , to liczby utworzą ciąg geometryczny. Jeżeli zmniejszymy drugi wyraz ciągu arytmetycznego o $8$ , to otrzymamy również ciąg geometryczny. Znajdź wyrazy tych ciągów.

Oznaczmy:
$a - r$ , $a$ , $a + r$ – wyrazy ciągu arytmetycznego o różnicy $r$ ,
$a - r$ , $a$ , $a + r + 64$ – wyrazy początkowego ciągu geometrycznego,
$a - r$ , $a - 8$ , $a + r$ – wyrazy otrzymanego ciągu geometrycznego.

Korzystamy ze związku między kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego i zapisujemy układ równań.

$\{\begin{cases} a^{2} = (a - r) (a + r + 64) \\ {(a - 8)}^{2} = (a - r) (a + r) \end{cases}$

$\{\begin{cases} r^{2} + 64 r - 64 a = 0 \\ r^{2} - 16 a + 64 = 0 \end{cases}$

Odejmujemy równania układu stronami.

$r = 0, 25 \cdot (3 a + 4)$

Podstawiamy wyznaczone $r$ do drugiego z równań układu i uzyskujemy równanie kwadratowe.

$9 a^{2} - 232 a + 1040 = 0$

$∆ = 16384 \Rightarrow \sqrt{∆} = 128$

$a = \frac{52}{9}$ lub $a = 20$

Jeśli $a = \frac{52}{9}$ to $r = \frac{16}{3}$ .
Wyrazy ciągu arytmetycznego to: $\frac{4}{9}$ , $\frac{52}{9}$ , $\frac{100}{9}$ .
Wyrazy pierwszego ciągu geometrycznego: $\frac{4}{9}$ , $\frac{52}{9}$ , $\frac{676}{9}$ (iloraz ciągu $13$ ).
Wyrazy drugiego ciągu geometrycznego: $\frac{4}{9}$ , $(- \frac{20}{9})$ , $\frac{100}{9}$ (iloraz ciągu to $(- 5)$ ).

Jeśli $a = 20$ to $r = 16$ .
Wyrazy ciągu arytmetycznego: $4$ , $20$ , $36$ .
Wyrazy pierwszego ciągu geometrycznego: $4$ , $20$ , $100$ (iloraz ciągu $5$ ).
Wyrazy drugiego ciągu geometrycznego: $4$ , $12$ , $36$ (iloraz ciągu to $3$ ).

Film samouczek

Dla nauczyciela